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Nombre premier : définition, liste et test en ligne

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Ainsi 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers, tandis que 1 ne l'est pas. Testez un nombre ci-dessous : l'outil effectue les divisions nécessaires et rédige la conclusion, ou dresse la liste des nombres premiers jusqu'à 10 000.

Sommaire
  1. Définition d'un nombre premier
  2. Liste des nombres premiers jusqu'à 100
  3. Le crible d'Ératosthène
  4. Comment savoir si un nombre est premier ?
  5. Il existe une infinité de nombres premiers
  6. Nombres premiers jumeaux
  7. À quoi servent les nombres premiers ?
  8. Les erreurs fréquentes
  9. Questions fréquentes

Nombres premiers

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 221 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 221
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (6 tests)
  4. 221 est divisible par 13 : il a donc un diviseur autre que 1 et lui-même
  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 221 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 221√221 ≈ 14,866 : on teste les nombres premiers de 2 à 13
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (6 tests)
    DiviseurDivision euclidienneReste
    2221 = 2 × 110 + 11
    3221 = 3 × 73 + 22
    5221 = 5 × 44 + 11
    7221 = 7 × 31 + 44
    11221 = 11 × 20 + 11
    13221 = 13 × 17 + 00 : divisible
  4. 221 est divisible par 13 : il a donc un diviseur autre que 1 et lui-même221 = 13 × 17

221 n’est pas premier (221 = 13 × 17)

Choisissez « Ce nombre est-il premier ? » pour tester un entier, « Liste jusqu'à N » pour appliquer le crible d'Ératosthène, ou « Entre deux nombres » pour trouver les nombres premiers d'un intervalle, par exemple de 1 000 à 1 100.

Définition d'un nombre premier

Un entier naturel p est premier s'il a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et p. Tout le reste découle de ces deux mots, « exactement deux » :

  • 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même.
  • 0 n'est pas premier : il est divisible par tous les entiers non nuls.
  • 2 est premier : ses diviseurs sont 1 et 2. C'est le seul nombre premier pair.
  • 9 n'est pas premier : il a trois diviseurs, 1, 3 et 9.

Un entier supérieur ou égal à 2 qui n'est pas premier est dit composé : il s'écrit comme le produit de deux entiers plus petits que lui, comme 15 = 3 × 5. Les nombres premiers sont la base de l'arithmétique : tout entier composé se construit à partir d'eux.

Pourquoi exclure 1 ? Parce que tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers. Si 1 était premier, cette unicité tomberait : 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3. C'est le principe de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Liste des nombres premiers jusqu'à 100

Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100. Classés par dizaine :

DizaineNombres premiersNombre
0 à 92, 3, 5, 74
10 à 1911, 13, 17, 194
20 à 2923, 292
30 à 3931, 372
40 à 4941, 43, 473
50 à 5953, 592
60 à 6961, 672
70 à 7971, 73, 793
80 à 8983, 892
90 à 99971

Entre 100 et 200, on trouve 21 nombres premiers : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199. Au total, 168 nombres premiers sont inférieurs à 1 000. Ils se raréfient à mesure que l'on avance, sans jamais disparaître.

Le crible d'Ératosthène

Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers jusqu'à un entier N sans faire aucune division :

  1. Écrire les entiers de 1 à N. On barre 1, qui n'est pas premier.
  2. Entourer 2 et barrer ses multiples : 4, 6, 8, 10…
  3. Passer au premier nombre non barré, 3, l'entourer et barrer ses multiples : 9, 15, 21… (6, 12 et 18 le sont déjà).
  4. Recommencer avec 5, puis 7, et ainsi de suite.
  5. S'arrêter dès que le carré du nombre entouré dépasse N : tous les nombres non barrés sont premiers.

Pour chaque nombre premier p, on commence à barrer à p2 : les multiples plus petits, comme 2p ou 3p, ont déjà été barrés par 2 ou par 3. Jusqu'à 100, il suffit donc de cribler par 2, 3, 5 et 7, car 112 = 121 dépasse 100.

