Aller au contenu

Suite géométrique et suite arithmétique : formules, sommes et exemples

Une suite arithmétique ajoute toujours la même raison r : un+1 = un + r, donc un = u0 + nr. Une suite géométrique multiplie toujours par la même raison q : un+1 = q × un, donc un = u0 × qn. Voici toutes les formules, les sommes et la méthode pour reconnaître chaque type.

Sommaire
  1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
  2. Suite arithmétique : définition et formules
  3. Suite géométrique : définition et formules
  4. Suite arithmétique ou géométrique : les formules côte à côte
  5. Reconnaître une suite à partir de ses termes
  6. Déterminer un seuil
  7. Applications : intérêts composés et population
  8. Les erreurs fréquentes
  9. Questions fréquentes

Suite numérique

Représentation graphique
246810510152025

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. Suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2 : on ajoute r à chaque rang
  2. Forme explicite : un = u0 + nr
  3. Terme de rang 10
  4. Somme des termes de u0 à u10 : (nombre de termes) × premier + dernier2
  5. Sens de variation et limite
  1. Suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2 : on ajoute r à chaque rangun+1 = un + 2
  2. Forme explicite : un = u0 + nrun = 3 + n × 2 = 2n + 3
  3. Terme de rang 10u10 = 3 + 10 × 2 = 23
  4. Somme des termes de u0 à u10 : (nombre de termes) × premier + dernier2S = 11 × 3 + 232 = 143
  5. Sens de variation et limitela suite est strictement croissante (r > 0) ; lim un = +∞

u10 = 23  et  S = 143

Choisissez un mode : suite arithmétique ou géométrique (premier terme, raison, rang), reconnaissance à partir de termes consécutifs, ou recherche d'un seuil. Indiquez si le premier terme est u0 ou u1 : les formules changent. Le calculateur donne la forme explicite, le terme demandé, la somme, le sens de variation et la limite, avec un graphique des premiers termes.

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique associe un nombre un à chaque entier naturel n (éventuellement à partir d'un certain rang). On note la suite (un) ; un est le terme de rang n, ou terme général. Une suite peut être définie de deux façons :

  • de façon explicite, par une formule en fonction de n : un = n2 donne directement u10 = 100 ;
  • par récurrence, par un premier terme et une relation entre deux termes consécutifs : avec u0 = 2 et un+1 = 3un − 1, on calcule u1 = 5, puis u2 = 14, de proche en proche.

Les suites arithmétiques et géométriques sont les deux familles pour lesquelles on sait passer de la relation de récurrence à la formule explicite, et calculer la somme des termes.

Suite arithmétique : définition et formules

Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r, la raison, tel que pour tout entier n :

un+1 = un + r   ⇔   un = u0 + nr

Pour aller du rang 0 au rang n, on ajoute n fois la raison. Si la suite commence à u1, la formule devient un = u1 + (n − 1)r ; entre deux rangs quelconques, un = up + (n − p)r. Cette dernière formule permet de trouver la raison à partir de deux termes : si u3 = 11 et u8 = 26, alors 5r = 15, donc r = 3 et u0 = 2.

Suite arithmétique : u₀ = 3, r = 2

La méthode en bref

  1. Suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2 : on ajoute r à chaque rang
  2. Forme explicite : un = u0 + nr
  3. Terme de rang 10
  4. Somme des termes de u0 à u10 : (nombre de termes) × premier + dernier2
  5. Sens de variation et limite
  1. Suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2 : on ajoute r à chaque rangun+1 = un + 2
  2. Forme explicite : un = u0 + nrun = 3 + n × 2 = 2n + 3
  3. Terme de rang 10u10 = 3 + 10 × 2 = 23
  4. Somme des termes de u0 à u10 : (nombre de termes) × premier + dernier2S = 11 × 3 + 232 = 143
  5. Sens de variation et limitela suite est strictement croissante (r > 0) ; lim un = +∞

u10 = 23  et  S = 143

Montrer qu'une suite est arithmétique

On calcule un+1 − un pour n quelconque. Si le résultat est une constante, c'est la raison. Pour un = 5 − 3n : un+1 − un = 5 − 3n − 3 − 5 + 3n = −3. La suite est arithmétique de raison −3 et de premier terme 5.

