Géométrie : formules, théorèmes et calculateur

Sommaire

1. Qu'est-ce que la géométrie ?
2. Quel théorème utiliser ?
3. Le théorème de Pythagore
4. Le théorème de Thalès
5. La trigonométrie dans le triangle rectangle
6. Le cercle trigonométrique
7. Les vecteurs
8. Formulaire des aires et des périmètres
9. Formulaire des volumes
10. Les propriétés des figures à connaître
11. Agrandissement et réduction
12. La géométrie repérée
13. Méthode pour réussir un exercice de géométrie
14. Toutes les pages du dossier géométrie
15. Questions fréquentes

Choisissez la figure (triangle, rectangle, disque ou trapèze), entrez ses mesures avec une virgule décimale et l'unité : le calculateur écrit la formule, remplace les valeurs et donne le résultat exact puis arrondi, avec la figure. Chaque page du dossier propose ensuite son propre outil : théorèmes, périmètres, volumes, angles, vecteurs.

Qu'est-ce que la géométrie ?

Le mot géométrie vient du grec geômetria, formé de gê, « la terre », et de metron, « la mesure » : à l'origine, c'est l'art de mesurer les terrains. Aujourd'hui, la géométrie désigne la partie des mathématiques qui étudie les figures, leurs propriétés et leurs mesures.

Au programme du collège et du lycée, elle se divise en quatre grands domaines :

• la géométrie plane : triangles, quadrilatères, cercles, aires et périmètres ;
• la géométrie dans l'espace : solides, patrons, volumes, sections ;
• la trigonométrie : les relations entre angles et longueurs ;
• la géométrie repérée (ou analytique) : coordonnées, vecteurs, équations de droites.

Toutes ces branches relèvent de la géométrie euclidienne, celle des droites parallèles et des distances habituelles. Elles se complètent : un exercice de brevet peut demander une longueur par Pythagore, puis une aire, puis un volume.

Quel théorème utiliser ?

Le choix de l'outil dépend de l'hypothèse disponible et de la question. Ce tableau résume les réflexes à avoir face à un triangle.

Le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A :

BC² = AB² + AC²

On l'utilise pour calculer l'hypoténuse (somme des carrés puis racine carrée) ou un côté de l'angle droit (différence des carrés). Sa réciproque prouve qu'un triangle est rectangle, sa contraposée qu'il ne l'est pas. Le cours complet sur le théorème de Pythagore détaille ces trois usages, les triplets pythagoriciens et la rédaction attendue au brevet.

Le théorème de Thalès

Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (MN) est parallèle à (BC), les triangles AMN et ABC ont des côtés proportionnels :

AMAB = ANAC = MNBC

Il s'applique en configuration triangle (triangles emboîtés) comme en configuration papillon (triangles opposés par le sommet). Un produit en croix donne la longueur cherchée. La réciproque, qui ne compare que AM/AB et AN/AC, démontre un parallélisme. Tout est expliqué dans le cours sur le théorème de Thalès.

La trigonométrie dans le triangle rectangle

Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, trois rapports relient l'angle aux côtés, résumés par SOH CAH TOA : cos = adjacent/hypoténuse, sin = opposé/hypoténuse, tan = opposé/adjacent. Ils permettent de calculer une longueur à partir d'un angle, ou un angle à partir de deux longueurs avec les touches arccos, arcsin et arctan de la calculatrice en mode degré.

Les angles de 30°, 45° et 60° ont des valeurs exactes (par exemple cos 60° = 1/2), et la relation cos² x + sin² x = 1 permet de passer de l'un à l'autre. Méthode, exemples et valeurs remarquables : voir le cours de trigonométrie.

Le cercle trigonométrique

Au lycée, le cosinus et le sinus sont définis pour tous les réels grâce au cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À chaque réel x correspond un point M(cos x ; sin x). Les angles s'y mesurent en radians, avec 180° = π rad.

Le cercle permet de lire les valeurs remarquables, de trouver la mesure principale d'un angle dans ]−π ; π] et de relier un angle à ses angles associés (−x, π − x, π + x, π/2 − x) par symétrie. Tout est détaillé sur la page du cercle trigonométrique, avec un outil qui donne les valeurs exactes de n'importe quel angle.

Les vecteurs

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme. Dans un repère, le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A), et sa norme, la distance AB, se calcule avec Pythagore. Les vecteurs transforment des questions de géométrie en calculs : la colinéarité prouve un alignement ou un parallélisme, un produit scalaire nul prouve une orthogonalité. Le cours sur les vecteurs couvre aussi la relation de Chasles et le produit vectoriel.

Formulaire des aires et des périmètres

Le périmètre est une longueur (cm, m) ; l'aire est une surface (cm², m², ares, hectares). Entre deux unités d'aire voisines, le facteur de conversion est 100 : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Les cours pour calculer une aire et calculer un périmètre détaillent chaque formule, la formule de Héron, les aires composées et les conversions.

