Résoudre une équation : méthode, exemples et solveur
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie, puis les écrire dans l'ensemble des solutions S. Tapez votre équation ci-dessous : le solveur reconnaît son type et rédige chaque étape comme sur une copie corrigée.
Sommaire
- Qu'est-ce qu'une équation ?
- Équations équivalentes : ce que l'on a le droit de faire
- La méthode générale pour résoudre une équation
- Les différents types d'équations et leur méthode
- Les cours du dossier équations
- Résoudre une équation graphiquement
- Mettre un problème en équation
- Comment vérifier une solution
- Les erreurs fréquentes
- Questions fréquentes
Étapes de résolution
La méthode en bref
- On part de l’équation
- Valeurs interdites : les dénominateurs ne doivent pas s’annuler
- On réduit au même dénominateur et on regroupe dans le membre de gauche
- Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul)
- On isole le terme en x
- On divise les deux membres par −2
- On part de l’équationx + 1x − 2 = 3
- Valeurs interdites : les dénominateurs ne doivent pas s’annulerx ≠ 2
- On réduit au même dénominateur et on regroupe dans le membre de gauche−2x + 7x − 2 = 0
- Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul)−2x + 7 = 0
- On isole le terme en x−2x = −7
- On divise les deux membres par −2x = −7−2 = 72
S = {72}
Saisissez l'équation comme dans l'énoncé : x^2 pour x², / pour une fraction, |3x - 2| pour une valeur absolue, e^x et ln(x) pour l'exponentielle et le logarithme. Le solveur traite le premier et le second degré, les produits nuls, les quotients, le degré 3 avec racine évidente et les formes usuelles avec valeur absolue, racine carrée, exponentielle ou logarithme.
Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité entre deux expressions qui contient une ou plusieurs lettres dont la valeur est inconnue. Dans 3x + 5 = 11, la lettre x est l'inconnue, 3x + 5 est le membre de gauche et 11 le membre de droite.
Une équation pose une question : pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vraie ? Ici, seule la valeur 2 convient, car 3 × 2 + 5 = 11. Pour toute autre valeur, les deux membres sont différents.
Une équation n'est ni une identité ni une formule. Une identité, comme (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, est vraie pour tous les nombres : c'est l'une des identités remarquables. Une formule, comme A = πr2, sert à calculer une grandeur à partir d'une autre.
Le vocabulaire à connaître
| Mot | Sens | Avec x2 = 9 |
|---|---|---|
| Inconnue | La lettre dont on cherche la valeur | x |
| Membres | Les deux côtés du signe = | x2 et 9 |
| Solution | Un nombre qui rend l'égalité vraie | 3, car 32 = 9 |
| Ensemble des solutions | Toutes les solutions, entre accolades | S = {−3 ; 3} |
| Degré | Plus grand exposant de l'inconnue, une fois l'équation réduite | 2 |
| Équations équivalentes | Équations qui ont exactement les mêmes solutions | x2 − 9 = 0 |
Trouver une solution ne suffit pas : résoudre, c'est les trouver toutes et s'assurer qu'il n'y en a pas d'autre. L'équation x2 = 9 a deux solutions, 3 et −3 ; répondre « x = 3 » est une réponse incomplète.
Aucune solution ou une infinité de solutions
Une équation peut n'avoir aucune solution : x2 = −4 n'en a pas dans ℝ, car un carré n'est jamais négatif. On écrit alors S = ∅ (ensemble vide). À l'inverse, 2(x + 1) = 2x + 2 est vraie pour tout réel : S = ℝ.
L'ensemble dans lequel on cherche compte aussi. x2 = 2 n'a aucune solution entière, mais deux solutions réelles, −√2 et √2. Et x2 = −4, sans solution réelle, a deux solutions parmi les nombres complexes : −2i et 2i. Au collège et au lycée, sauf mention contraire, on résout dans ℝ.
