Intégration par parties : formule, choix de u et v′, exemples
L'intégration par parties permet d'intégrer un produit uv′ en le remplaçant par une intégrale plus simple : ∫ab uv′ = [uv]ab − ∫ab u′v. On dérive le facteur qui se simplifie (polynôme, logarithme) et l'on intègre l'autre. Le solveur choisit u et v′ pour vous, ou applique votre choix, et rédige chaque étape.
Sommaire
- La formule d'intégration par parties
- Démonstration à partir de la dérivée d'un produit
- Comment choisir u et v′
- Exemple 1 : intégrale de x eˣ
- Exemple 2 : primitive de ln x
- Exemple 3 : intégrale de x sin x
- Double intégration par parties
- Rédiger une intégration par parties sur une copie
- Les erreurs fréquentes
- Questions fréquentes
Étapes de résolution
La méthode en bref
- On calcule par parties
- On pose
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- Une primitive de ex est
- Une primitive est donc (développée et réduite)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégrée
- Avec les bornes : [uv]01 − ∫u′v
- Donc
- On calcule par parties∫01 xex dxon dérive la partie qui se simplifie (polynôme, ln) et on intègre l’autre
- On poseu(x) = x ; v′(x) = ex
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 1 ; v(x) = exune primitive de ex est ex
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ xex dx = xex − ∫ ex dx
- Une primitive de ex estexune primitive de ex est ex
- Une primitive est donc (développée et réduite)F(x) = xex − exforme factorisée : F(x) = ex(x − 1)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégréeF′(x) = xex
- Avec les bornes : [uv]01 − ∫u′v[xex]01 = e ; [ex]01 = e − 1
- Donc∫01 xex dx = e − (e − 1) = 1
∫01 xex dx = 1
En mode automatique, saisissez le produit à intégrer, par exemple x e^x, x^2 cos(x) ou ln(x), et éventuellement les bornes ; sans bornes, vous obtenez une primitive. Le mode « Je choisis u et v′ » sert à tester votre propre choix, comme le demandent souvent les énoncés.
La formule d'intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b], dont les dérivées u′ et v′ sont continues sur cet intervalle. Alors :
∫ab u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u′(x)v(x) dx
Pour chercher une primitive, la même formule s'écrit sans bornes : ∫ uv′ = uv − ∫ u′v. L'idée est de transférer la dérivation d'un facteur à l'autre : on intègre v′ en v, on dérive u en u′, et l'on paie ce transfert par le terme [uv] et un signe moins.
Démonstration à partir de la dérivée d'un produit
La formule découle de la dérivée d'un produit, (uv)′ = u′v + uv′. On en tire uv′ = (uv)′ − u′v. Les trois fonctions uv′, (uv)′ et u′v sont continues sur [a ; b], donc intégrables. Par linéarité :
∫ab uv′ = ∫ab (uv)′ − ∫ab u′v
Comme uv est une primitive de (uv)′, on a ∫ab (uv)′ = u(b)v(b) − u(a)v(a) = [uv]ab, ce qui donne la formule. Cette démonstration est à connaître : elle est courte et montre d'où vient le signe moins. Les règles de dérivation utilisées sont rappelées dans le cours sur les dérivées.
Comment choisir u et v′
Tout se joue sur ce choix. Deux conditions doivent être remplies : on doit savoir trouver une primitive v de v′, et la nouvelle intégrale ∫ u′v doit être plus simple que celle de départ. En pratique, on prend pour u le facteur que la dérivation simplifie.
La règle LPET aide à décider : Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique. On choisit pour u la fonction qui vient en premier dans cette liste. Dans l'enseignement supérieur, on rencontre la variante ALPES, qui place en tête les fonctions arc.
| Intégrale | u(x) | v′(x) | Pourquoi |
|---|---|---|---|
| ∫ x ex dx | x | ex | u′ = 1 : le polynôme disparaît |
| ∫ x sin x dx | x | sin x | même raison |
| ∫ x2 ex dx | x2 | ex | deux intégrations successives |
| ∫ ln x dx | ln x | 1 | on ne connaît pas de primitive de ln x, mais sa dérivée 1/x est simple |
| ∫ x ln x dx | ln x | x | le logarithme passe avant le polynôme |
| ∫ ex cos x dx | ex ou cos x | l'autre facteur | cas cyclique : les deux choix aboutissent, après deux intégrations et une équation |
Un mauvais choix se voit tout de suite. Avec u = ex et v′ = x dans ∫ x ex dx, on obtient (x2/2) ex − ∫ (x2/2) ex dx : le degré du polynôme augmente, l'intégrale est pire qu'au départ.
Avant de vous lancer, vérifiez aussi qu'une intégration par parties est utile. x ex2 est la forme u′eu à un facteur 1/2 près : une primitive est ex2/2, directement lue dans le tableau des primitives usuelles.
Exemple 1 : intégrale de x eˣ
C'est l'exemple type. On pose u(x) = x et v′(x) = ex, d'où u′(x) = 1 et v(x) = ex. Les fonctions u et v sont dérivables sur [0 ; 1], de dérivées continues.
