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Calcul littéral : cours, méthodes et solveur pas à pas

Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui représentent des nombres : on réduit, on développe et on factorise des expressions comme 2x(x − 1) − (x + 3)2 pour les rendre plus simples ou plus utiles. Saisissez une expression ci-dessous : le solveur la développe, la réduit et rédige chaque étape.

Sommaire
  1. Qu'est-ce qu'une expression littérale ?
  2. Calculer la valeur d'une expression littérale
  3. Réduire une expression littérale
  4. Développer : simple et double distributivité
  5. Les identités remarquables
  6. Factoriser une expression
  7. Polynômes : quand l'expression n'a qu'une lettre
  8. Démontrer avec le calcul littéral
  9. Résoudre une équation grâce au calcul littéral
  10. Calcul littéral et fractions
  11. Les erreurs fréquentes en calcul littéral
  12. Tous les cours de calcul littéral
  13. Questions fréquentes
Exemples

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On part de l’expression
  2. On développe par simple distributivité
  3. On reconnaît l’identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  4. On remplace chaque produit par sa forme développée
  5. On supprime les parenthèses précédées d’un signe − en changeant le signe de chaque terme
  6. On regroupe les termes semblables
  7. On réduit
  1. On part de l’expressionA = 2x(x − 1) − (x + 3)2
  2. On développe par simple distributivité2x(x − 1) = 2x × x + 2x × (−1) = 2x2 − 2xk(a + b) = ka + kb
  3. On reconnaît l’identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2(x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9a = x et b = 3
  4. On remplace chaque produit par sa forme développéeA = 2x2 − 2x − (x2 + 6x + 9)
  5. On supprime les parenthèses précédées d’un signe − en changeant le signe de chaque termeA = 2x2 − 2x − x2 − 6x − 9
  6. On regroupe les termes semblablesA = (2x2 − x2) + (−2x − 6x) − 9
  7. On réduitA = x2 − 8x − 9

A = x2 − 8x − 9

Tapez l'expression comme sur votre cahier : 5x - 3(x - 2), (a + 2b)^2 ou (x+1)(x+2)(x+3). Le solveur accepte plusieurs lettres, les puissances (^ ou ²) et les fractions. Il indique la règle utilisée à chaque ligne : simple ou double distributivité, identité remarquable, suppression des parenthèses, regroupement des termes semblables.

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres remplacent des nombres. Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur ℓ s'écrit 2L + 2ℓ : cette formule vaut pour tous les rectangles. C'est tout l'intérêt du calcul littéral : un seul calcul traite une infinité de cas.

La lettre peut jouer plusieurs rôles. Dans une formule, elle désigne une grandeur (A = c2 pour l'aire d'un carré). Dans une égalité vraie pour tous les nombres, comme 3(x + 2) = 3x + 6, elle désigne n'importe quel nombre. Dans une équation, comme 3x + 6 = 0, elle désigne un nombre inconnu que l'on cherche.

Les conventions d'écriture

Pour alléger les expressions, on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse, et on écrit le nombre en premier :

Écriture complèteÉcriture simplifiée
3 × x ou x × 33x
a × bab
1 × xx
x × xx2 (« x au carré »)
x × x × xx3 (« x au cube »)
4 × (x + 1)4(x + 1)
(x + 1) × (x − 1)(x + 1)(x − 1)

Le signe × ne disparaît jamais entre deux nombres : 3 × 5 vaut 15, alors que « 35 » est un autre nombre. Ne confondez pas non plus 2x (le double de x) et x2 (le carré de x) : pour x = 5, le premier vaut 10 et le second 25.

Le vocabulaire : somme, produit, terme, facteur

La nature d'une expression est donnée par la dernière opération à effectuer selon les priorités. 3x + 6 est une somme : ses termes sont 3x et 6. 3(x + 2) est un produit : ses facteurs sont 3 et (x + 2). Ce repère simple dit quelle transformation est possible : on développe un produit, on factorise une somme.

Calculer la valeur d'une expression littérale

Pour calculer la valeur d'une expression, on remplace chaque lettre par le nombre donné, on rétablit les signes × supprimés, puis on applique les priorités opératoires : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.