Équation et algèbre
L'algèbre est la partie des mathématiques qui calcule avec des lettres représentant des nombres : on y développe, on factorise, on résout des équations. Le mot vient de l'arabe al-jabr, qui figure dans le titre d'un traité d'al-Khwârizmî (IXe siècle) consacré à la résolution des équations. Les techniques de calcul littéral sont donc les outils de base pour résoudre une équation.
Équations équivalentes : ce que l'on a le droit de faire
Résoudre une équation consiste à la remplacer par des équations de plus en plus simples, qui ont exactement les mêmes solutions, jusqu'à pouvoir lire le résultat. Deux transformations conservent toujours les solutions :
- ajouter ou soustraire le même nombre, ou la même expression, aux deux membres ;
- multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul.
a = b ⇔ a + c = b + c et a = b ⇔ ka = kb (k ≠ 0)
« Passer un terme de l'autre côté en changeant son signe » n'est qu'un raccourci de la première règle : dans x + 7 = 10, on soustrait 7 aux deux membres et l'on obtient x = 3.
D'autres opérations sont risquées. Diviser par une expression qui contient l'inconnue peut faire perdre des solutions : en divisant x2 = 5x par x, on obtient x = 5 et l'on oublie la solution 0. Élever au carré peut au contraire en ajouter. Avec √x + 2 = x, élever au carré donne x + 2 = x2, soit (x − 2)(x + 1) = 0. Mais −1 ne convient pas, car √1 = 1 ≠ −1 : seul 2 est solution, S = {2}. Après ce type de transformation, la vérification est obligatoire.
La méthode générale pour résoudre une équation
- Chercher les conditions. Un dénominateur ne doit pas s'annuler, une racine carrée exige un nombre positif ou nul, le logarithme un nombre strictement positif. Notez les valeurs interdites avant de calculer.
- Tout ramener dans un membre. Écrivez l'équation sous la forme « expression = 0 » : c'est cette forme qui permet de reconnaître le type et d'utiliser la règle du produit nul.
- Reconnaître le type. Développez et réduisez pour connaître le degré, ou factorisez si un facteur commun apparaît. Le type décide de la méthode : isoler x, discriminant, produit nul, logarithme.
- Résoudre. Appliquez la méthode avec des transformations équivalentes, en gardant des valeurs exactes (fractions, racines) plutôt que des arrondis.
- Vérifier et conclure. Écartez les valeurs interdites, contrôlez une solution dans l'équation de départ, puis écrivez l'ensemble des solutions S = {…}.
Devant une équation qui n'est pas du premier degré, ne développez pas tout de suite. Cherchez d'abord un facteur commun ou une identité remarquable : ils mènent souvent à un produit nul, bien plus rapide à résoudre.
Les différents types d'équations et leur méthode
Chaque famille d'équations a sa méthode. Le tableau donne le réflexe à avoir ; les paragraphes suivants le détaillent avec un exemple corrigé.
| Forme de l'équation | Méthode | Solutions |
|---|---|---|
| ax + b = 0, a ≠ 0 | Isoler x | x = −b/a |
| ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 | Discriminant Δ = b2 − 4ac | 0, 1 ou 2 solutions réelles |
| A × B = 0 | Produit nul | A = 0 ou B = 0 |
| A / B = 0 | Quotient nul | A = 0 avec B ≠ 0 |
| x2 = k | Racine carrée | ±√k si k > 0 ; aucune si k < 0 |
| |A| = k, k ≥ 0 | Valeur absolue | A = k ou A = −k |
| eA = k, k > 0 | Logarithme | A = ln k |
| ln A = k | Exponentielle | A = ek |
Équations du premier degré
Une équation du premier degré se ramène à ax + b = 0 avec a ≠ 0. On regroupe les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre, puis on divise par le coefficient de x. La solution est unique : x = −b/a. Par exemple, 5x − 3 = 2x + 9 devient 3x = 12, donc S = {4}. Si les x disparaissent pendant la réduction, l'équation n'a aucune solution ou en a une infinité.