Intégrale de x eˣ entre 0 et 1
La méthode en bref
- On calcule par parties
- On pose
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- Une primitive de ex est
- Une primitive est donc (développée et réduite)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégrée
- Avec les bornes : [uv]01 − ∫u′v
- Donc
- On calcule par parties∫01 xex dxon dérive la partie qui se simplifie (polynôme, ln) et on intègre l’autre
- On poseu(x) = x ; v′(x) = ex
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 1 ; v(x) = exune primitive de ex est ex
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ xex dx = xex − ∫ ex dx
- Une primitive de ex estexune primitive de ex est ex
- Une primitive est donc (développée et réduite)F(x) = xex − exforme factorisée : F(x) = ex(x − 1)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégréeF′(x) = xex
- Avec les bornes : [uv]01 − ∫u′v[xex]01 = e ; [ex]01 = e − 1
- Donc∫01 xex dx = e − (e − 1) = 1
∫01 xex dx = 1
La primitive obtenue, ex(x − 1), se vérifie en dérivant : ex(x − 1) + ex = x ex.
Exemple 2 : primitive de ln x
Le logarithme n'a pas de primitive dans le formulaire de base. L'astuce consiste à voir ln x comme le produit ln x × 1, avec u = ln x et v′ = 1. Sur [1 ; e], u et v sont dérivables à dérivées continues.
Intégrale de ln x entre 1 et e (u = ln x, v′ = 1)
La méthode en bref
- On calcule par parties
- On pose
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- Une primitive de 1 est
- Une primitive est donc (développée et réduite)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégrée
- Avec les bornes : [uv]1e − ∫u′v
- Donc
- On calcule par parties∫1e ln x dxon dérive la partie qui se simplifie (polynôme, ln) et on intègre l’autre
- On poseu(x) = ln x ; v′(x) = 1
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 1x ; v(x) = xune primitive de k est kx
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ ln x dx = x ln x − ∫ 1 dx
- Une primitive de 1 estxune primitive de k est kx
- Une primitive est donc (développée et réduite)F(x) = x ln x − x
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégréeF′(x) = ln x
- Avec les bornes : [uv]1e − ∫u′v[x ln x]1e = e ; [x]1e = e − 1
- Donc∫1e ln x dx = e − (e − 1) = 1
∫1e ln x dx = 1
On retient le résultat : une primitive de ln x sur ]0 ; +∞[ est x ln x − x. La même méthode donne ∫ x ln x dx = (x2/2) ln x − x2/4 + C, avec u = ln x et v′ = x.
Exemple 3 : intégrale de x sin x
On pose u(x) = x et v′(x) = sin x. Attention au signe : une primitive de sin x est −cos x, donc v(x) = −cos x.
Intégrale de x sin x entre 0 et π
La méthode en bref
- On calcule par parties
- On pose
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- Une primitive de −cos x est
- Une primitive est donc (développée et réduite)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégrée
- Avec les bornes : [uv]0π − ∫u′v
- Donc
- On calcule par parties∫0π x sin x dxon dérive la partie qui se simplifie (polynôme, ln) et on intègre l’autre
- On poseu(x) = x ; v′(x) = sin x
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 1 ; v(x) = −cos xune primitive de sin x est −cos x
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ x sin x dx = −x cos x − ∫ (−cos x) dx
- Une primitive de −cos x est−sin xune primitive de cos x est sin x
- Une primitive est donc (développée et réduite)F(x) = sin x − x cos x
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégréeF′(x) = x sin x
- Avec les bornes : [uv]0π − ∫u′v[−x cos x]0π = π ; [−sin x]0π = 0
- Donc∫0π x sin x dx = π − 0 = π ≈ 3,1416
∫0π x sin x dx = π
Le résultat, π, est positif, ce qui est cohérent : x sin x ≥ 0 sur [0 ; π], et l'intégrale est l'aire sous la courbe.
Double intégration par parties
Avec un polynôme de degré 2, une seule intégration par parties ne suffit pas : elle remplace x2 par 2x, et il faut recommencer pour faire disparaître le polynôme.
Primitive de x² eˣ : deux intégrations par parties
La méthode en bref
- On cherche une primitive par parties de
- On pose
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- On sort la constante 2 de l’intégrale (linéarité)
- On pose (seconde intégration par parties)
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v
- Une primitive de ex est
- Une primitive est donc (développée et réduite)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégrée
- On cherche une primitive par parties de∫ x2ex dxon dérive la partie qui se simplifie (polynôme, ln) et on intègre l’autre
- On poseu(x) = x2 ; v′(x) = ex
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 2x ; v(x) = exune primitive de ex est ex
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ x2ex dx = x2ex − ∫ 2xex dx
- On sort la constante 2 de l’intégrale (linéarité)∫ 2xex dx = 2 ∫ xex dx
- On pose (seconde intégration par parties)u(x) = x ; v′(x) = ex
- Alors (on dérive u, on prend une primitive de v′)u′(x) = 1 ; v(x) = exune primitive de ex est ex
- Formule d’intégration par parties : ∫uv′ = uv − ∫u′v∫ xex dx = xex − ∫ ex dx
- Une primitive de ex estexune primitive de ex est ex
- Une primitive est donc (développée et réduite)F(x) = x2ex − 2xex + 2exforme factorisée : F(x) = ex(x2 − 2x + 2)
- Vérification : on dérive F et on retrouve la fonction intégréeF′(x) = x2ex
F(x) = x2ex − 2xex + 2ex + C
Plus généralement, un polynôme de degré n multiplié par ex, sin x ou cos x demande n intégrations par parties successives.