Exemple : le crible d’Ératosthène jusqu’à 100

La méthode en bref

  1. Crible d’Ératosthène : on écrit les entiers de 2 à 100 (1 n’est pas premier)
  2. 2 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 22 = 4
  3. 3 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 32 = 9
  4. 5 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 52 = 25
  5. 7 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 72 = 49
  6. On s’arrête à √100 = 10 : les nombres restants sont premiers
  1. Crible d’Ératosthène : on écrit les entiers de 2 à 100 (1 n’est pas premier)
  2. 2 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 22 = 44 ; 6 ; 8 ; …
  3. 3 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 32 = 99 ; 12 ; 15 ; …
  4. 5 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 52 = 2525 ; 30 ; 35 ; …
  5. 7 n’est pas barré : il est premier. On barre ses multiples à partir de 72 = 4949 ; 56 ; 63 ; …
  6. On s’arrête à √100 = 10 : les nombres restants sont premiers
    12345678910
    11121314151617181920
    21222324252627282930
    31323334353637383940
    41424344454647484950
    51525354555657585960
    61626364656667686970
    71727374757677787980
    81828384858687888990
    919293949596979899100
    en gras : nombres premiers ; barrés : multiples

25 nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97

Comment savoir si un nombre est premier ?

Pour tester un entier n, on le divise par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, 11… en s'arrêtant dès que leur carré dépasse n :

p premier et p2 ≤ n  ⇔  p premier et p ≤ √n

Pourquoi s'arrêter à √n ? Si n est composé, il s'écrit n = a × b avec 2 ≤ a ≤ b. Alors a2 ≤ a × b = n : le plus petit facteur est au plus égal à la racine carrée de n, et l'un de ses diviseurs premiers aussi. Si aucun nombre premier jusqu'à √n ne divise n, il est premier.

Exemple : 221 est-il premier ?

La méthode en bref

  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 221 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 221
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (6 tests)
  4. 221 est divisible par 13 : il a donc un diviseur autre que 1 et lui-même
  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 221 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 221√221 ≈ 14,866 : on teste les nombres premiers de 2 à 13
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (6 tests)
    DiviseurDivision euclidienneReste
    2221 = 2 × 110 + 11
    3221 = 3 × 73 + 22
    5221 = 5 × 44 + 11
    7221 = 7 × 31 + 44
    11221 = 11 × 20 + 11
    13221 = 13 × 17 + 00 : divisible
  4. 221 est divisible par 13 : il a donc un diviseur autre que 1 et lui-même221 = 13 × 17

221 n’est pas premier (221 = 13 × 17)

Exemple : 97 est-il premier ?

La méthode en bref

  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 97 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 97
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (4 tests)
  4. Aucune division ne tombe juste : 97 n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même
  1. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
  2. Si 97 a un diviseur autre que 1 et lui-même, il en a un qui est premier et dont le carré est inférieur ou égal à 97√97 ≈ 9,849 : on teste les nombres premiers de 2 à 7
  3. On effectue les divisions euclidiennes par les nombres premiers successifs (4 tests)
    DiviseurDivision euclidienneReste
    297 = 2 × 48 + 11
    397 = 3 × 32 + 11
    597 = 5 × 19 + 22
    797 = 7 × 13 + 66
  4. Aucune division ne tombe juste : 97 n’a pas d’autre diviseur que 1 et lui-même97 est premier

97 est un nombre premier

Les critères de divisibilité accélèrent le test : un nombre pair (autre que 2) n'est pas premier, ni un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 (autre que 3), ni un nombre terminé par 0 ou 5 (autre que 5). Restent les divisions par 7, 11, 13…

Les nombres pièges

Certains nombres impairs ont l'air premiers sans l'être. Ce sont des classiques des contrôles :

NombreDécompositionIndice
513 × 175 + 1 = 6
573 × 195 + 7 = 12
873 × 298 + 7 = 15
917 × 13tester 7
1197 × 17tester 7
1337 × 19tester 7
14311 × 133 − 4 + 1 = 0 : critère de 11
22113 × 17tester jusqu'à 13

Une propriété utile : 6k − 1 ou 6k + 1

Tout nombre premier supérieur à 3 s'écrit 6k − 1 ou 6k + 1. En effet, un entier s'écrit 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 ou 6k + 5 ; les formes 6k, 6k + 2 et 6k + 4 sont paires, et 6k + 3 est divisible par 3. La réciproque est fausse : 25 = 6 × 4 + 1 n'est pas premier. La propriété réduit les candidats, elle ne prouve rien.

