Logarithme népérien : définition, propriétés et formules

Sommaire

1. Définition du logarithme népérien
2. Les propriétés du logarithme
3. La fonction ln : dérivée, variations et courbe
4. Résoudre une équation ou une inéquation avec ln
5. Le logarithme décimal et ses applications
6. Les erreurs fréquentes
7. Questions fréquentes

Tapez une expression comme ln(12) + ln(1/3) ou ln(50) - 2ln(5) : l'outil décompose les nombres en facteurs premiers, applique les propriétés du logarithme et donne la forme la plus simple, en fonction de ln 2, ln 3 ou ln 5. Il résout aussi les équations simples comme ln(x) = 2.

Définition du logarithme népérien

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ et prend une fois et une seule chaque valeur de ]0 ; +∞[. Pour tout réel a > 0, l'équation e^x = a a donc une solution unique, notée ln a. Pour x > 0 et y réel :

y = ln x  ⇔  x = e^y

On en déduit les valeurs et les identités de base, à connaître par cœur :

• ln 1 = 0 car e⁰ = 1, et ln e = 1 ;
• e^{ln x} = x pour tout x > 0 ;
• ln(e^x) = x pour tout réel x.

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas, puisqu'une exponentielle est toujours strictement positive. Quelques valeurs approchées : ln 2 ≈ 0,693, ln 3 ≈ 1,099, ln 10 ≈ 2,303, et e ≈ 2,718.

Plus généralement, le logarithme de base b (b > 0, b ≠ 1) d'un nombre est l'exposant qu'il faut donner à b pour obtenir ce nombre : log₂ 8 = 3 car 2³ = 8. Tous les logarithmes se ramènent à ln par la formule log_b x = ln x / ln b. Le nom vient de John Napier (Neper), mathématicien écossais qui publia au début du XVII^e siècle les premières tables de logarithmes, conçues pour remplacer les multiplications par des additions.

Les propriétés du logarithme

Pour tous réels a > 0 et b > 0 et tout entier relatif n :

La règle du produit est la propriété fondamentale : les autres s'en déduisent. Elle vient de e^{x + y} = e^xe^y : si a = e^x et b = e^y, alors ab = e^{x + y}, donc ln(ab) = x + y = ln a + ln b.

ln(ab) = ln a + ln b     ln(aⁿ) = n ln a

Pour simplifier une expression, on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on applique ces formules.

Attention aux formules qui n'existent pas : ln(a + b) ne se simplifie pas, ln a × ln b n'est pas ln(ab), et (ln a)² n'est pas 2 ln a. Pour un nombre négatif, ln((−3)²) = ln 9 = 2 ln 3, mais on ne peut pas écrire 2 ln(−3) : en général, ln(x²) = 2 ln |x| pour x ≠ 0.

La fonction ln : dérivée, variations et courbe

La fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, de dérivée :

(ln x)′ = 1x     (ln u)′ = u′u  (u > 0)

Comme 1/x > 0 sur ]0 ; +∞[, ln est strictement croissante. Elle est négative sur ]0 ; 1[, nulle en 1 et positive sur ]1 ; +∞[. Sa dérivée seconde −1/x² est négative : la fonction est concave, et sa courbe reste sous sa tangente en 1, d'équation y = x − 1. D'où l'inégalité ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0. La formule de la composée donne par exemple (ln(3x − 2))′ = 3/(3x − 2) pour x > 2/3 ; les autres règles sont dans le cours sur les formules des dérivées.

La courbe passe par les points (1 ; 0) et (e ; 1). Elle est symétrique de celle de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation y = x, comme toute fonction réciproque.

Limites et croissances comparées

Aux bornes de ]0 ; +∞[ :

lim_{x → 0⁺} ln x = −∞     lim_{x → +∞} ln x = +∞

L'axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe. La croissance vers +∞ est très lente : ln(10⁶) ≈ 13,8. Toute puissance de x l'emporte sur le logarithme : ln x/x tend vers 0 en +∞ et x ln x tend vers 0 en 0⁺. Enfin, ln(1 + x)/x tend vers 1 en 0. Ces résultats sont détaillés dans le cours de calcul de limites.

Dans l'autre sens, ln x est la primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1, et ln u est une primitive de u′/u quand u > 0, ce qui sert au calcul de primitives.

Résoudre une équation ou une inéquation avec ln

Deux principes suffisent, à condition d'écrire d'abord les conditions d'existence (arguments strictement positifs) :

• ln A = k ⇔ A = e^k et ln A = ln B ⇔ A = B ;
• ln est strictement croissante : ln A < ln B ⇔ A < B, le sens de l'inégalité est conservé.

Avec deux logarithmes. Pour ln(2x − 1) = ln(x + 3), les conditions 2x − 1 > 0 et x + 3 > 0 donnent x > 1/2. L'équation équivaut alors à 2x − 1 = x + 3, soit x = 4, qui respecte la condition : S = {4}.

Une inéquation. ln(x − 1) ≥ 0 exige x > 1. Comme 0 = ln 1, elle équivaut à x − 1 ≥ 1, soit x ≥ 2 : S = [2 ; +∞[. De même, ln x < 2 donne S = ]0 ; e²[ : sans la condition x > 0, on garderait à tort les nombres négatifs.

