Identité remarquable : les 3 formules, preuves et exemples

Sommaire

1. Les trois identités remarquables
2. Première identité : le carré d'une somme
3. Deuxième identité : le carré d'une différence
4. Troisième identité : la différence de deux carrés
5. Développer avec les identités remarquables
6. Factoriser avec les identités remarquables
7. Le calcul mental grâce aux identités remarquables
8. Les identités remarquables de degré 3
9. Les erreurs fréquentes
10. Tableau récapitulatif
11. À quoi servent les identités remarquables ?
12. Questions fréquentes

Le calculateur fonctionne dans les deux sens. Saisissez un produit comme (3x - 2)^2 ou (x + 5)(x - 5) pour le développer, une somme comme 9x^2 - 12x + 4 pour la factoriser, ou un calcul comme 101^2 ou 98 × 102 pour voir l'astuce de calcul mental. Il précise à chaque fois l'identité utilisée et les valeurs de a et b.

Les trois identités remarquables

Le mot « identité » signifie que l'égalité est vraie pour toutes les valeurs des lettres, contrairement à une équation, vraie seulement pour certaines. « Remarquable » rappelle qu'elles reviennent sans cesse en calcul littéral. Les lettres a et b peuvent être remplacées par des nombres, par 3x, par x − 1 ou par toute autre expression.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b)(a − b) = a² − b²

On les numérote habituellement dans cet ordre : la première est le carré d'une somme, la deuxième le carré d'une différence, la troisième le produit d'une somme par une différence. Dans les deux premières, le terme 2ab s'appelle le double produit.

Première identité : le carré d'une somme

Démonstration

Un carré est un produit d'un nombre par lui-même. On applique la double distributivité :

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Illustration géométrique

Prenez un carré de côté a + b. Tracez un trait vertical et un trait horizontal à la distance a du coin supérieur gauche. Le grand carré se découpe en quatre morceaux : un carré de côté a (aire a²), un carré de côté b (aire b²) et deux rectangles de côtés a et b (aire ab chacun). L'aire totale vaut donc a² + 2ab + b². Les deux rectangles sont exactement le double produit que l'on oublie quand on écrit à tort a² + b².

Deuxième identité : le carré d'une différence

Démonstration

(a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b²

Le dernier terme est positif, car (−b) × (−b) = b². On peut aussi voir cette identité comme la première appliquée à a et −b : (a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)².

Illustration géométrique

Avec a > b > 0, partez d'un carré de côté a. Le carré de côté a − b en occupe un coin. Pour l'obtenir, on retire au grand carré une bande de a sur b le long d'un côté, puis une autre bande de a sur b le long du côté voisin, soit 2ab. Mais le petit carré de côté b, à l'angle des deux bandes, a été retiré deux fois : il faut le rajouter une fois, d'où le + b².

Par exemple, (x − 3)² = x² − 2 × x × 3 + 3² = x² − 6x + 9, et (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.

Troisième identité : la différence de deux carrés

Démonstration

(a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b²

Les deux produits −ab et +ba s'annulent : il ne reste que deux termes, et pas de double produit.

Illustration géométrique

Dans un carré de côté a, retirez un petit carré de côté b dans un coin. La surface restante, d'aire a² − b², a la forme d'un L. Coupez ce L en deux rectangles : l'un de côtés a et a − b, l'autre de côtés b et a − b. Placés bout à bout, ils forment un rectangle de longueur a + b et de largeur a − b, d'aire (a + b)(a − b).

Développer avec les identités remarquables

Pour développer, on identifie d'abord a et b, puis on applique la formule en écrivant le calcul intermédiaire. Cette ligne intermédiaire, avec les parenthèses, évite presque toutes les erreurs :

Si un signe moins précède le carré, développez d'abord entre parenthèses, puis distribuez le signe : −(x − 3)² = −(x² − 6x + 9) = −x² + 6x − 9. Les autres règles (distributivité, termes semblables) sont reprises dans le cours pour développer et réduire une expression.

Factoriser avec les identités remarquables

Lues de droite à gauche, les identités transforment une somme en produit. Il faut d'abord reconnaître la forme.

Trois termes : un carré parfait

Une somme de trois termes peut être de la forme a² + 2ab + b² ou a² − 2ab + b². Repérez les deux carrés (ils sont positifs), déduisez-en a et b, puis vérifiez que le terme restant vaut bien 2ab. Dans x² + 6x + 9, on a a = x, b = 3 et 2 × x × 3 = 6x : c'est (x + 3)². En revanche, x² + 5x + 9 n'est pas un carré parfait, car le double produit devrait valoir 6x.

Deux carrés séparés par un signe moins

Une différence de deux carrés se factorise toujours : a² − b² = (a − b)(a + b). Ainsi 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3) et 25x² − 1 = (5x − 1)(5x + 1). Le carré peut porter sur une parenthèse entière : (x + 1)² − 16 = (x + 1 − 4)(x + 1 + 4) = (x − 3)(x + 5).