Il existe une infinité de nombres premiers

La démonstration, attribuée à Euclide, tient en quelques lignes. Elle raisonne par l'absurde.

  1. Hypothèse. Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers : p1, p2, …, pk.
  2. Construction. Posons N = p1 × p2 × … × pk + 1. Comme N ≥ 2, il a au moins un diviseur premier p.
  3. Contradiction. p est l'un des pi, donc il divise le produit p1 × … × pk. Il divise aussi N, donc il divise leur différence, 1. C'est impossible.
  4. Conclusion. L'hypothèse est fausse : les nombres premiers sont en nombre infini.

Attention à un contresens fréquent : le nombre N n'est pas forcément premier. Par exemple, 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30 031 = 59 × 509. La preuve dit seulement que ses facteurs premiers ne figurent pas dans la liste de départ.

Nombres premiers jumeaux

Deux nombres premiers sont dits jumeaux lorsque leur différence vaut 2. Les couples inférieurs à 100 sont (3 ; 5), (5 ; 7), (11 ; 13), (17 ; 19), (29 ; 31), (41 ; 43), (59 ; 61) et (71 ; 73).

À quoi servent les nombres premiers ?

  • Décomposer les entiers : 360 = 23 × 32 × 5, ce qui donne tous ses diviseurs.
  • Calculer un PGCD ou un PPCM en comparant les décompositions : voir le calcul du PGCD et le calcul du PPCM.
  • Simplifier des fractions : une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun facteur premier commun.
  • Chiffrer des données : certains systèmes de chiffrement, comme RSA, reposent sur le fait qu'il est facile de multiplier deux très grands nombres premiers, mais très difficile de retrouver ces facteurs à partir de leur produit.

Les erreurs fréquentes

  • Croire que 1 est premier : il n'a qu'un diviseur.
  • Croire que tous les nombres impairs sont premiers : 9, 15, 21, 25, 27… ne le sont pas.
  • Se fier au dernier chiffre : finir par 1, 3, 7 ou 9 ne suffit pas (21, 27, 33, 39, 49).
  • Oublier 2 : il est premier, bien que pair.
  • Confondre « premier » et « premiers entre eux » : 8 et 9 sont premiers entre eux, mais aucun des deux n'est premier.
  • Arrêter le test trop tôt : pour 221, il faut aller jusqu'à 13, car 132 = 169 ≤ 221.

Pour vérifier qu'un nombre est premier sans tout retenir, souvenez-vous de la liste jusqu'à 100 et de la règle de la racine carrée : jusqu'à 120, tester 2, 3, 5 et 7 suffit, puisque 112 = 121.

Les nombres premiers interviennent aussi dans les calculs de fractions et les équations du solveur mathématique, qui simplifie automatiquement les résultats.

Questions fréquentes

Est-ce que 1 est un nombre premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même ; 1 n'en a qu'un seul. Exclure 1 garantit aussi l'unicité de la décomposition en facteurs premiers : sinon, on pourrait écrire 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3…

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

C'est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont premiers. 9 ne l'est pas, car il est divisible par 3. Un entier supérieur ou égal à 2 qui n'est pas premier est dit composé.

Combien y a-t-il de nombres premiers entre 1 et 100 ?

Il y en a 25 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97. Il y en a 168 inférieurs à 1 000.

2 est-il un nombre premier ?

Oui : ses seuls diviseurs sont 1 et 2. C'est même le seul nombre premier pair, puisque tout autre nombre pair est divisible par 2 et a donc au moins trois diviseurs (1, 2 et lui-même).

Comment savoir si un grand nombre est premier ?

Divisez-le par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… dont le carré est inférieur ou égal à ce nombre. Si aucune division ne tombe juste, il est premier. Pour 221, on teste jusqu'à 13, car 172 = 289 > 221 : 13 divise 221 (221 = 13 × 17), il n'est donc pas premier.

Qu'est-ce que des nombres premiers jumeaux ?

Ce sont deux nombres premiers dont la différence vaut 2, comme 11 et 13, 17 et 19 ou 41 et 43. Les couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à 100 sont (3 ; 5), (5 ; 7), (11 ; 13), (17 ; 19), (29 ; 31), (41 ; 43), (59 ; 61) et (71 ; 73).

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Mis à jour le 6 octobre 2026