Sens de variation et représentation

Comme un+1 − un = r, la suite est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0. Elle tend vers +∞ ou −∞ selon le signe de r. Les points de coordonnées (n ; un) sont alignés sur la droite y = rx + u0 : une suite arithmétique est la version « à variable entière » d'une fonction affine, de coefficient directeur r.

Somme des termes d'une suite arithmétique

La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :

S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2

Elle vient d'une astuce : écrite à l'endroit puis à l'envers, la somme forme des paires qui ont toutes la même valeur, premier + dernier. Cas particulier à connaître :

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2

Ainsi, 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101/2 = 5 050. Attention au nombre de termes : de u0 à un, il y en a n + 1 ; de up à un, il y en a n − p + 1.

Suite géométrique : définition et formules

Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q, la raison, tel que pour tout entier n :

un+1 = q × un   ⇔   un = u0 × qn

Pour aller du rang 0 au rang n, on multiplie n fois par la raison. Avec un premier terme u1 : un = u1 × qn−1 ; entre deux rangs, un = up × qn−p. Ne confondez pas qn, puissance, avec q × n.

Suite géométrique : u₁ = 5, q = 1/2

La méthode en bref

  1. Suite géométrique de premier terme u1 = 5 et de raison q = 12 : on multiplie par q à chaque rang
  2. Forme explicite : un = u1 × qn−1
  3. Terme de rang 6
  4. Somme de 6 termes consécutifs : premier terme × 1 − qnombre de termes1 − q
  5. Sens de variation et limite
  1. Suite géométrique de premier terme u1 = 5 et de raison q = 12 : on multiplie par q à chaque rangun+1 = 12 × un
  2. Forme explicite : un = u1 × qn−1un = 5 × (12)n−1
  3. Terme de rang 6u6 = 5 × (12)5 = 532 ≈ 0,1563
  4. Somme de 6 termes consécutifs : premier terme × 1 − qnombre de termes1 − qS = 5 × 1 − (12)61 − 12 = 31532
  5. Sens de variation et limitela suite est strictement décroissante ; lim un = 0|q| < 1 donc qⁿ tend vers 0

u6 = 532  et  S = 31532

Montrer qu'une suite est géométrique

On exprime un+1 en fonction de un et l'on fait apparaître un facteur constant, ou, si les termes ne sont jamais nuls, on montre que un+1/un est constant. Pour un = 3 × 2n : un+1 = 3 × 2n+1 = 2 × (3 × 2n) = 2un. La suite est géométrique de raison 2 et de premier terme 3.

Sens de variation et limite

Pour un premier terme u0 > 0 : la suite est strictement croissante si q > 1, strictement décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1. Si u0 < 0, les sens sont inversés. Si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone. Sa limite découle de celle de qn, présentée dans le cours de calcul de limites :

Raison−1 < q < 1q = 1q > 1q ≤ −1
lim qn01+∞pas de limite

Somme des termes d'une suite géométrique

Pour une raison q ≠ 1 :

1 + q + q2 + … + qn = 1 − qn+11 − q

Plus généralement, la somme de termes consécutifs vaut premier terme × (1 − qnombre de termes)/(1 − q). Par exemple, 1 + 2 + 4 + … + 29 compte 10 termes et vaut (1 − 210)/(1 − 2) = 1 023. Si −1 < q < 1, qn+1 tend vers 0 et la somme tend vers 1/(1 − q) : les sommes 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2n se rapprochent de 2 sans jamais l'atteindre.

