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Matrice inverse : définition, formule et calcul pas à pas

La matrice inverse d'une matrice carrée A est la matrice A−1 telle que A × A−1 = A−1 × A = I, la matrice identité. Elle existe si et seulement si le déterminant de A est non nul ; on la calcule par une formule directe en taille 2, par la comatrice ou par la méthode de Gauss-Jordan au-delà.

Sommaire
  1. Définition de la matrice inverse
  2. Quand une matrice est-elle inversible ?
  3. Formule de l'inverse d'une matrice 2 × 2
  4. Inverse d'une matrice 3 × 3 par la comatrice
  5. La méthode de Gauss-Jordan
  6. Résoudre un système AX = B avec la matrice inverse
  7. Les propriétés de la matrice inverse
  8. Les erreurs fréquentes
  9. Questions fréquentes

Matrice carrée 2 × 2, 3 × 3 ou 4 × 4 (lignes séparées par « ; »)

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On calcule le déterminant par la règle de Sarrus (trois diagonales descendantes moins trois diagonales montantes)
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. On calcule les cofacteurs : Cij = (−1)i+j × (déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j)
  3. Cofacteurs de la ligne 1
  4. Cofacteurs de la ligne 2
  5. Cofacteurs de la ligne 3
  6. La comatrice est la matrice des cofacteurs ; l’inverse est sa transposée divisée par le déterminant
  7. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identité
  1. On calcule le déterminant par la règle de Sarrus (trois diagonales descendantes moins trois diagonales montantes)det(A) = 1 × 1 × 0 + 2 × 4 × 5 + 3 × 0 × 6 − 3 × 1 × 5 − 1 × 4 × 6 − 2 × 0 × 0
    det(A) = 0 + 40 + 0 − 15 − 24 − 0 = 1
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. On calcule les cofacteurs : Cij = (−1)i+j × (déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j)
  3. Cofacteurs de la ligne 1C11 = +1460 = 1 × 0 − 4 × 6 = −24
    C12 = −0450 = −(0 × 0 − 4 × 5) = 20
    C13 = +0156 = 0 × 6 − 1 × 5 = −5
  4. Cofacteurs de la ligne 2C21 = −2360 = −(2 × 0 − 3 × 6) = 18
    C22 = +1350 = 1 × 0 − 3 × 5 = −15
    C23 = −1256 = −(1 × 6 − 2 × 5) = 4
  5. Cofacteurs de la ligne 3C31 = +2314 = 2 × 4 − 3 × 1 = 5
    C32 = −1304 = −(1 × 4 − 3 × 0) = −4
    C33 = +1201 = 1 × 1 − 2 × 0 = 1
  6. La comatrice est la matrice des cofacteurs ; l’inverse est sa transposée divisée par le déterminantCom(A) = −2420−518−1545−41  donc  A−1 = 1det(A) tCom(A) = −2418520−15−4−541
  7. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identitéA × A−1 = 100010001 = I3

A−1 = −2418520−15−4−541

Tapez la matrice ligne par ligne, coefficients séparés par des espaces et lignes par « ; », par exemple 4 7 ; 2 6 ou 2 0 1 ; 1 1 0 ; 0 3 1. Le calculateur accepte les matrices carrées de taille 2, 3 ou 4. Il calcule le déterminant, applique la formule 2 × 2, la comatrice (3 × 3) ou la méthode de Gauss-Jordan (4 × 4), donne l'inverse en fractions exactes et vérifie que le produit redonne la matrice identité.

Définition de la matrice inverse

Une matrice carrée A de taille n est inversible s'il existe une matrice B de même taille telle que AB = BA = In. Cette matrice B est alors unique : c'est l'inverse de A, notée A−1. Elle joue le rôle de 1/a pour un nombre a non nul, mais on n'écrit jamais 1/A : on ne divise pas par une matrice.

Pour une matrice carrée, il suffit de vérifier l'une des deux égalités : si AB = I, alors automatiquement BA = I. Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

Quand une matrice est-elle inversible ?

Le critère pratique est le déterminant de la matrice :

A inversible ⇔ det(A) ≠ 0

Un déterminant nul signifie que les lignes de A sont liées : l'une s'obtient en combinant les autres. C'est le cas ci-dessous, où la deuxième ligne est le double de la première.

Exemple 3 : une matrice non inversible.

La méthode en bref

  1. On calcule le déterminant
  2. Le déterminant est nul : A n’est pas inversible, la formule 2 × 2 ne peut pas s’appliquer (division par det(A) = 0)
  3. On le voit sur les lignes : elles sont liées
  1. On calcule le déterminantdet(A) = 1 × 4 − 2 × 2 = 0
  2. Le déterminant est nul : A n’est pas inversible, la formule 2 × 2 ne peut pas s’appliquer (division par det(A) = 0)det(A) = 0
  3. On le voit sur les lignes : elles sont liéesL2 = 2L1

A n’est pas inversible (det(A) = 0 ; L2 = 2L1).

