Valeur absolue : définition, propriétés et exemples
La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle est égale au nombre lui-même s'il est positif, et à son opposé s'il est négatif : |5| = 5 et |−5| = 5. Une valeur absolue n'est donc jamais négative.
Sommaire
Étapes de résolution
La méthode en bref
- On part de l’inéquation
- |A| ≤ k équivaut à −k ≤ A ≤ k
- On ajoute 1 dans les trois membres
- On divise par 2 (positif : le sens ne change pas)
- Ensemble des solutions
- On part de l’inéquation|2x − 1| ≤ 5
- |A| ≤ k équivaut à −k ≤ A ≤ k−5 ≤ 2x − 1 ≤ 5
- On ajoute 1 dans les trois membres−4 ≤ 2x ≤ 6
- On divise par 2 (positif : le sens ne change pas)−2 ≤ x ≤ 3
- Ensemble des solutionsS = [−2 ; 3]
S = [−2 ; 3]
Écrivez la valeur absolue entre deux barres verticales (touche AltGr + 6 sur un clavier AZERTY sous Windows) : un calcul comme |3 - 7| + |-2|, une équation comme |2x - 1| = 5, une inéquation comme |x - 3| < 2, ou une question comme distance entre -3 et 5. Le solveur rédige la méthode et trace la situation sur un graphique.
Définition de la valeur absolue
Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est définie par :
|x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0
La seconde égalité surprend souvent : comment −x peut-il être positif ? Parce que x est négatif. Pour x = −7, on a −x = −(−7) = 7. En pratique, la valeur absolue « efface le signe moins » d'un nombre écrit sous forme décimale ou fractionnaire.
| Nombre | Signe | Valeur absolue |
|---|---|---|
| 7 | positif | |7| = 7 |
| −7 | négatif | |−7| = 7 |
| 0 | nul | |0| = 0 |
| 3 − 7 | négatif (−4) | |3 − 7| = 4 |
| −12/18 | négatif | |−12/18| = 12/18 = 2/3 |
| π − 4 | négatif, car π ≈ 3,14 | |π − 4| = 4 − π |
| √2 − 1 | positif, car √2 ≈ 1,41 | |√2 − 1| = √2 − 1 |
Les deux dernières lignes montrent la vraie méthode : on cherche le signe de ce qui est entre les barres, puis on garde l'expression ou on prend son opposée. Pour un quotient, on peut simplifier la fraction avant ou après : |a/b| = |a|/|b|. Les règles de calcul sur les fractions sont rappelées dans le dossier fractions et nombres.
Un nombre et son opposé ont la même valeur absolue : |−x| = |x|. En revanche, |−x| n'est pas toujours égal à x : pour x = −3, |−x| = 3.
Valeur absolue et distance
Sur une droite graduée d'origine O, le nombre |x| est la distance entre le point d'abscisse x et l'origine. Plus généralement, la distance entre deux réels a et b est :
d(a ; b) = |b − a| = |a − b|
Ainsi, la distance entre −3 et 5 vaut |5 − (−3)| = |8| = 8. L'ordre de la soustraction n'a pas d'importance, puisque |−8| = 8.
Cette lecture est la clé des équations et des inéquations. L'expression |x − a| est la distance entre x et a. Pour |x + 1|, écrivez |x − (−1)| : c'est la distance entre x et −1. La notion de valeur absolue et de distance entre deux réels est vue en seconde.
Les propriétés de la valeur absolue
| Propriété | Exemple |
|---|---|
| |x| ≥ 0, et |x| = 0 ⇔ x = 0 | |−0,5| = 0,5 |
| |−x| = |x| | |−9| = |9| = 9 |
| |xy| = |x| × |y| | |(−2) × 5| = 2 × 5 = 10 |
| |x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0) | |−3/4| = 3/4 |
| √x2 = |x| et |x|2 = x2 | √(−6)2 = 6 |
| −|x| ≤ x ≤ |x| | −2 ≤ −2 ≤ 2 |
| |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire) | |3 + (−5)| = 2 ≤ 8 |
La propriété √x2 = |x| évite une erreur classique : √x2 ne vaut pas x quand x est négatif. Elle est détaillée dans le cours sur la racine carrée.
La valeur absolue est compatible avec le produit et le quotient, pas avec la somme. L'inégalité triangulaire est une égalité seulement quand x et y sont de même signe : |3 + 5| = 3 + 5, mais |3 + (−5)| = 2 alors que |3| + |−5| = 8.