Une somme de deux carrés, comme x² + 9, ne se factorise pas dans les nombres réels. Toutes les autres méthodes de factorisation, notamment le facteur commun et le discriminant, sont présentées dans le cours pour factoriser une expression.

Le calcul mental grâce aux identités remarquables

Les identités rendent faciles des calculs qui semblent longs. On écrit le nombre à partir d'une valeur ronde, souvent 100 :

• 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 ;
• 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801 ;
• 51² = (50 + 1)² = 2 500 + 100 + 1 = 2 601 ;
• 1 001 × 999 = (1 000 + 1)(1 000 − 1) = 1 000 000 − 1 = 999 999.

Une astuce classique en découle pour les carrés des nombres terminés par 5. En notant 10n + 5 un tel nombre, la première identité donne (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25. On multiplie donc le nombre de dizaines par son suivant, puis on écrit 25 à droite : 35² donne 3 × 4 = 12, soit 1 225 ; 65² donne 6 × 7 = 42, soit 4 225.

Les identités remarquables de degré 3

Au lycée, on utilise aussi les cubes. Elles se démontrent en multipliant le carré par un facteur de plus, par exemple (a + b)³ = (a + b)²(a + b) :

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ ;
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ;
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

Exemple : (x + 2)³ = x³ + 3 × x² × 2 + 3 × x × 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8. Et x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1), une factorisation utile pour étudier un polynôme de degré 3.

Les coefficients 1, 2, 1 puis 1, 3, 3, 1 sont les lignes du triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus. La ligne suivante, 1, 4, 6, 4, 1, donne (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. C'est le principe de la formule du binôme de Newton.

Les erreurs fréquentes

• Oublier le double produit : (x + 3)² = x² + 9. La forme juste est (x + 3)² = x² + 6x + 9. Test rapide avec x = 1 : 4² = 16, alors que 1 + 9 = 10.
• Oublier d'élever le coefficient au carré : (3x)² = 9x², pas 3x².
• Mettre un signe moins devant b² dans (a − b)² : le dernier terme est toujours +b².
• Confondre (a − b)² et a² − b² : la première a trois termes une fois développée, la seconde se factorise en (a − b)(a + b).
• Factoriser une somme de carrés : x² + 9 ne s'écrit pas (x + 3)², qui vaut x² + 6x + 9.
• Oublier la parenthèse autour d'une expression : dans (x + 1)² − (2x − 3)², b vaut 2x − 3 tout entier, d'où [(x + 1) − (2x − 3)][(x + 1) + (2x − 3)] = (−x + 4)(3x − 2).

Pour contrôler un développement ou une factorisation, remplacez x par une valeur simple dans l'expression de départ et dans le résultat, ou comparez votre copie avec le solveur de maths gratuit, qui rédige chaque étape.

Tableau récapitulatif

À quoi servent les identités remarquables ?

Elles sont partout en algèbre. Elles servent à résoudre des équations : (x − 1)² = 16 ou x² − 6x + 9 = 0 se règlent en une ligne. Elles sont aussi à l'origine de la forme canonique et donc de la formule du discriminant pour l'équation du second degré. On les retrouve enfin pour simplifier des racines carrées, par exemple (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4, ce qui permet de supprimer une racine au dénominateur d'une fraction.

Elles font partie des outils de base du calcul littéral, avec le développement et la factorisation. Pour les maîtriser, rien ne remplace l'entraînement : générez une fiche d'exercices corrigés et vérifiez chaque résultat avec le calculateur en haut de page.

Questions fréquentes

Quelles sont les trois identités remarquables ?

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Elles sont vraies pour tous les nombres a et b, et pour toutes les expressions que l'on met à leur place.

Quelle est la 3e identité remarquable ?

C'est (a + b)(a − b) = a² − b² : le produit d'une somme par une différence des deux mêmes termes est égal à la différence de leurs carrés. Lue de droite à gauche, elle factorise toute différence de deux carrés, par exemple 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3).

Comment factoriser avec une identité remarquable ?

Repérez la forme : trois termes dont deux carrés et un double produit, c'est (a + b)² ou (a − b)² ; deux carrés séparés par un signe moins, c'est (a − b)(a + b). Écrivez chaque carré sous la forme a² et b², vérifiez le double produit 2ab s'il y a trois termes, puis écrivez le produit. Développez le résultat pour contrôler.

Pourquoi (a + b)² n'est-il pas égal à a² + b² ?

Parce que (a + b)² = (a + b)(a + b) donne quatre produits : a², ab, ba et b². Les deux produits ab forment le double produit 2ab. Avec des nombres : (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25.

Existe-t-il des identités remarquables de degré 3 ?

Oui : (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, ainsi que a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) et a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Elles sont surtout utilisées au lycée.

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Mis à jour le 6 octobre 2026