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Équation du second degré : discriminant, formules et exemples

Pour résoudre une équation du second degré ax2 + bx + c = 0 (avec a ≠ 0), on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac : s'il est strictement positif, il y a deux solutions réelles ; s'il est nul, une seule ; s'il est strictement négatif, aucune.

Sommaire
  1. Reconnaître une équation du second degré
  2. Le discriminant et les trois cas
  3. D'où vient la formule : la forme canonique
  4. La forme factorisée
  5. Les cas incomplets : pas besoin du discriminant
  6. Somme et produit des racines
  7. Lecture graphique : la parabole
  8. Signe du trinôme et inéquations du second degré
  9. Si Δ est strictement négatif : les solutions complexes
  10. Équations qui se ramènent au second degré
  11. Un problème qui mène au second degré
  12. Rédiger la résolution sur une copie
  13. Les erreurs fréquentes
  14. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
−2,5−2−1,5−1−0,50,51−4−3−2−112345−20,5

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  5. On remplace par les valeurs
  6. Forme factorisée
  1. On part de l’équation2x2 + 3x − 2 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 2 ; b = 3 ; c = −2
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  5. On remplace par les valeursx1 = −3 − 54 = −2  ;  x2 = −3 + 54 = 12√25 = 5
  6. Forme factorisée2x2 + 3x − 2 = 2(x + 2)(x − 12)

S = {−2 ; 12}

Saisissez l'équation sous n'importe quelle forme, par exemple 2x^2 + 3x - 2 = 0 ou x² = 5x : le solveur ramène tout dans un membre, identifie a, b et c, calcule Δ et donne les solutions exactes, la forme factorisée et la parabole.

Reconnaître une équation du second degré

Une équation du second degré (ou du 2nd degré) à une inconnue peut s'écrire ax2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0. L'expression ax2 + bx + c s'appelle un trinôme, et ses solutions sont les racines du trinôme. Si a = 0, il ne reste que bx + c = 0, une équation du premier degré.

Avant tout calcul, ramenez tout dans le membre de gauche et réduisez. Ainsi, 2x2 = 3x + 2 devient 2x2 − 3x − 2 = 0. Lisez ensuite les coefficients avec leur signe :

Équationabc
x2 − 5x + 6 = 01−56
−3x2 + x − 7 = 0−31−7
x2 − 5 = 010−5
4x − x2 = 0−140

Le discriminant et les trois cas

Le discriminant est le nombre Δ = b2 − 4ac (Δ se lit « delta »). Son signe décide du nombre de solutions réelles :

Δ = b2 − 4ac

Signe de ΔSolutions dans ℝForme factorisée
Δ > 0Deux solutions : x1 = −b − √Δ2a et x2 = −b + √Δ2aa(x − x1)(x − x2)
Δ = 0Une solution (racine double) : x0 = −b2aa(x − x0)2
Δ < 0Aucune solution : S = ∅Pas de factorisation dans ℝ

x = −b ± √Δ2a   (Δ ≥ 0)

Les exemples suivants couvrent tous les cas. Ils ont été calculés par le solveur, avec des valeurs exactes.

Exemple : Δ > 0 et racines entières

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  5. On remplace par les valeurs
  6. Forme factorisée
  1. On part de l’équationx2 − 5x + 6 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = −5 ; c = 6
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  5. On remplace par les valeursx1 = 5 − 12 = 2  ;  x2 = 5 + 12 = 3√1 = 1
  6. Forme factoriséex2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

S = {2 ; 3}

Exemple : Δ > 0 et racines fractionnaires

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  5. On remplace par les valeurs
  6. Forme factorisée
  1. On part de l’équation2x2 + 3x − 2 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 2 ; b = 3 ; c = −2
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  5. On remplace par les valeursx1 = −3 − 54 = −2  ;  x2 = −3 + 54 = 12√25 = 5
  6. Forme factorisée2x2 + 3x − 2 = 2(x + 2)(x − 12)

S = {−2 ; 12}

Quand Δ n'est pas un carré parfait, on simplifie √Δ avant de remplacer, puis on simplifie la fraction : les solutions restent exactes, avec une racine carrée.