Le cas cyclique : eˣ cos x
Ici aucun facteur ne se simplifie en dérivant. Notons J = ∫ ex cos x dx. Avec u = cos x et v′ = ex : J = ex cos x + ∫ ex sin x dx. Une seconde intégration par parties, avec u = sin x et v′ = ex, donne ∫ ex sin x dx = ex sin x − J. Donc J = ex cos x + ex sin x − J, d'où :
∫ ex cos x dx = ex(cos x + sin x)2 + C
En dérivant, on retrouve bien ex(cos x + sin x)/2 + ex(−sin x + cos x)/2 = ex cos x. Entre 0 et π, l'intégrale vaut −(eπ + 1)/2 ≈ −12,07. Les deux intégrations doivent garder le même rôle pour l'exponentielle (v′ les deux fois) : sinon, la seconde annule la première et l'on aboutit à J = J. Ce cas cyclique ne fait pas partie des choix automatiques du solveur : rédigez-le à la main comme ci-dessus.
Rédiger une intégration par parties sur une copie
- Poser les fonctions. « On pose u(x) = x et v′(x) = ex ; alors u′(x) = 1 et v(x) = ex. »
- Justifier. « Les fonctions u et v sont dérivables sur [0 ; 1], de dérivées continues. »
- Appliquer la formule avec les bornes : ∫01 x ex dx = [x ex]01 − ∫01 ex dx.
- Calculer chaque morceau. [x ex]01 = e et ∫01 ex dx = e − 1.
- Conclure. « Donc ∫01 x ex dx = e − (e − 1) = 1. »
Une fois la méthode acquise, le cours pour calculer une intégrale montre comment l'utiliser pour une aire entre deux courbes ou une valeur approchée, et le pilier sur les intégrales rassemble les propriétés à connaître.
Les erreurs fréquentes
- Dériver v′ au lieu de l'intégrer : avec v′ = sin x, on prend v = −cos x, pas cos x.
- Oublier le signe moins devant ∫ u′v, ou le signe de v quand il est négatif : −∫ (−cos x) dx = +∫ cos x dx.
- Oublier les bornes du crochet : [uv]ab se calcule comme u(b)v(b) − u(a)v(a).
- Inverser les rôles : un polynôme placé en v′ voit son degré augmenter.
- Utiliser la méthode quand une forme composée suffit, comme pour x ex2 ou 2x/(x2 + 1).
- Omettre la justification : la continuité des dérivées de u et v fait partie de la rédaction attendue.
Pour vérifier une primitive obtenue par parties, dérivez-la : vous devez retrouver le produit de départ. Le solveur pas à pas refait le calcul et affiche le choix de u et de v′.
L'intégration par parties intervient aussi dans la résolution de certaines équations différentielles avec second membre, lorsqu'il faut trouver une primitive d'un produit.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l'intégration par parties ?
Si u et v sont dérivables sur [a ; b], de dérivées continues, alors ∫ab u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u′(x)v(x) dx. Sans bornes, pour une primitive : ∫ uv′ = uv − ∫ u′v.
Comment choisir u et v′ dans une intégration par parties ?
Prenez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (un polynôme, ou ln x) et pour v′ celui dont on connaît facilement une primitive (ex, sin x, cos x). La nouvelle intégrale ∫ u′v doit être plus simple que celle de départ ; si elle est plus compliquée, échangez les rôles.
Que veut dire LPET en intégration par parties ?
LPET est un moyen mnémotechnique pour choisir u : Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique. On prend pour u la fonction qui apparaît le plus tôt dans cette liste, et l'autre facteur pour v′. Une variante, ALPES, ajoute en tête les fonctions arc (arctangente, arcsinus) étudiées après le bac. C'est une règle pratique, pas un théorème.
Quand faut-il faire deux intégrations par parties ?
Quand le polynôme est de degré 2, comme dans x2 ex : la première intégration le fait passer au degré 1, la seconde le fait disparaître. On en fait aussi deux pour ex cos x : l'intégrale de départ réapparaît, et l'on résout une équation dont elle est l'inconnue.
L'intégration par parties est-elle au programme de terminale ?
Oui, elle fait partie du calcul intégral étudié en spécialité mathématiques de terminale. Les sujets proposent souvent de l'appliquer en indiquant le choix de u et v′, ou de l'utiliser pour calculer une aire ou une valeur moyenne.
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Mis à jour le 6 octobre 2026