Calculons A = 3x2 − 5x + 2 pour x = −2 :

A = 3 × (−2)2 − 5 × (−2) + 2 = 3 × 4 + 10 + 2 = 24

Deux pièges guettent. D'abord, un nombre négatif se remplace toujours entre parenthèses : (−2)2 = 4, alors que −22 = −4. Ensuite, la puissance passe avant le produit : 3x2 signifie 3 × x2, soit 12 ici, et non (3 × (−2))2 = 36.

Le même calcul pour x = 1 donne 3 − 5 + 2 = 0. On dit que 1 est une racine de l'expression : c'est une solution de l'équation 3x2 − 5x + 2 = 0, et cela permet de la factoriser par (x − 1).

Remplacer les lettres sert aussi à tester une égalité. L'égalité (x + 1)2 = x2 + 1 est-elle toujours vraie ? Pour x = 1, le membre de gauche vaut 4 et celui de droite 2 : elle est fausse. Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une égalité n'est pas toujours vraie ; en revanche, des essais réussis ne prouvent rien, il faut alors un calcul littéral.

Réduire une expression littérale

Réduire, c'est écrire une expression avec le moins de termes possible, en regroupant les termes semblables : ceux qui ont exactement la même partie littérale. 3x et −7x sont semblables, tout comme 2x2 et x2, ou ab et 4ab. En revanche, 3x et 3x2 ne le sont pas.

On additionne les coefficients des termes semblables, comme on additionnerait des objets de même nature : 3x + 5x = 8x, 4x2 − x2 = 3x2. Ainsi :

3x2 + 5x − 7 − x2 + 2x + 4 = 2x2 + 7x − 3

Une somme comme 2x + 3 est déjà réduite : on ne peut pas l'écrire « 5x ». Pour un produit, la règle est différente : on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles, 2x × 3x = 6x2. Quand des parenthèses sont présentes, on les supprime d'abord, comme dans cet exemple :

Exemple 1 : réduire 5x − 3(x − 2)

La méthode en bref

  1. On part de l’expression
  2. On développe par simple distributivité
  3. On remplace chaque produit par sa forme développée
  4. On regroupe les termes semblables
  5. On réduit
  1. On part de l’expressionA = 5x − 3(x − 2)
  2. On développe par simple distributivité−3(x − 2) = −3 × x + (−3) × (−2) = −3x + 6k(a + b) = ka + kb
  3. On remplace chaque produit par sa forme développéeA = 5x − 3x + 6
  4. On regroupe les termes semblablesA = (5x − 3x) + 6
  5. On réduitA = 2x + 6

A = 2x + 6

La règle du signe moins devant une parenthèse, la réduction des fractions et des exemples de difficulté croissante sont détaillés dans le cours pour développer et réduire une expression.

Développer : simple et double distributivité

Développer, c'est transformer un produit en somme. Tout repose sur la distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction.

k(a + b) = ka + kb   et   (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Avec la simple distributivité, on multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme : −4(2x − 3) = −8x + 12. Le signe du facteur s'applique à chaque terme, d'où le +12. Avec la double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, soit quatre produits : (2x − 3)(x − 4) = 2x2 − 8x − 3x + 12 = 2x2 − 11x + 12.

La distributivité s'explique par les aires. Un rectangle de côtés a + b et c + d, découpé par deux traits, se partage en quatre rectangles d'aires ac, ad, bc et bd : leur somme est l'aire totale. Avec trois facteurs, on développe deux par deux :

Exemple 3 : produit de trois facteurs

La méthode en bref

  1. On part de l’expression
  2. On développe par double distributivité
  3. On développe par double distributivité
  1. On part de l’expressionA = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
  2. On développe par double distributivité(x + 1)(x + 2) = x × x + x × 2 + 1 × x + 1 × 2 = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
  3. On développe par double distributivité(x2 + 3x + 2)(x + 3) = x2 × x + x2 × 3 + 3x × x + 3x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x3 + 3x2 + 3x2 + 9x + 2x + 6 = x3 + 6x2 + 11x + 6(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

A = x3 + 6x2 + 11x + 6

Les identités remarquables

Trois produits reviennent si souvent qu'on les développe sans refaire la double distributivité :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2  ·  (a − b)2 = a2 − 2ab + b2  ·  (a + b)(a − b) = a2 − b2

Les lettres a et b peuvent désigner n'importe quelle expression : un nombre, 2x, ou même une autre lettre. La difficulté consiste à bien les repérer, puis à élever au carré tout le terme, coefficient compris : (2b)2 = 4b2, pas 2b2.