Exemple : solutions avec une racine carrée

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  5. On simplifie la racine du discriminant
  6. On remplace et on simplifie
  7. Forme factorisée
  1. On part de l’équationx2 − 2x − 1 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = −2 ; c = −1
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 × 1 × (−1) = 4 + 4 = 8
  4. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  5. On simplifie la racine du discriminant√Δ = √8 = 2√28 = 4 × 2
  6. On remplace et on simplifiex1 = 1 − √2 ≈ −0,414  ;  x2 = 1 + √2 ≈ 2,414
  7. Forme factoriséex2 − 2x − 1 = (x − 1 − √2)(x − 1 + √2)

S = {1 − √2 ; 1 + √2}

Exemple : Δ = 0, racine double

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ = 0 : l’équation admet une seule solution (racine double)
  5. Forme factorisée
  1. On part de l’équationx2 − 4x + 4 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = −4 ; c = 4
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
  4. Δ = 0 : l’équation admet une seule solution (racine double)x0 = −b2a = 42 = 2
  5. Forme factoriséex2 − 4x + 4 = (x − 2)2

S = {2}

Exemple : Δ < 0, pas de solution réelle

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients du trinôme
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ < 0 : l’équation n’a pas de solution réelle
  5. Dans ℂ (nombres complexes, Terminale maths expertes)
  1. On part de l’équationx2 + x + 1 = 0
  2. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = 1 ; c = 1
  3. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = 12 − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3
  4. Δ < 0 : l’équation n’a pas de solution réellex2 + x + 1 ne s’annule jamaisla parabole ne coupe pas l’axe des abscisses
  5. Dans ℂ (nombres complexes, Terminale maths expertes)x = −1 − √3i2  ou  x = −1 + √3i2

S = ∅ dans ℝ

D'où vient la formule : la forme canonique

La formule du discriminant n'est pas magique : elle vient de la forme canonique. En mettant a en facteur puis en complétant le carré, on obtient pour tout réel x :

ax2 + bx + c = a[(x + b2a)2 − Δ4a2]

L'équation équivaut donc à (x + b/(2a))2 = Δ/(4a2). Un carré n'est jamais négatif : si Δ < 0, il n'y a pas de solution. Si Δ ≥ 0, on prend les racines carrées, x + b/(2a) = ±√Δ/(2a), ce qui redonne exactement la formule des solutions.

On note souvent la forme canonique a(x − α)2 + β, avec α = −b/(2a) et β = −Δ/(4a), qui est aussi la valeur du trinôme en α. Pour x2 − 5x + 6 : α = 5/2 et β = 6 − 25/4 = −1/4, donc x2 − 5x + 6 = (x − 5/2)2 − 1/4. L'équation devient (x − 5/2)2 = 1/4, soit x − 5/2 = ±1/2 : on retrouve 2 et 3.

La forme factorisée

Quand Δ ≥ 0, le trinôme se factorise à l'aide de ses racines. Avec 2x2 + 3x − 2, de racines −2 et 1/2, on obtient 2(x + 2)(x − 1/2) = (x + 2)(2x − 1). Développez pour vérifier : 2x2 − x + 4x − 2 = 2x2 + 3x − 2.

N'oubliez pas le coefficient a devant les parenthèses : (x + 2)(x − 1/2) seul vaut x2 + 3x/2 − 1, pas le trinôme de départ. Les autres techniques (facteur commun, identités remarquables) sont présentées dans le cours pour factoriser une expression.

Les cas incomplets : pas besoin du discriminant

Quand b ou c est nul, ou qu'une identité remarquable apparaît, une méthode directe est plus rapide et plus sûre.