Enlever les barres : étudier le signe
Pour écrire une expression sans valeur absolue, on découpe ℝ selon le signe de ce qui est entre les barres. Par exemple, x − 3 est positif pour x ≥ 3 et négatif avant :
|x − 3| = x − 3 si x ≥ 3 et |x − 3| = 3 − x si x < 3
Avec deux valeurs absolues, on fait de même sur chaque intervalle, comme dans un tableau de signes. Pour A = |x − 1| + |x + 2|, les valeurs charnières sont −2 et 1 :
| Intervalle | |x − 1| | |x + 2| | A |
|---|---|---|---|
| x < −2 | 1 − x | −x − 2 | −2x − 1 |
| −2 ≤ x < 1 | 1 − x | x + 2 | 3 |
| x ≥ 1 | x − 1 | x + 2 | 2x + 1 |
Contrôle aux charnières : en −2, −2 × (−2) − 1 = 3 ; en 1, 2 × 1 + 1 = 3. Les morceaux se raccordent, comme il se doit. Sur [−2 ; 1], A reste égal à 3 : c'est la distance entre −2 et 1, et tout point situé entre eux a une somme de distances égale à 3.
Équations avec une valeur absolue
Une équation |A| = k, où k est un nombre, se résout selon le signe de k :
- si k < 0, aucune solution, car une valeur absolue n'est jamais négative : |x + 2| = −3 donne S = ∅ ;
- si k = 0, on résout A = 0 ;
- si k > 0, on résout A = k et A = −k, deux équations du premier degré quand A est affine.
Exemple 1 : équation |2x − 1| = 5
La méthode en bref
- On part de l’équation
- |A| = k (k > 0) équivaut à A = k ou A = −k
- On résout chaque équation du 1er degré
- On part de l’équation|2x − 1| = 5
- |A| = k (k > 0) équivaut à A = k ou A = −k2x − 1 = 5 ou 2x − 1 = −5
- On résout chaque équation du 1er degréx = 3 ou x = −2
S = {−2 ; 3}
Lecture en distance : |2x − 1| = 5 s'écrit 2|x − 1/2| = 5, soit |x − 1/2| = 5/2. Les solutions sont les deux nombres situés à 5/2 de 1/2 : 1/2 − 5/2 = −2 et 1/2 + 5/2 = 3.
Pour |A| = |B|, deux nombres ont la même valeur absolue s'ils sont égaux ou opposés : on résout A = B ou A = −B. Dans |x − 1| = |x + 3|, la première équation donne −1 = 3, impossible ; la seconde, x − 1 = −x − 3, donne x = −1. C'est le point situé à égale distance de 1 et de −3, leur milieu.
Inéquations avec une valeur absolue
Pour r > 0, la distance entre x et a est inférieure ou égale à r exactement quand x est dans l'intervalle centré en a de rayon r :
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r]
À l'inverse, |x − a| ≥ r signifie que x est à au moins r de a : x ≤ a − r ou x ≥ a + r. Avec une inégalité stricte, les bornes sont exclues.
Exemple 2 : inéquation et distance, |x − 3| < 2
La méthode en bref
- On part de l’inéquation
- |A| < k équivaut à −k < A < k
- On ajoute 3 dans les trois membres
- Ensemble des solutions
- On part de l’inéquation|x − 3| < 2
- |A| < k équivaut à −k < A < k−2 < x − 3 < 2interprétation : distance entre x et 3 sur la droite graduée strictement inférieure à 2
- On ajoute 3 dans les trois membres1 < x < 5
- Ensemble des solutionsS = ]1 ; 5[
S = ]1 ; 5[
Exemple 3 : inéquation |x + 1| ≥ 4
La méthode en bref
- On part de l’inéquation
- |A| ≥ k équivaut à A ≤ −k ou A ≥ k
- On résout chaque inéquation du 1er degré
- Ensemble des solutions
- On part de l’inéquation|x + 1| ≥ 4
- |A| ≥ k équivaut à A ≤ −k ou A ≥ kx + 1 ≤ −4 ou x + 1 ≥ 4interprétation : distance entre x et −1 sur la droite graduée supérieure ou égale à 4
- On résout chaque inéquation du 1er degréx ≤ −5 ou x ≥ 3
- Ensemble des solutionsS = ]−∞ ; −5] ∪ [3 ; +∞[
S = ]−∞ ; −5] ∪ [3 ; +∞[
Deux cas se règlent sans calcul : |A| < −2 n'a aucune solution, et |A| ≥ 0 est vraie pour tout réel où A est défini. Les méthodes générales (changement de sens, intervalles, crochets) sont expliquées dans le cours sur les inéquations.