Suite arithmétique ou géométrique : les formules côte à côte

Suite arithmétiqueSuite géométrique
Relation de récurrenceun+1 = un + run+1 = q × un
Terme général (depuis u0)un = u0 + nrun = u0 × qn
Terme général (depuis u1)un = u1 + (n − 1)run = u1 × qn−1
Entre deux rangsun = up + (n − p)run = up × qn−p
Somme de termes consécutifsnombre de termes × (premier + dernier)/2premier × (1 − qnombre de termes)/(1 − q), q ≠ 1
Somme de référence1 + 2 + … + n = n(n + 1)/21 + q + … + qn = (1 − qn+1)/(1 − q)
CroissanceLinéaire : on ajoute rExponentielle : on multiplie par q

Reconnaître une suite à partir de ses termes

Devant une liste de termes, calculez les différences entre termes consécutifs : si elles sont constantes, la suite semble arithmétique. Sinon, calculez les quotients : s'ils sont constants, elle semble géométrique. La suite 1, 4, 9, 16 n'est ni l'une ni l'autre : différences 3, 5, 7 et quotients 4, 2,25, 1,78 environ.

Reconnaître une suite à partir de ses termes

La méthode en bref

  1. On calcule les différences entre deux termes consécutifs
  2. Les différences ne sont pas constantes ; on calcule les quotients de deux termes consécutifs
  3. Les quotients sont constants : la suite semble géométrique de raison q = 3
  4. Terme suivant
  1. On calcule les différences entre deux termes consécutifsu1 − u0 = 4  ;  u2 − u1 = 12  ;  u3 − u2 = 36
  2. Les différences ne sont pas constantes ; on calcule les quotients de deux termes consécutifsu1u0 = 3  ;  u2u1 = 3  ;  u3u2 = 3
  3. Les quotients sont constants : la suite semble géométrique de raison q = 3un = 2 × 3nen notant u0 le premier terme donné
  4. Terme suivantu4 = 162

Suite géométrique de raison 3 : un = 2 × 3n

Quelques termes ne suffisent pas à démontrer : ils permettent une conjecture, que l'on prouve ensuite par le calcul de un+1 − un ou de un+1/un pour n quelconque.

Déterminer un seuil

Question classique : à partir de quel rang une suite dépasse-t-elle une valeur donnée ? Pour une suite géométrique, on résout l'inéquation avec le logarithme népérien, ou l'on programme une boucle qui calcule les termes jusqu'à franchir le seuil.

Algorithme de seuil

La méthode en bref

  1. Suite géométrique de raison 32, u0 = 3 : on cherche le plus petit n tel que un > 1 000
  2. On résout avec le logarithme (ln est croissante ; on divise par ln q > 0)
  3. Vérification sur les derniers termes
  4. Algorithme de seuil (Python)
  1. Suite géométrique de raison 32, u0 = 3 : on cherche le plus petit n tel que un > 1 000un = 3 × (32)n
  2. On résout avec le logarithme (ln est croissante ; on divise par ln q > 0)(32)n > 1 0003 ⇔ n > ln(1000/3)ln(3/2) ≈ 14,327
  3. Vérification sur les derniers termesu13 ≈ 583,9  ;  u14 ≈ 875,8  ;  u15 ≈ 1 313,7
  4. Algorithme de seuil (Python)u = 3
    n = 0
    while u <= 1000 :
        u = u * 3/2
        n = n + 1
    print(n)

n = 15

En divisant par ln q, prenez garde à son signe : si 0 < q < 1, ln q est négatif et l'inégalité change de sens.

Applications : intérêts composés et population

Intérêts simples et intérêts composés

Placés à 3 % d'intérêts simples, 1 000 € rapportent 30 € chaque année : le capital Cn = 1 000 + 30n forme une suite arithmétique. À intérêts composés, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts : chaque année, le capital est multiplié par 1,03. C'est une suite géométrique, Cn = 1 000 × 1,03n.

Au bout de 10 ans, on obtient 1 300 € dans le premier cas et environ 1 343,92 € dans le second. Le capital composé double quand 1,03n ≥ 2, soit n ≥ ln 2/ln 1,03 ≈ 23,4 : il faut 24 ans. Une hausse de t % correspond toujours au coefficient multiplicateur 1 + t/100, comme l'explique le cours sur les pourcentages d'augmentation et de diminution.