Si c = 0 : factoriser par x

L'équation ax2 + bx = 0 s'écrit x(ax + b) = 0 : par la règle du produit nul, les solutions sont 0 et −b/a. Ne divisez surtout pas par x, vous perdriez la solution 0.

Exemple : sans terme constant, on factorise par x

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On passe tous les termes dans le membre de gauche et on réduit
  3. On factorise par x
  4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul
  5. On résout la seconde équation
  1. On part de l’équationx2 = 5x
  2. On passe tous les termes dans le membre de gauche et on réduitx2 − 5x = 0
  3. On factorise par xx(x − 5) = 0
  4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nulx = 0  ou  x − 5 = 0
  5. On résout la seconde équationx = 5

S = {0 ; 5}

Si b = 0 : isoler x2

L'équation ax2 + c = 0 donne x2 = −c/a. Par exemple, 3x2 = 12 donne x2 = 4, donc S = {−2 ; 2}. En revanche, x2 + 9 = 0 donne x2 = −9, impossible dans ℝ : S = ∅.

Avec une identité remarquable

x2 − 6x + 9 = 0 s'écrit (x − 3)2 = 0, donc S = {3}. De même, (x − 1)2 = 16 donne x − 1 = 4 ou x − 1 = −4, soit S = {−3 ; 5}. Les trois identités remarquables évitent ici tout développement.

Somme et produit des racines

Quand le trinôme a deux racines x1 et x2 (distinctes ou confondues), elles vérifient :

x1 + x2 = −ba   et   x1 × x2 = ca

Ces relations servent d'abord à vérifier un résultat : pour x2 − 5x + 6 = 0, on a bien 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6. Elles servent aussi à trouver la seconde racine quand la première est évidente. Dans 2x2 + 3x − 5 = 0, 1 est racine car 2 + 3 − 5 = 0 ; le produit des racines vaut −5/2, donc l'autre racine est −5/2.

Inversement, deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de x2 − Sx + P = 0. Deux nombres de somme 7 et de produit 12 sont ainsi les racines de x2 − 7x + 12 = 0 : 3 et 4.

Lecture graphique : la parabole

La courbe de f(x) = ax2 + bx + c est une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Son sommet a pour coordonnées (α ; β), les nombres de la forme canonique. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses : deux points si Δ > 0, un seul (le sommet, qui touche l'axe) si Δ = 0, aucun si Δ < 0. Le solveur trace cette parabole et marque les racines sous chaque résolution.

Signe du trinôme et inéquations du second degré

Le trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses racines et du signe contraire entre elles ; s'il n'a pas de racine, il garde le signe de a partout. Ainsi, x2 − 5x + 6 < 0 pour x ∈ ]2 ; 3[, puisque a = 1 > 0. C'est la clé pour résoudre une inéquation du second degré ; la présentation en tableau de signes est la plus claire sur une copie.

Si Δ est strictement négatif : les solutions complexes

Dans ℝ, un discriminant strictement négatif signifie qu'il n'y a pas de solution. Dans l'ensemble des nombres complexes, où i2 = −1, l'équation a toujours deux solutions, conjuguées l'une de l'autre :

z = −b ± i√−Δ2a

Pour x2 + x + 1 = 0, Δ = −3, et les solutions complexes sont (−1 − i√3)/2 et (−1 + i√3)/2.

Équations qui se ramènent au second degré

Un changement d'inconnue ramène certaines équations au second degré. L'équation bicarrée x4 − 5x2 + 4 = 0 devient, en posant X = x2, X2 − 5X + 4 = 0, de solutions X = 1 et X = 4. On revient à x : x2 = 1 ou x2 = 4, d'où S = {−2 ; −1 ; 1 ; 2}. De même, une équation de degré 3 dont on connaît une racine se factorise en un facteur du premier degré et un trinôme, comme le montre le cours sur les polynômes.

Un problème qui mène au second degré

Énoncé. Un potager rectangulaire a une aire de 40 m2 et sa longueur dépasse sa largeur de 3 m. Quelles sont ses dimensions ?