Exemple 2 : avec deux lettres, (a + 2b)²

  1. On part de l’expressionA = (a + 2b)2
  2. On reconnaît l’identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a + 2b)2 = a2 + 2 × a × 2b + (2b)2 = a2 + 4ab + 4b2ici le premier terme est a et le second 2b

A = a2 + 4ab + 4b2

Les démonstrations, l'illustration par les aires, le calcul mental (1012, 98 × 102) et les identités de degré 3 sont rassemblés dans le cours complet sur les identités remarquables. L'erreur la plus fréquente du calcul littéral y est traitée en détail : (a + b)2 n'est pas égal à a2 + b2, il manque le double produit 2ab.

Factoriser une expression

Factoriser, c'est faire le chemin inverse : transformer une somme en produit. La forme factorisée est celle qui sert à résoudre une équation ou à étudier un signe, car un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

On dispose de trois outils, à essayer dans cet ordre :

  1. Le facteur commun. ka + kb = k(a + b), par exemple 6x2 − 9x = 3x(2x − 3). Le facteur commun peut être une parenthèse entière : 5x(x − 2) − 3(x − 2) = (x − 2)(5x − 3).
  2. Une identité remarquable lue de droite à gauche. 4x2 − 9 = (2x − 3)(2x + 3) et x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.
  3. Les racines d'un trinôme, trouvées avec le discriminant : x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Une factorisation se vérifie toujours en redéveloppant. Le cours pour factoriser une expression détaille chaque méthode, les cas pièges (facteur caché, facteurs opposés) et la marche à suivre complète.

Polynômes : quand l'expression n'a qu'une lettre

Une fois développée et réduite, une expression en x sans racine ni division par x s'écrit comme une somme de puissances de x multipliées par des nombres : x3 + 6x2 + 11x + 6, par exemple. C'est un polynôme. Son degré, ici 3, est la plus grande puissance de x.

Le vocabulaire des polynômes (coefficients, degré, racines) donne un cadre aux techniques précédentes. Le résultat central est le suivant : si a est une racine, le polynôme se factorise par (x − a). Le cours sur les polynômes montre comment trouver ces racines et effectuer la factorisation.

Démontrer avec le calcul littéral

Le calcul littéral sert à prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, là où des exemples ne suffisent pas.

Un programme de calcul. « Choisir un nombre, lui ajouter 4, multiplier le résultat par le nombre de départ, puis ajouter 4. » Avec 3, on obtient 3 × 7 + 4 = 25 ; avec 5, 5 × 9 + 4 = 49. Le résultat semble toujours être un carré. Notons x le nombre choisi : le programme donne x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2. C'est bien le carré du nombre de départ augmenté de 2, pour tout x.

Une propriété des entiers. La somme de trois entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 3 ? En les notant n, n + 1 et n + 2, leur somme vaut 3n + 3 = 3(n + 1) : c'est un multiple de 3. La factorisation fait apparaître la réponse. De la même façon, (n + 1)2 − n2 = 2n + 1 montre que la différence de deux carrés d'entiers consécutifs est toujours impaire. Ce type de raisonnement est la base de l'arithmétique.

Résoudre une équation grâce au calcul littéral

Pour résoudre une équation, on commence presque toujours par développer, réduire ou factoriser. Dans 3(x − 2) = x + 4, on développe : 3x − 6 = x + 4, puis on regroupe les x d'un côté : 2x = 10, donc x = 5. On vérifie : 3 × 3 = 9 et 5 + 4 = 9. C'est une équation du premier degré.

Quand x2 apparaît, il faut au contraire factoriser. L'équation x2 − 9 = 0 s'écrit (x − 3)(x + 3) = 0 : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc S = {−3 ; 3}. Développer n'aurait servi à rien ici. Toutes les méthodes sont reprises dans le dossier pour résoudre une équation.