Équations du second degré
Une équation du second degré s'écrit ax2 + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La méthode générale passe par le discriminant Δ = b2 − 4ac : deux solutions réelles si Δ > 0, une seule si Δ = 0, aucune si Δ < 0. Quand b = 0 ou c = 0, une méthode plus directe suffit : x2 = 9 donne −3 et 3, et x2 − 5x = 0 se factorise en x(x − 5) = 0.
Équations produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Une équation de la forme A × B = 0 se découpe donc en deux équations plus simples, souvent du premier degré. C'est la raison pour laquelle on cherche à factoriser une expression avant de la résoudre.
Équation produit nul
La méthode en bref
- On part de l’équation
- Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul
- On résout x − 3 = 0
- On résout 2x + 1 = 0
- On part de l’équation(x − 3)(2x + 1) = 0
- Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nulx − 3 = 0 ou 2x + 1 = 0
- On résout x − 3 = 0x = 3
- On résout 2x + 1 = 0x = −12
S = {−12 ; 3}
La règle ne fonctionne qu'avec 0 dans le second membre. (x − 1)(x + 2) = 4 ne signifie pas « x − 1 = 4 ou x + 2 = 4 » : 5 n'est pas solution, puisque 4 × 7 = 28. Il faut tout passer à gauche et développer : x2 + x − 6 = 0, soit (x + 3)(x − 2) = 0, donc S = {−3 ; 2}.
Équations avec un quotient
Quand l'inconnue est au dénominateur, on commence par chercher les valeurs interdites, celles qui annulent un dénominateur. On regroupe ensuite tout dans un membre, on réduit au même dénominateur et l'on applique la règle : un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul. Les calculs se font comme sur les fractions numériques.
Équation avec un quotient
La méthode en bref
- On part de l’équation
- Valeurs interdites : les dénominateurs ne doivent pas s’annuler
- On réduit au même dénominateur et on regroupe dans le membre de gauche
- Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul)
- On isole le terme en x
- On divise les deux membres par −2
- On part de l’équationx + 1x − 2 = 3
- Valeurs interdites : les dénominateurs ne doivent pas s’annulerx ≠ 2
- On réduit au même dénominateur et on regroupe dans le membre de gauche−2x + 7x − 2 = 0
- Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul)−2x + 7 = 0
- On isole le terme en x−2x = −7
- On divise les deux membres par −2x = −7−2 = 72
S = {72}
Si une valeur trouvée est interdite, elle est rejetée. Avec xx − 1 = 1x − 1, on obtient x = 1, qui annule le dénominateur : S = ∅.
Équations de degré 3 ou plus
Pour un polynôme de degré 3, on cherche une racine évidente parmi les petits entiers ; quand le coefficient de x3 vaut 1 et que les coefficients sont entiers, les racines entières sont forcément des diviseurs du terme constant. On factorise ensuite par (x − racine) pour se ramener au second degré. La méthode est détaillée dans le cours sur les polynômes.
Équation de degré 3 avec racine évidente
La méthode en bref
- On part de l’équation
- On cherche des racines évidentes parmi les diviseurs du terme constant
- On factorise P(x) par divisions successives
- On part de l’équationx3 − 6x2 + 11x − 6 = 0
- On cherche des racines évidentes parmi les diviseurs du terme constantP(1) = 0 ; P(2) = 0 ; P(3) = 0avec P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
- On factorise P(x) par divisions successivesP(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
S = {1 ; 2 ; 3}
Des formules générales existent pour les degrés 3 et 4 (méthodes de Cardan et de Ferrari), mais elles sont hors programme du lycée. À partir du degré 5, il n'existe aucune formule générale par radicaux : on cherche une factorisation ou des valeurs approchées.
Équations avec une racine carrée
L'équation x2 = k a deux solutions, −√k et √k, si k > 0 ; une seule, 0, si k = 0 ; aucune si k < 0. L'équation √A = k n'a de solution que si k ≥ 0, et elle équivaut alors à A = k2. Pour √A = B, on élève au carré puis on vérifie chaque solution, comme vu plus haut. Les règles de calcul sont rappelées dans le cours sur la racine carrée.