La fonction valeur absolue et sa courbe en V
La fonction valeur absolue associe à tout réel x le nombre |x|. Elle est définie sur ℝ, décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, et admet en 0 son minimum, égal à 0. Elle est paire : |−x| = |x|, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| |x| | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Sa courbe a la forme d'un V : pour x ≤ 0, c'est la demi-droite d'équation y = −x ; pour x ≥ 0, la demi-droite d'équation y = x. Ce sont deux morceaux de fonctions affines qui se rejoignent en un point anguleux, l'origine : la fonction n'est pas dérivable en 0. Plus généralement, la courbe de x ↦ |x − a| + b est le même V, de sommet (a ; b).
Graphiquement, résoudre |x − 3| < 2 revient à chercher où le V de sommet (3 ; 0) passe sous la droite horizontale y = 2 : entre 1 et 5. C'est ce que le solveur affiche sous chaque résolution.
Pour un nombre complexe, la notion qui prolonge la valeur absolue est le module, présenté dans le cours sur les nombres complexes : pour un réel, les deux coïncident.
Les erreurs fréquentes
- Croire que |−x| = x : c'est faux dès que x est négatif.
- Écrire |a + b| = |a| + |b| : faux si a et b sont de signes contraires.
- Oublier le cas négatif : |x| = 4 a deux solutions, −4 et 4.
- Chercher des solutions à |A| = −3 : il n'y en a pas.
- Ne garder qu'une inégalité : |x − 3| < 2 ne se réduit pas à x − 3 < 2 ; il faut aussi x − 3 > −2.
- Confondre −|x| et |−x| : −|5| = −5 mais |−5| = 5.
Pour vérifier une résolution, remplacez x par chaque solution trouvée et par une valeur hors de l'ensemble des solutions, ou comparez votre copie avec la rédaction du solveur mathématique.
Questions fréquentes
Quelle est la définition de la valeur absolue ?
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est égale à x si x est positif ou nul, et à −x si x est négatif. C'est la distance entre x et 0 sur la droite graduée. Une valeur absolue est donc toujours positive ou nulle : |4| = 4 et |−4| = 4.
Que vaut la valeur absolue de −x ?
Pour tout réel x, |−x| = |x| : un nombre et son opposé sont à la même distance de 0. Attention, |−x| n'est pas toujours égal à x : si x = −3, |−x| = |3| = 3, qui n'est pas égal à x.
Quelles sont les propriétés de la valeur absolue ?
Pour tous réels x et y : |x| ≥ 0 ; |x| = 0 si et seulement si x = 0 ; |−x| = |x| ; |xy| = |x| × |y| ; |x/y| = |x|/|y| si y ≠ 0 ; √(x2) = |x| ; et l'inégalité triangulaire |x + y| ≤ |x| + |y|.
Comment résoudre une équation avec une valeur absolue ?
Isolez la valeur absolue pour obtenir |A| = k. Si k < 0, il n'y a aucune solution. Si k = 0, résolvez A = 0. Si k > 0, résolvez les deux équations A = k et A = −k. Par exemple, |2x − 1| = 5 donne x = 3 ou x = −2.
Comment enlever une valeur absolue ?
Étudiez le signe de l'expression entre les barres. Là où elle est positive ou nulle, on enlève les barres sans rien changer ; là où elle est négative, on la remplace par son opposée. Par exemple, |x − 3| = x − 3 si x ≥ 3, et |x − 3| = 3 − x si x < 3.
À quoi ressemble la courbe de la fonction valeur absolue ?
La courbe de x ↦ |x| a la forme d'un V : c'est la réunion de la demi-droite d'équation y = −x pour x ≤ 0 et de la demi-droite d'équation y = x pour x ≥ 0. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et son sommet est l'origine.
À lire aussi
- InéquationInéquation : définition, règle du changement de sens, solutions en intervalles, 1er et 2nd degré, produits et quotients, exemples corrigés pas à pas.
- Racine carréeRacine carrée d'un nombre : définition, carrés parfaits de 1 à 20, propriétés, simplification de √a, valeur approchée et calcul exact pas à pas.
- Fractions et nombresFractions : vocabulaire, fractions égales, simplifier, comparer, additionner, multiplier, diviser, fraction d'un nombre, avec un solveur qui détaille tout.
- Nombres complexesNombre complexe : forme algébrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, équations à Δ négatif, exemples corrigés.
Mis à jour le 6 octobre 2026