D'autres signes permettent de conclure sans calcul : une matrice qui a une ligne ou une colonne nulle, ou deux lignes proportionnelles, n'est pas inversible. À l'inverse, une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls est inversible, et son inverse s'obtient en inversant chaque coefficient diagonal.

Formule de l'inverse d'une matrice 2 × 2

Pour A = abcd avec ad − bc ≠ 0 :

A−1 = 1ad − bc d−b−ca

En pratique : on échange les deux coefficients de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, puis on divise tout par le déterminant.

Exemple 1 : inverse d’une matrice 2 × 2.

La méthode en bref

  1. On calcule le déterminant
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. Pour A = abcd, on échange a et d, on change le signe de b et c, et on divise par le déterminant
  3. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identité
  1. On calcule le déterminantdet(A) = 4 × 6 − 7 × 2 = 10
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. Pour A = abcd, on échange a et d, on change le signe de b et c, et on divise par le déterminantA−1 = 1det(A) d−b−ca = 110 6−7−24 = 35−710−1525
  3. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identitéA × A−1 = 1001 = I2

A−1 = 35−710−1525

La vérification se fait en multipliant : 4726 × 0,6−0,7−0,20,4 = 1001, car 4 × 0,6 + 7 × (−0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, 4 × (−0,7) + 7 × 0,4 = 0, 2 × 0,6 + 6 × (−0,2) = 0 et 2 × (−0,7) + 6 × 0,4 = 1.

Inverse d'une matrice 3 × 3 par la comatrice

La méthode générale repose sur la comatrice Com(A), la matrice des cofacteurs. Le cofacteur Cij = (−1)i+jMij est le déterminant 2 × 2 obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j, affecté du signe du damier + − + / − + − / + − +.

A−1 = 1det(A) tCom(A)

  1. Calculer det(A) et vérifier qu'il est non nul.
  2. Calculer les neuf cofacteurs, en respectant les signes.
  3. Transposer la comatrice : la ligne i devient la colonne i.
  4. Diviser par det(A), puis vérifier que A × A−1 = I3.

Exemple 2 : inverse d’une matrice 3 × 3 par la comatrice.

La méthode en bref

  1. On calcule le déterminant par la règle de Sarrus (trois diagonales descendantes moins trois diagonales montantes)
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. On calcule les cofacteurs : Cij = (−1)i+j × (déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j)
  3. Cofacteurs de la ligne 1
  4. Cofacteurs de la ligne 2
  5. Cofacteurs de la ligne 3
  6. La comatrice est la matrice des cofacteurs ; l’inverse est sa transposée divisée par le déterminant
  7. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identité
  1. On calcule le déterminant par la règle de Sarrus (trois diagonales descendantes moins trois diagonales montantes)det(A) = 2 × 1 × 1 + 0 × 0 × 0 + 1 × 1 × 3 − 1 × 1 × 0 − 2 × 0 × 3 − 0 × 1 × 1
    det(A) = 2 + 0 + 3 − 0 − 0 − 0 = 5
  2. det(A) ≠ 0 donc A est inversible. On calcule les cofacteurs : Cij = (−1)i+j × (déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j)
  3. Cofacteurs de la ligne 1C11 = +1031 = 1 × 1 − 0 × 3 = 1
    C12 = −1001 = −(1 × 1 − 0 × 0) = −1
    C13 = +1103 = 1 × 3 − 1 × 0 = 3
  4. Cofacteurs de la ligne 2C21 = −0131 = −(0 × 1 − 1 × 3) = 3
    C22 = +2101 = 2 × 1 − 1 × 0 = 2
    C23 = −2003 = −(2 × 3 − 0 × 0) = −6
  5. Cofacteurs de la ligne 3C31 = +0110 = 0 × 0 − 1 × 1 = −1
    C32 = −2110 = −(2 × 0 − 1 × 1) = 1
    C33 = +2011 = 2 × 1 − 0 × 1 = 2
  6. La comatrice est la matrice des cofacteurs ; l’inverse est sa transposée divisée par le déterminantCom(A) = 1−1332−6−112  donc  A−1 = 1det(A) tCom(A) = 15 13−1−1213−62 = 1535−15−15251535−6525
  7. Vérification : le produit de A par son inverse donne la matrice identitéA × A−1 = 100010001 = I3

A−1 = 1535−15−15251535−6525

L'oubli de la transposition est l'erreur la plus courante : sans elle, le produit de vérification ne donne pas l'identité (sauf si la comatrice est symétrique). La formule 2 × 2 n'est d'ailleurs que le cas particulier de cette méthode.