Équations avec une valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro. L'équation |A| = k n'a aucune solution si k < 0 ; si k ≥ 0, elle équivaut à A = k ou A = −k. De même, |A| = |B| équivaut à A = B ou A = −B.
Équation avec une valeur absolue
La méthode en bref
- On part de l’équation
- |A| = k (k > 0) équivaut à A = k ou A = −k
- On résout chaque équation du 1er degré
- On part de l’équation|3x − 2| = 4
- |A| = k (k > 0) équivaut à A = k ou A = −k3x − 2 = 4 ou 3x − 2 = −4
- On résout chaque équation du 1er degréx = 2 ou x = −23
S = {−23 ; 2}
Équations avec une exponentielle ou un logarithme
L'exponentielle et le logarithme népérien sont des fonctions réciproques. Pour ex = k : si k > 0, la solution unique est x = ln k ; si k ≤ 0, il n'y a pas de solution, car une exponentielle est toujours strictement positive. Pour ln x = k, la solution est x = ek. Avec ln A = ln B, on résout A = B en ne gardant que les solutions pour lesquelles A et B sont strictement positifs. Le détail figure dans les cours sur la fonction exponentielle et sur le logarithme népérien.
Équation avec une exponentielle
La méthode en bref
- On part de l’équation
- Le second membre 5 est strictement positif : on peut appliquer le logarithme népérien aux deux membres (ln et exp sont réciproques)
- Valeur approchée
- On part de l’équationex = 5
- Le second membre 5 est strictement positif : on peut appliquer le logarithme népérien aux deux membres (ln et exp sont réciproques)x = ln 5
- Valeur approchéex = ln 5 ≈ 1,609
S = {ln 5}
Systèmes d'équations
Avec deux inconnues, une seule équation ne suffit pas en général : x + y = 10 a une infinité de couples solutions. Il en faut deux, qui forment un système d'équations, résolu par substitution ou par combinaison. En additionnant x + y = 10 et x − y = 4, on obtient 2x = 14, donc x = 7, puis y = 3 : le couple solution est (7 ; 3).
Inéquations
Une inéquation remplace le signe = par <, >, ≤ ou ≥. Les règles sont presque les mêmes, à une différence près : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Les solutions forment en général un intervalle ; pour un produit ou un quotient, on les lit dans un tableau de signes.
Les cours du dossier équations
Résoudre une équation graphiquement
Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points où la courbe de f coupe l'axe des abscisses. Plus généralement, les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = k, et celles de f(x) = g(x) les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
La lecture graphique donne le nombre de solutions et leur ordre de grandeur, rarement leur valeur exacte. Elle sert à contrôler un calcul ou à traiter une équation que l'on ne sait pas résoudre par le calcul, comme ex = x + 2. Le solveur trace la courbe sous chaque résolution, et la calculatrice graphique permet de superposer plusieurs fonctions.
Mettre un problème en équation
Beaucoup d'exercices ne donnent pas l'équation : il faut l'écrire. La démarche tient en quatre temps : choisir l'inconnue et son unité, traduire chaque phrase de l'énoncé en calcul, résoudre, puis répondre par une phrase après avoir vérifié que le résultat a du sens.
Exemple : un rectangle a un périmètre de 30 cm et sa longueur dépasse sa largeur de 3 cm. Notons ℓ la largeur en centimètres ; la longueur vaut ℓ + 3. Le périmètre donne 2(ℓ + ℓ + 3) = 30, soit 4ℓ + 6 = 30, donc 4ℓ = 24 et ℓ = 6. Le rectangle mesure 6 cm sur 9 cm, et l'on vérifie que 2 × (6 + 9) = 30.