Évolution d'une population

Une ville de 20 000 habitants dont la population augmente de 2 % par an compte Pn = 20 000 × 1,02n habitants au bout de n années, soit environ 24 380 après 10 ans, si le taux reste constant. Une baisse de 15 % par an correspond à la raison 0,85 : une voiture achetée 20 000 € qui perd 15 % de sa valeur chaque année vaut 20 000 × 0,855 ≈ 8 874 € au bout de 5 ans. En temps continu, ces modèles deviennent des fonctions exponentielles.

Suites arithmético-géométriques

Beaucoup de situations combinent les deux mécanismes : un+1 = aun + b, par exemple un abonnement qui perd 50 % de ses abonnés chaque année mais en gagne 3 000 nouveaux. On cherche le réel ℓ tel que ℓ = aℓ + b, puis on pose vn = un − ℓ, qui est géométrique de raison a. Avec u0 = 10 et un+1 = 0,5un + 3 (en milliers), on trouve ℓ = 6, v0 = 4, donc un = 6 + 4 × 0,5n : la suite décroît vers 6.

Les erreurs fréquentes

  • Se tromper d'indice de départ : avec u1, l'exposant est n − 1, pas n.
  • Compter mal les termes : de u0 à u10, il y a 11 termes, pas 10.
  • Additionner une raison géométrique : une hausse de 5 % par an n'ajoute pas la même somme chaque année.
  • Conclure sur trois termes : une conjecture n'est pas une démonstration.
  • Oublier le signe de ln q dans un calcul de seuil, ou le cas q < 0, où la suite n'est pas monotone.

Pour vérifier une somme, calculez-la pour un petit nombre de termes à la main : la formule doit redonner le même résultat. Le solveur mathématique détaille terme général, somme et seuil, étape par étape. Ces suites sont le pendant discret des fonctions étudiées dans le cours sur les dérivées : affine pour l'arithmétique, exponentielle pour la géométrique.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calculez les différences entre termes consécutifs : si elles sont toutes égales, la suite semble arithmétique, de raison cette différence. Sinon, calculez les quotients : s'ils sont égaux, elle semble géométrique. Ces calculs sur quelques termes ne donnent qu'une conjecture ; pour le démontrer, exprimez un+1 − un ou un+1/un en fonction de n et montrez que le résultat est constant.

Quelle est la formule d'une suite géométrique ?

Une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q vérifie un+1 = q × un, et son terme général est un = u0 × qn. Si le premier terme est u1, la formule devient un = u1 × qn−1. Entre deux rangs quelconques, un = up × qn−p.

Comment calculer la somme d'une suite arithmétique ?

Multipliez le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier : S = (nombre de termes) × (premier + dernier)/2. De u0 à un, il y a n + 1 termes. Exemple : 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101/2 = 5 050.

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Pour une raison q ≠ 1 : S = premier terme × (1 − qnombre de termes)/(1 − q). Par exemple, 1 + 2 + 4 + … + 29 compte 10 termes, donc S = (1 − 210)/(1 − 2) = 1 023. Si q = 1, tous les termes sont égaux et la somme vaut le nombre de termes multiplié par le premier.

Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

Calculez un+1 − un pour un entier n quelconque et simplifiez. Si le résultat est un nombre r qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique de raison r. Pour un = 5 − 3n : un+1 − un = 5 − 3(n + 1) − (5 − 3n) = −3, donc la suite est arithmétique de raison −3.

Qu'est-ce qu'une suite arithmético-géométrique ?

C'est une suite définie par un+1 = aun + b, avec a ≠ 1 et b ≠ 0 : on multiplie puis on ajoute. On l'étudie avec le réel ℓ = b/(1 − a) : la suite vn = un − ℓ est géométrique de raison a, ce qui donne un = ℓ + (u0 − ℓ)an.

À lire aussi

Mis à jour le 6 octobre 2026