Formulaire des volumes

Les solides droits ont un volume égal à « aire de la base × hauteur », les solides pointus au tiers de ce produit. Pour passer aux litres, retenez que 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L. Exemples de piscines et de cuves dans le cours de calcul de volume.

Les propriétés des figures à connaître

Le triangle

• La somme des angles d'un triangle vaut 180°. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont donc complémentaires.
• Inégalité triangulaire : chaque côté est plus petit que la somme des deux autres. On ne peut pas construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 8 cm, car 3 + 4 < 8.
• Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, les trois hauteurs à l'orthocentre, les trois médianes au centre de gravité (situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet), les trois bissectrices au centre du cercle inscrit.

Les quadrilatères

Le cercle

La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point. Un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, l'angle droit étant au sommet opposé à ce diamètre : c'est une source fréquente d'angles droits dans les exercices.

Agrandissement et réduction

Quand une figure est agrandie ou réduite d'un coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Les angles, eux, ne changent pas. Une maquette au 1/50 a des longueurs 50 fois plus petites, mais une aire 2 500 fois plus petite et un volume 125 000 fois plus petit. C'est la situation du théorème de Thalès, où le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.

La géométrie repérée

Dans un repère orthonormé, les questions de géométrie deviennent des calculs. La distance entre deux points vaut AB = √(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)², le milieu de [AB] a pour coordonnées les moyennes de celles de A et B, et une droite non verticale a une équation de la forme y = mx + p, comme la courbe d'une fonction affine. Trouver le point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système : les méthodes sont dans le dossier pour résoudre une équation.

Méthode pour réussir un exercice de géométrie

1. Faire une figure à main levée, codée avec toutes les données : angles droits, longueurs égales, parallèles.
2. Repérer la configuration : triangle rectangle, droites parallèles, quadrilatère particulier, cercle.
3. Citer la propriété avec ses hypothèses : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore… »
4. Calculer en gardant les valeurs exactes (racines, π, fractions) jusqu'au bout.
5. Conclure par une phrase, avec l'unité et l'arrondi demandé.

Pour vérifier un résultat, utilisez le solveur de maths en ligne, qui rédige chaque étape comme un professeur. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices corrigés, et pour les calculs numériques (cosinus, racines), la calculatrice en ligne adaptée.

Toutes les pages du dossier géométrie

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la géométrie en mathématiques ?

La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures, les formes et l'espace : longueurs, angles, aires, volumes, positions et transformations. Le mot vient du grec et signifie « mesure de la terre ». Au collège et au lycée, elle comprend la géométrie plane, la géométrie dans l'espace, la trigonométrie et la géométrie repérée avec les vecteurs.

Quelles sont les formules de géométrie à connaître ?

Au minimum : les aires (rectangle L × ℓ, triangle b × h ÷ 2, disque πr²), les périmètres (rectangle 2(L + ℓ), cercle 2πr), les volumes (pavé L × ℓ × h, cylindre πr²h, cône et pyramide divisés par 3, boule 4πr³/3), le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et les rapports cosinus, sinus et tangente.

Comment savoir quel théorème utiliser en géométrie ?

Regardez l'hypothèse dont vous disposez et ce que vous cherchez. Un angle droit et deux longueurs : Pythagore. Un angle droit, un angle et une longueur : trigonométrie. Des droites parallèles coupant deux sécantes : Thalès. Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque de Pythagore ; pour démontrer que des droites sont parallèles, la réciproque de Thalès.

Quelle est la différence entre aire et périmètre ?

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure, en cm ou en m. L'aire est la mesure de la surface intérieure, en cm² ou en m². Le volume, lui, mesure l'espace occupé par un solide, en cm³, m³ ou litres.

Comment réussir un exercice de géométrie ?

Faites une figure à main levée codée avec toutes les données, repérez la configuration (triangle rectangle, droites parallèles, quadrilatère particulier), citez la propriété utilisée avec ses hypothèses, puis calculez en gardant les valeurs exactes. Terminez par une phrase de conclusion avec l'unité.

À lire aussi

• Théorème de PythagoreThéorème de Pythagore : énoncé, formule, calcul de l'hypoténuse ou d'un côté, réciproque, triplets et rédaction type brevet, avec un calculateur détaillé.
• Calcul d'aireCalculer une aire : formules du triangle, du cercle (disque), du rectangle et des autres figures, unités m², ares, hectares et exemples corrigés.
• TrigonométrieTrigonométrie dans le triangle rectangle : SOH CAH TOA, calcul d'une longueur ou d'un angle, valeurs remarquables exactes, cos² + sin² = 1 et cercle.
• Vecteurs et produit scalaireVecteur en maths : définition, coordonnées, norme, somme et relation de Chasles, colinéarité, produit scalaire et produit vectoriel, avec calculateur.

Mis à jour le 6 octobre 2026