La méthode de Gauss-Jordan

On écrit A à gauche et la matrice identité à droite. Par des opérations sur les lignes (échanger deux lignes, multiplier une ligne par un réel non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre), appliquées aux deux matrices à la fois, on transforme A en I : la matrice de droite est alors A−1. Avec A = 2153, de déterminant 1 :

  • départ : 2153 | 1001 ;
  • L1 ← 12L1 : 11/253 | 1/2001 ;
  • L2 ← L2 − 5L1 : 11/201/2 | 1/20−5/21 ;
  • L2 ← 2L2 : 11/201 | 1/20−52 ;
  • L1 ← L1 − 12L2 : 1001 | 3−1−52.

Donc A−1 = 3−1−52, ce que confirme la formule 2 × 2. Cette méthode demande moins de calculs que la comatrice dès la taille 4 : c'est celle qu'utilise le calculateur pour les matrices 4 × 4. Si un pivot nul apparaît sans pouvoir être remplacé par échange de lignes, la matrice n'est pas inversible.

Résoudre un système AX = B avec la matrice inverse

Un système linéaire s'écrit AX = B. Si A est inversible, on multiplie les deux membres à gauche par A−1 : X = A−1B. Pour le système 2x + y = 4 et 5x + 3y = 11 :

X = 3−1−52411 = 3 × 4 − 11−5 × 4 + 2 × 11 = 12

La solution est x = 1 et y = 2 ; on vérifie que 2 + 2 = 4 et 5 + 6 = 11. L'écrire BA−1 serait faux : le produit n'existe même pas ici. Cette méthode est particulièrement efficace quand on doit résoudre plusieurs systèmes de même matrice A ; les autres techniques sont dans le cours sur les systèmes d'équations.

Les propriétés de la matrice inverse

  • (A−1)−1 = A et det(A−1) = 1/det(A).
  • (AB)−1 = B−1A−1 : l'ordre s'inverse.
  • (tA)−1 = t(A−1) et, pour k ≠ 0, (kA)−1 = (1/k)A−1.
  • Pour une matrice diagonale : 2000−40005−1 = 1/2000−1/40001/5.

Une relation polynomiale donne parfois l'inverse sans calcul de déterminant. Avec A = 1102, on vérifie que A2 = 1304 = 3A − 2I. Donc A(3I − A) = 2I, et A−1 = 12(3I − A) = 1−1/201/2. C'est un type de question classique en terminale, option mathématiques expertes.

Les erreurs fréquentes

  • Inverser chaque coefficient : l'inverse de 4726 n'est pas la matrice des 1/4, 1/7, 1/2 et 1/6.
  • Oublier de vérifier le déterminant avant de lancer les calculs.
  • Oublier la transposition de la comatrice.
  • Se tromper de côté : X = A−1B, pas BA−1.
  • Écrire (AB)−1 = A−1B−1 : l'ordre doit s'inverser.

La vérification A × A−1 = I est rapide et décisive : faites-la toujours. Le solveur mathématique l'affiche à la fin de chaque calcul d'inverse.

Ce cours fait partie du dossier sur les matrices. Les règles du produit utilisées pour les vérifications sont détaillées dans le cours de calcul matriciel.

Questions fréquentes

Comment calculer l'inverse d'une matrice ?

Calculez d'abord le déterminant : s'il est nul, la matrice n'est pas inversible. Sinon, pour une matrice 2 × 2, échangez les coefficients de la diagonale, changez le signe des deux autres et divisez par le déterminant. Pour une matrice 3 × 3, calculez la comatrice, transposez-la et divisez par le déterminant, ou utilisez la méthode de Gauss-Jordan. Vérifiez enfin que A × A−1 = I.

Comment savoir si une matrice est inversible ?

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est différent de 0. Par exemple, (4 7 ; 2 6) a pour déterminant 24 − 14 = 10, elle est inversible ; (1 2 ; 2 4) a pour déterminant 4 − 4 = 0, elle ne l'est pas. Une matrice dont une ligne est proportionnelle à une autre n'est jamais inversible.

Quelle est la formule de l'inverse d'une matrice 2 × 2 ?

Pour A = (a b ; c d) avec ad − bc ≠ 0 : A−1 = 1/(ad − bc) × (d −b ; −c a). On échange a et d, on change le signe de b et c, puis on divise chaque coefficient par le déterminant.

Comment inverser une matrice 3 × 3 ?

Deux méthodes. Par la comatrice : calculez les neuf cofacteurs (déterminants 2 × 2 affectés des signes + − + en damier), transposez la matrice obtenue et divisez par le déterminant. Par Gauss-Jordan : écrivez A à côté de la matrice identité et faites des opérations sur les lignes jusqu'à transformer A en I ; la matrice de droite est alors A−1.

Une matrice non carrée peut-elle avoir une inverse ?

Non. L'inverse est définie par AA−1 = A−1A = I, ce qui impose que A soit carrée. Une matrice rectangulaire peut avoir une inverse « à gauche » ou « à droite » dans certains cas, mais ce n'est pas une matrice inverse au sens de ce cours.

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Mis à jour le 6 octobre 2026