Mise en équation. Notons x la largeur en mètres (x > 0) ; la longueur vaut x + 3. L'aire donne x(x + 3) = 40, soit x2 + 3x − 40 = 0.

Résolution. Avec a = 1, b = 3 et c = −40 : Δ = 9 + 160 = 169 = 132. Les solutions sont (−3 − 13)/2 = −8 et (−3 + 13)/2 = 5.

Conclusion. Une largeur ne peut pas être négative : on rejette −8. Le potager mesure 5 m sur 8 m, et l'on vérifie que 5 × 8 = 40. Ce tri entre les solutions de l'équation et celles du problème fait partie de la réponse.

Rédiger la résolution sur une copie

Une rédaction complète tient en quelques lignes, toujours dans le même ordre :

  1. Écrire la forme réduite. « L'équation équivaut à 2x2 + 3x − 2 = 0. »
  2. Nommer les coefficients. « On a a = 2, b = 3 et c = −2. »
  3. Calculer Δ en détaillant. « Δ = 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. »
  4. Conclure sur le signe. « Δ > 0, donc l'équation admet deux solutions réelles », puis les formules avec les valeurs remplacées.
  5. Donner l'ensemble des solutions. « S = {−2 ; 1/2}. »

Le calcul de Δ détaillé et la phrase qui relie son signe au nombre de solutions constituent la justification : sans eux, même un résultat juste n'est pas démontré.

Les erreurs fréquentes

  • Le signe de b : avec b = −5, on a −b = 5 et b2 = (−5)2 = 25. Sur la calculatrice, tapez les parenthèses : sans elles, -5² donne −25.
  • Le dénominateur 2a : il divise tout le numérateur −b ± √Δ, pas seulement la racine.
  • Les coefficients avant réduction : dans x2 = 3x + 4, c ne vaut pas 0 ; il faut d'abord écrire x2 − 3x − 4 = 0.
  • La racine d'un nombre négatif : si Δ < 0, on conclut sans écrire √Δ, qui n'existe pas dans ℝ.
  • La division par x : elle fait perdre la solution 0 dans x2 = 5x.
  • L'oubli de la solution négative : x2 = 4 a deux solutions, −2 et 2.

Pour contrôler vos racines en quelques secondes, vérifiez que leur somme vaut −b/a et leur produit c/a, ou comparez votre copie avec le solveur d'équations en ligne.

Ce cours fait partie du dossier pour résoudre une équation. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices corrigés sur les équations du second degré.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du second degré ?

Mettez l'équation sous la forme ax2 + bx + c = 0, identifiez a, b et c, puis calculez Δ = b2 − 4ac. Si Δ > 0, les deux solutions sont (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, la solution unique est −b/(2a) ; si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle.

Que faire si le discriminant est strictement négatif ?

Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle : S = ∅ dans ℝ, et la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Dans l'ensemble des nombres complexes, elle a deux solutions conjuguées : (−b − i√(−Δ))/(2a) et (−b + i√(−Δ))/(2a).

Peut-on résoudre une équation du second degré sans discriminant ?

Oui, dans plusieurs cas. Si c = 0, on factorise par x : x(ax + b) = 0. Si b = 0, on isole x2 puis on prend les racines carrées. Si l'on reconnaît une identité remarquable, on factorise directement. Enfin, une racine évidente donne l'autre grâce au produit des racines, égal à c/a.

Comment trouver les racines d'un polynôme du second degré ?

Les racines du trinôme ax2 + bx + c sont les solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0. On les trouve avec le discriminant ou, plus vite, par factorisation. Elles permettent d'écrire la forme factorisée a(x − x1)(x − x2).

En quelle classe étudie-t-on les équations du second degré ?

La résolution par le discriminant et la forme canonique sont au programme de la spécialité mathématiques de première. Dès la troisième, on résout déjà certaines équations du second degré, de la forme x2 = a ou produit nul.

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Mis à jour le 6 octobre 2026