Calculatrice graphique en ligne : tracer des courbes de fonctions

Comment saisir une fonction

Écrivez l'expression de f(x) sans le « f(x) = », avec x comme variable. Le produit peut rester implicite (2x, x sin(x)) et la virgule sert de séparateur décimal. Vous pouvez tracer jusqu'à quatre fonctions à la fois, nommées f, g, h et k dans l'ordre de saisie.

Le graphique est cadré automatiquement autour des racines et des points remarquables. Sous la courbe, la calculatrice donne f(0), les solutions de f(x) = 0 (exactes quand c'est possible, sinon approchées entre −10 et 10), un tableau de valeurs pour x allant de −3 à 3 et, si vous avez saisi au moins deux fonctions, les points d'intersection des deux premières.

Lire une courbe : image, antécédents, signe et variations

La courbe de f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Quatre lectures reviennent dans tous les exercices. Prenons f(x) = x² − 2, tracée ci-dessus.

• L'image d'un nombre : l'image de 2 est l'ordonnée du point d'abscisse 2, soit f(2) = 2. Un nombre a au plus une image.
• Les antécédents d'un nombre : les antécédents de 2 sont les abscisses des points d'ordonnée 2, soit −2 et 2. Il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs : −3 n'a aucun antécédent, car la courbe ne descend pas sous −2.
• Le signe : f est négative là où la courbe est sous l'axe des abscisses, ici entre −√2 et √2, et positive ailleurs.
• Les variations : la courbe descend sur ]−∞ ; 0] puis monte sur [0 ; +∞[ : le minimum, −2, est atteint en 0. Le tableau de variation confirme cette lecture par le signe de la dérivée.

Une lecture graphique donne des valeurs approchées, à la précision du quadrillage près. Elle suffit pour conjecturer ou contrôler ; elle ne remplace pas un calcul quand l'énoncé demande une valeur exacte.

Résoudre graphiquement f(x) = k

Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec la droite horizontale d'équation y = k. Pour le faire ici, saisissez la fonction puis la constante : x^2 - 2 ; 2. La calculatrice trace la droite y = 2 et résout x² − 2 = 2 : S = {−2 ; 2}.

Pour une inéquation, on lit des intervalles. Les solutions de f(x) > k sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite y = k : pour x² − 2 > 2, c'est ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[.

Résoudre graphiquement f(x) = g(x)

Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Celles de f(x) ≤ g(x) sont les abscisses des points où la courbe de f est sous celle de g, ou la touche. Dans l'exemple corrigé plus haut, la parabole y = x² − 2 coupe la droite y = 2x + 1 aux points (−1 ; −1) et (3 ; 7), et elle est sous la droite entre ces deux points : x² − 2 ≤ 2x + 1 pour x ∈ [−1 ; 3].

Deux courbes peuvent aussi ne jamais se rencontrer. C'est le cas de l'exponentielle et du logarithme, symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite y = x : pour tout x > 0, e^x > x > ln x.

La méthode graphique est la seule accessible pour certaines équations, comme e^x = x + 2 ou cos x = x, que l'on ne sait pas résoudre par le calcul. Le tracé donne le nombre de solutions et leur ordre de grandeur ; on peut ensuite les encadrer plus finement. Pour les équations qui se résolvent exactement, le solveur d'équations donne les solutions avec toutes les étapes.

Choisir une bonne fenêtre d'affichage

La fenêtre est la portion du plan affichée : un intervalle pour x et un autre pour y. Ici, elle est choisie automatiquement. Sur une calculatrice de poche, on la règle soi-même (valeurs minimale et maximale de x et de y, pas des graduations), et un mauvais réglage peut tromper.

• Partez de l'ensemble de définition : ln x et √x n'existent pas pour x négatif, inutile d'afficher une grande partie à gauche de l'axe.
• Utilisez le tableau de valeurs pour choisir l'intervalle des ordonnées : si f prend des valeurs entre −18 et 18 sur [−3 ; 3], une fenêtre limitée à [−2 ; 2] en y coupera la courbe.
• Méfiez-vous des fenêtres trop larges : sur [−100 ; 100], x³ − 3x ressemble à x³ et l'on ne voit plus ses deux extremums, en −1 et en 1.
• Attention aux valeurs interdites : autour de x = 0, la courbe de 1/x a deux branches séparées par une asymptote verticale. Un trait vertical affiché à cet endroit n'appartient pas à la courbe.
• Travaillez en radians pour les fonctions trigonométriques : sinus et cosinus ont une période de 2π, soit environ 6,28.

Les courbes à reconnaître

Savoir à quoi ressemble la courbe avant de la tracer permet de repérer une erreur de saisie.

Calculatrice graphique ou calculatrice scientifique ?

Une calculatrice scientifique calcule des valeurs : sin(30°), ln 5, 2¹⁰. Une calculatrice graphique fait les mêmes calculs et y ajoute le tracé, ce qui permet d'étudier une fonction dans son ensemble. Pour un calcul numérique isolé, la calculatrice scientifique en ligne suffit ; les autres outils, fractions et pourcentages compris, sont réunis sur la page des calculatrices en ligne. Pour un examen, seule la calculatrice autorisée par le règlement de l'épreuve est permise : un site web ne la remplace pas.

Utilisez le tracé pour conjecturer, puis démontrez par le calcul. Le solveur mathématique rédige ensuite chaque étape de la résolution exacte, de l'équation au tableau de variation.

Questions fréquentes

Comment tracer une courbe en ligne ?

Tapez l'expression de la fonction avec x comme variable, par exemple x^2 − 2 ou sin(x), puis cliquez sur Tracer. Pour superposer plusieurs courbes, séparez les fonctions par un point-virgule : x^2 − 2 ; 2x + 1. La calculatrice affiche les courbes, un tableau de valeurs et les points remarquables.

Comment trouver le point d'intersection de deux courbes ?

Les points d'intersection des courbes de f et g ont pour abscisses les solutions de l'équation f(x) = g(x) ; leur ordonnée s'obtient en calculant f(x) pour chacune. Saisissez les deux fonctions séparées par « ; » : la calculatrice résout cette équation, de façon exacte quand c'est possible, et marque les points sur le graphique.

Comment résoudre graphiquement une équation ?

Pour f(x) = k, tracez la courbe de f et la droite horizontale y = k : les solutions sont les abscisses de leurs points d'intersection. Pour f(x) = g(x), lisez les abscisses des points communs aux deux courbes. La lecture donne le nombre de solutions et des valeurs approchées ; le calcul les confirme.

Comment lire une image et un antécédent sur une courbe ?

Pour l'image de a, partez du point d'abscisse a sur l'axe horizontal, montez ou descendez jusqu'à la courbe, puis lisez l'ordonnée sur l'axe vertical. Pour les antécédents de b, partez de b sur l'axe vertical, tracez la droite horizontale y = b et lisez les abscisses de tous les points où elle coupe la courbe. Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Quelle est la différence entre une calculatrice graphique et une calculatrice scientifique ?

Une calculatrice scientifique effectue des calculs numériques : puissances, racines, trigonométrie, logarithmes. Une calculatrice graphique fait la même chose et trace en plus les courbes de fonctions, avec tableau de valeurs et recherche de points remarquables. Pour un examen, seule la calculatrice autorisée par le règlement de l'épreuve peut être utilisée.

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