Comment vérifier une solution
Pour vérifier qu'un nombre est solution, remplacez l'inconnue par ce nombre dans l'équation de départ, calculez chaque membre séparément et comparez. Avec 5x − 3 = 2x + 9 et x = 4 : à gauche, 5 × 4 − 3 = 17 ; à droite, 2 × 4 + 9 = 17. Les deux membres sont égaux, 4 est bien solution.
Vérifier dans une équation intermédiaire ne prouve rien, car l'erreur peut se trouver avant. Contrôlez aussi les valeurs interdites et le nombre de solutions : une équation du second degré dont le discriminant est strictement positif en a deux, pas une. Avec des racines ou des fractions, une valeur approchée à la calculatrice suffit à repérer une erreur grossière. Enfin, le solveur mathématique permet de comparer votre rédaction, étape par étape, à une résolution complète.
Les erreurs fréquentes
| Erreur | Exemple faux | Correction |
|---|---|---|
| Diviser un seul terme | 2x + 4 = 10 → x + 4 = 5 | On divise tous les termes : x + 2 = 5, donc x = 3 |
| Oublier une solution | x2 = 9 → x = 3 | x = −3 ou x = 3 |
| Diviser par x | x2 = 5x → x = 5 | x(x − 5) = 0, S = {0 ; 5} |
| Perdre le signe moins | −x = 9 → x = 9 | On divise par −1 : x = −9 |
| Oublier le signe devant une parenthèse | 5 − (x − 2) = 5 − x − 2 | 5 − x + 2 = 7 − x |
| Produit égal à un nombre non nul | (x − 1)(x + 2) = 4 → x = 5 ou x = 2 | Tout à gauche : S = {−3 ; 2} |
| Garder une valeur interdite | x = 1 dans une équation de dénominateur x − 1 | La valeur est rejetée |
| Mal écrire l'ensemble des solutions | S = {x = 3} | S = {3} |
Pour vous entraîner sur des énoncés toujours nouveaux, les fiches d'exercices de maths corrigés proposent des équations du premier degré, du second degré et des produits nuls, avec leur corrigé détaillé à imprimer.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation facilement ?
Ramenez tout dans un seul membre pour obtenir « … = 0 », identifiez le type d'équation (premier degré, second degré, produit nul, quotient), puis appliquez la méthode qui lui correspond : isoler x, calculer le discriminant ou utiliser la règle du produit nul. Terminez toujours par une vérification dans l'équation de départ.
Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?
Une équation est une égalité (signe =) : ses solutions sont en général des nombres isolés. Une inéquation est une inégalité (<, >, ≤ ou ≥) : ses solutions forment le plus souvent un intervalle. Dans une inéquation, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
Que signifie S = ∅ ?
Le symbole ∅ désigne l'ensemble vide : l'équation n'a aucune solution. C'est le cas de x2 = −4 dans ℝ, car un carré n'est jamais négatif, ou de ex = −1, car une exponentielle est toujours strictement positive.
Comment savoir si un nombre est solution d'une équation ?
Remplacez l'inconnue par ce nombre dans l'équation de départ, calculez séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis comparez. S'ils sont égaux, le nombre est solution. Vérifiez aussi qu'il ne s'agit pas d'une valeur interdite (dénominateur nul, logarithme d'un nombre négatif…).
À quoi sert un solveur d'équation ?
À contrôler votre propre résolution et à comprendre une méthode quand vous bloquez. Le solveur mathématique du site rédige chaque étape avec des valeurs exactes. Le plus efficace est de chercher d'abord seul, puis de comparer votre copie à la correction, étape par étape.
Qu'est-ce que l'algèbre de Boole ?
C'est une algèbre dont les variables ne prennent que deux valeurs, 0 et 1 (faux et vrai), avec les opérations ET, OU et NON. Elle sert en logique, en informatique et en électronique numérique. Ses équations se traitent avec des tables de vérité ou des règles propres, et non avec les méthodes de cette page, qui portent sur les nombres réels.
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Mis à jour le 6 octobre 2026