Calcul littéral et fractions

Les règles des fractions s'appliquent telles quelles aux expressions littérales. Pour additionner x/2 + x/3, on réduit au même dénominateur : 3x/6 + 2x/6 = 5x/6. Pour simplifier un quotient, il faut un facteur commun au numérateur et au dénominateur, ce qui suppose de factoriser d'abord : (2x + 6)/2 = 2(x + 3)/2 = x + 3. En revanche, dans (x + 6)/2, on ne peut rien simplifier : 6 est un terme, pas un facteur. Le solveur traite aussi les coefficients fractionnaires, comme 1/2(x + 4) + (x - 1)/2.

Les erreurs fréquentes en calcul littéral

ErreurCalcul justePourquoi
x + x = x2x + x = 2xx2 = x × x, pas x + x
2x + 3 = 5x2x + 3 (déjà réduit)3 n'est pas un terme en x
3(x + 2) = 3x + 23(x + 2) = 3x + 63 multiplie chaque terme
−(x − 2) = −x − 2−(x − 2) = −x + 2le signe moins change tous les signes
(x + 3)2 = x2 + 9(x + 3)2 = x2 + 6x + 9oubli du double produit
2x × 3x = 6x2x × 3x = 6x2x × x = x2
x2 = −32 = −9 pour x = −3x2 = (−3)2 = 9un nombre négatif se remplace entre parenthèses

Le réflexe qui évite la plupart de ces erreurs : remplacez x par 1 ou 2 dans l'expression de départ et dans votre résultat. Les deux nombres doivent être égaux. Pour une vérification complète, comparez votre copie avec le solveur de maths en ligne, qui rédige chaque étape.

Tous les cours de calcul littéral

Chaque technique a son cours détaillé, avec un outil qui rédige les étapes :

Développer et réduireSimple et double distributivité, signe moins devant une parenthèse, termes semblables. Identités remarquablesLes trois formules, leurs preuves, le calcul mental et le degré 3. FactoriserFacteur commun, identités, trinôme du second degré : la méthode dans l'ordre. PolynômesDegré, coefficients, racines et factorisation par (x − a).

Le calcul littéral s'apprend au collège, au cycle 4, puis sert dans tout le lycée : fonctions, dérivées, suites, probabilités. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices corrigés pour réduire, développer ou factoriser des expressions littérales.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le calcul littéral ?

C'est le calcul avec des lettres qui représentent des nombres. Au lieu de calculer sur des valeurs précises, on transforme des expressions comme 3(x + 2) ou (a + b)2 : on les réduit, on les développe, on les factorise. Le résultat reste vrai quelle que soit la valeur des lettres, ce qui permet de démontrer des propriétés générales et de résoudre des équations.

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres, par exemple 5x − 3 ou a2 + 2ab. Chaque lettre désigne un nombre quelconque. En remplaçant les lettres par des nombres, on obtient la valeur de l'expression pour ces nombres.

Comment réduire une expression littérale ?

Supprimez d'abord les parenthèses en développant, puis regroupez les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui ont exactement la même partie littérale (les x2 ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble). Additionnez leurs coefficients : 5x − 3x + 6 se réduit en 2x + 6. Terminez en ordonnant selon les puissances décroissantes.

Que veut dire factoriser une expression littérale ?

Factoriser, c'est écrire l'expression sous la forme d'un produit. Par exemple, 6x2 − 9x = 3x(2x − 3). C'est l'opération inverse du développement. On factorise avec un facteur commun, avec une identité remarquable ou, pour un trinôme du second degré, à l'aide de ses racines.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme : 3(x + 2) devient 3x + 6. Factoriser fait l'inverse : 3x + 6 devient 3(x + 2). Les deux écritures sont égales ; on choisit la forme développée pour réduire ou comparer, la forme factorisée pour résoudre une équation produit nul ou étudier un signe.

Comment vérifier un calcul littéral ?

Remplacez la lettre par une ou deux valeurs simples (0, 1, 2) dans l'expression de départ et dans votre résultat : les deux calculs doivent donner le même nombre. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur. Ce test ne prouve pas que le calcul est juste, mais il détecte la plupart des fautes de signe.

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Mis à jour le 6 octobre 2026