L'inconnue en exposant. Pour trouver le plus petit entier n tel que 2ⁿ ≥ 1000, on applique ln, croissante : n ln 2 ≥ ln 1000, donc n ≥ ln 1000/ln 2 ≈ 9,97, puisque ln 2 > 0. La réponse est n = 10 (2¹⁰ = 1024). Si l'on divise par un logarithme négatif, comme ln 0,5, le sens de l'inégalité change. C'est la méthode des seuils pour les suites géométriques.

Un changement d'inconnue. (ln x)² − 3 ln x + 2 = 0 devient, avec X = ln x, X² − 3X + 2 = 0, de solutions 1 et 2. On revient à x : S = {e ; e²}. D'autres exemples figurent dans le cours pour résoudre une équation.

Le logarithme décimal et ses applications

Le logarithme décimal, noté log, est le logarithme de base 10 :

log x = ln xln 10    donc    log(10ⁿ) = n

Il a les mêmes propriétés que ln : log 1000 = 3, log 0,01 = −2, log(2 × 10⁵) = log 2 + 5 ≈ 5,30. Il donne directement l'ordre de grandeur d'un nombre écrit en notation scientifique.

Nombre de chiffres d'un entier

Un entier N ≥ 1 a k chiffres quand 10^{k − 1} ≤ N < 10^k, c'est-à-dire k − 1 ≤ log N < k. Ainsi, log(2¹⁰⁰) = 100 log 2 ≈ 30,1 : le nombre 2¹⁰⁰ s'écrit avec 31 chiffres.

Le pH en chimie

Le pH d'une solution aqueuse se calcule à partir de la concentration en ions oxonium, exprimée en mol/L :

pH = −log [H₃O⁺]

Pour [H₃O⁺] = 10⁻³ mol/L, le pH vaut 3. Pour 2,5 × 10⁻⁴ mol/L, pH = 4 − log 2,5 ≈ 3,6. Une concentration en ions oxonium dix fois plus faible donne un pH supérieur d'une unité.

Les décibels en acoustique

Le niveau d'intensité sonore L, en décibels (dB), compare l'intensité I d'un son (en W/m²) à l'intensité de référence I₀ = 10⁻¹² W/m², proche du seuil d'audibilité :

L = 10 log II₀

Pour I = 10⁻⁵ W/m², L = 10 log(10⁷) = 70 dB. Multiplier l'intensité par 10 ajoute 10 dB ; la doubler ajoute 10 log 2 ≈ 3 dB. Deux sources identiques de 70 dB produisent donc environ 73 dB, et non 140.

Les erreurs fréquentes

• Oublier les conditions : sans x > 0 (ou argument > 0), on garde des solutions qui n'existent pas.
• Inventer ln(a + b) = ln a + ln b : la somme ne se transforme pas, seul le produit le fait.
• Confondre ln x² et (ln x)² : le premier vaut 2 ln x pour x > 0, le second est un carré.
• Diviser par un logarithme négatif sans changer le sens de l'inégalité : ln q < 0 quand 0 < q < 1.
• Confondre ln et log sur la calculatrice : la touche « log » donne le logarithme décimal.

Pour vérifier une simplification, comparez les valeurs approchées des deux expressions à la calculatrice : ln 50 − 2 ln 5 et ln 2 donnent tous deux 0,693… Pour une résolution complète, comparez votre copie au solveur mathématique, qui rédige les conditions et chaque étape.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Le logarithme d'un nombre strictement positif est l'exposant qu'il faut donner à une base pour obtenir ce nombre. En base 10, log 1000 = 3 car 10³ = 1000. Le logarithme népérien ln utilise la base e ≈ 2,718 : ln a est l'unique réel x tel que e^x = a. Les logarithmes transforment les produits en sommes et les puissances en produits.

Comment enlever le ln dans une équation ?

Appliquez l'exponentielle aux deux membres, puisque e^{ln A} = A pour A > 0. Ainsi, ln x = 3 donne x = e³. Pour ln A = ln B, résolvez A = B. Dans les deux cas, commencez par écrire les conditions (arguments strictement positifs) et vérifiez que les solutions les respectent.

Quelle est la différence entre ln et log ?

ln est le logarithme népérien, de base e : ln e = 1. log désigne en France le logarithme décimal, de base 10 : log 10 = 1. Ils sont proportionnels, log x = ln x / ln 10, et ont les mêmes propriétés algébriques. ln sert en analyse (sa dérivée est 1/x), log en chimie, en acoustique et pour les ordres de grandeur.

Comment calculer un logarithme sans calculatrice ?

Décomposez le nombre en produit de facteurs premiers et utilisez les propriétés : ln 12 = ln(2² × 3) = 2 ln 2 + ln 3. On exprime ainsi les résultats en fonction de ln 2, ln 3 ou ln 5, sans valeur approchée. Pour les puissances de la base, la réponse est immédiate : ln e⁵ = 5, log 0,001 = −3.

Pourquoi ln(0) n'existe pas ?

Parce qu'aucun réel x ne vérifie e^x = 0 : une exponentielle est toujours strictement positive. Le logarithme n'est donc défini que sur ]0 ; +∞[. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln x tend vers −∞ : l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

À quoi sert le logarithme ?

À résoudre les équations dont l'inconnue est en exposant (temps de doublement d'un placement, seuil d'une suite géométrique), à mesurer des grandeurs qui varient sur de nombreux ordres de grandeur (pH, décibels) et à dénombrer les chiffres d'un nombre. En analyse, ln est une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[.

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Mis à jour le 6 octobre 2026