Vecteur : définition, coordonnées, norme et produits

Sommaire

1. Définition d'un vecteur
2. Coordonnées d'un vecteur
3. Norme d'un vecteur et vecteur unitaire
4. Somme de vecteurs et produit par un réel
5. Vecteurs colinéaires
6. Le produit scalaire
7. Le produit vectoriel (hors programme du lycée)
8. Les erreurs fréquentes
9. Questions fréquentes

Choisissez le calcul, puis entrez les points ou les vecteurs sous la forme 2 ; −1 (deux coordonnées) ou 1 ; 2 ; 3 (trois coordonnées, dans l'espace). Le calculateur écrit la formule, remplace les coordonnées et conclut : coordonnées et distance, norme, produit scalaire et orthogonalité, colinéarité, produit vectoriel.

Définition d'un vecteur

Le vecteur AB représente le déplacement qui mène du point A au point B : c'est la translation qui envoie A sur B. Il est caractérisé par trois éléments :

• sa direction, celle de la droite (AB) ;
• son sens, de A vers B ;
• sa norme, la longueur AB, notée ‖AB‖.

Un vecteur ne dépend pas de son point de départ : deux flèches parallèles, de même sens et de même longueur représentent le même vecteur, que l'on note souvent avec une seule lettre, u. Ainsi AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Deux vecteurs particuliers : le vecteur nul AA = 0, de norme 0, et l'opposé de AB, qui est BA = −AB : même direction, même norme, sens contraire. En physique, une force ou une vitesse se représente par un vecteur, car il faut préciser sa direction, son sens et son intensité.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en faisant « arrivée moins départ » :

AB(x_B − x_A ; y_B − y_A)

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées. Cette règle sert à trouver le quatrième sommet d'un parallélogramme. Le milieu I de [AB] a pour coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2), et vérifie AI = IB.

Norme d'un vecteur et vecteur unitaire

Dans un repère orthonormé, la norme de u(x ; y) se calcule avec le théorème de Pythagore :

‖u‖ = √x² + y²

Dans l'espace, on ajoute z² sous la racine. La distance entre deux points est la norme du vecteur qui les relie : AB = ‖AB‖.

Normer un vecteur, c'est le diviser par sa norme pour obtenir un vecteur unitaire (de norme 1) de même direction et de même sens. Pour u(3 ; −4), ‖u‖ = √9 + 16 = 5, et le vecteur unitaire associé est (3/5 ; −4/5), soit (0,6 ; −0,8).

Somme de vecteurs et produit par un réel

La somme de deux vecteurs correspond à deux déplacements successifs. La relation de Chasles l'exprime pour trois points quelconques :

AB + BC = AC

Quand les vecteurs partent du même point, on utilise la règle du parallélogramme : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. En coordonnées, on additionne simplement : (2 ; −1) + (3 ; 4) = (5 ; 3).

Le produit d'un vecteur par un réel k multiplie ses coordonnées par k. Le vecteur ku a la même direction que u, le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0, et une norme multipliée par |k|.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre : v = ku. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. En coordonnées, on calcule le déterminant :

det(u ; v) = xy′ − yx′ = 0  ⇔  u et v colinéaires

La colinéarité a deux usages majeurs : trois points A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires ; deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. Le déterminant sert aussi à résoudre un système de deux équations : le système a une solution unique quand le déterminant de ses coefficients n'est pas nul.

Le produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Dans un repère orthonormé, et avec l'angle θ entre les deux vecteurs :

u · v = xx′ + yy′ = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ

Sa propriété la plus utile : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. On s'en sert pour démontrer qu'un angle est droit ou que deux droites sont perpendiculaires.

Les deux expressions donnent l'angle entre deux vecteurs. Pour u(1 ; 0) et v(1 ; 1) : u · v = 1, ‖u‖ = 1 et ‖v‖ = √2, donc cos θ = 1/√2 = √2/2 et θ = 45°, une valeur remarquable de la trigonométrie.

Le produit vectoriel (hors programme du lycée)

Le produit vectoriel ne figure pas au programme de mathématiques du lycée général. Il est utilisé en physique (moment d'une force, force de Lorentz) et dans l'enseignement supérieur. Il ne concerne que les vecteurs de l'espace, et son résultat est un vecteur, contrairement au produit scalaire.

u ∧ v = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′)

Ce vecteur est orthogonal à u et à v, son sens suit la règle de la main droite, et sa norme ‖u‖ × ‖v‖ × sin θ est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires, et il change de signe quand on les échange : v ∧ u = −u ∧ v.

Vérification de l'orthogonalité avec le produit scalaire : 1 × (−6) + 0 × 1 + 2 × 3 = 0 et 0 × (−6) + 3 × 1 + (−1) × 3 = 0.

Les erreurs fréquentes

• Faire « départ moins arrivée » : on obtient BA, l'opposé du vecteur cherché.
• Confondre longueur AB et vecteur AB : l'une est un nombre, l'autre un objet avec direction et sens.
• Additionner les normes : ‖u + v‖ n'est pas égale à ‖u‖ + ‖v‖, sauf si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
• Calculer une norme dans un repère non orthonormé : la formule √x² + y² ne vaut qu'en repère orthonormé.
• Confondre produit scalaire et produit vectoriel : le premier donne un nombre, le second un vecteur.

Les vecteurs au lycée : définition, coordonnées et colinéarité en seconde, produit scalaire en première (spécialité mathématiques), vecteurs de l'espace en terminale. Pour vérifier un calcul, utilisez le solveur de maths en ligne. Ce cours fait partie du dossier géométrie et trigonométrie, avec le théorème de Thalès, que les vecteurs permettent de reformuler, et le cercle trigonométrique.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un vecteur en maths ?

Un vecteur est un objet défini par une direction, un sens et une longueur appelée norme. Le vecteur AB représente le déplacement qui envoie A sur B (la translation de A vers B). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme, même s'ils ne partent pas du même point.

Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?

On fait « arrivée moins départ » : si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A). Avec A(−1 ; 2) et B(3 ; 5), on obtient AB(4 ; 3).

Comment normer un vecteur ?

Normer un vecteur non nul, c'est le diviser par sa norme pour obtenir un vecteur de même direction et même sens, de norme 1. Pour u(3 ; −4), la norme vaut √(9 + 16) = 5, et le vecteur unitaire est (3/5 ; −4/5).

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?

Deux vecteurs u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant xy′ − yx′ est nul, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre. La colinéarité sert à démontrer que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles.

Quelle est la formule du produit vectoriel ?

Dans un repère orthonormé direct de l'espace, le produit vectoriel de u(x ; y ; z) et v(x′ ; y′ ; z′) est le vecteur (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′). Il est orthogonal à u et à v. Il n'est pas au programme du lycée général : on le rencontre en physique et dans le supérieur.

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Mis à jour le 6 octobre 2026