Développer et réduire une expression : règles et exemples

Développer et réduire une expression, c'est transformer chaque produit en somme grâce à la distributivité, puis regrouper les termes semblables : (x + 2)(3x − 1) = 3x² − x + 6x − 2 = 3x² + 5x − 2. Le calculateur ci-dessous développe et réduit votre expression en écrivant chaque étape.

Sommaire

Développer, réduire, ordonner : trois verbes à distinguer
Réduire : regrouper les termes semblables
Supprimer des parenthèses
La simple distributivité
La double distributivité
Un signe moins devant un produit
Exemples de difficulté croissante
Ordonner le résultat
Vérifier un développement
Les erreurs fréquentes
Questions fréquentes

Étapes de résolution

On part de l’expressionA = (x + 2)(3x − 1)
On développe par double distributivité(x + 2)(3x − 1) = x × 3x + x × (−1) + 2 × 3x + 2 × (−1) = 3x² − x + 6x − 2 = 3x² + 5x − 2(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

A = 3x² + 5x − 2

Saisissez l'expression comme dans l'énoncé : 3(2x - 5), (2x + 3)^2 ou 2x(x - 1) - (x + 3)^2. Le solveur nomme la règle employée à chaque ligne (simple distributivité, double distributivité, identité remarquable, signe moins devant une parenthèse), regroupe les termes semblables et donne le résultat ordonné.

Développer, réduire, ordonner : trois verbes à distinguer

Développer : transformer un produit en somme. 3(x + 2) devient 3x + 6.
Réduire : regrouper les termes semblables pour en avoir le moins possible. 3x + 6 + 2x − 2 devient 5x + 4.
Ordonner : ranger les termes selon les puissances décroissantes. 4 + 5x s'écrit 5x + 4.

Dans un exercice, « développer et réduire » demande les trois : on obtient alors la forme développée réduite, unique, qui permet de comparer deux expressions ou de lire les coefficients d'un polynôme. Ainsi 3(x + 2) + 2(x − 1) = 3x + 6 + 2x − 2 = 5x + 4.

Réduire : regrouper les termes semblables

Deux termes sont semblables s'ils ont exactement la même partie littérale : 5x et −2x, 4x² et −x², 3ab et −ab. On les réduit en additionnant leurs coefficients, comme on compterait des objets identiques :

4x² − 3x + 5 + 2x − x² − 8 = 3x² − x − 3

Avec deux lettres, la règle est la même : 3ab + 2a − ab + 5a = 2ab + 7a. Pour ne rien oublier, soulignez d'une même couleur les termes de chaque famille, ou rayez chaque terme une fois utilisé.

Attention à ne pas confondre somme et produit. On additionne les coefficients de termes semblables, mais on multiplie entre eux les coefficients et les lettres d'un produit :

Somme	Produit
x + x = 2x	x × x = x²
3x + 2x = 5x	3x × 2x = 6x²
4x² + 3x (ne se réduit pas)	4x² × 3x = 12x³
5 + 2x (ne se réduit pas)	5 × 2x = 10x

Supprimer des parenthèses

Une parenthèse précédée d'un signe + disparaît sans rien changer : 3x + (2x − 5) = 3x + 2x − 5 = 5x − 5.

Une parenthèse précédée d'un signe − disparaît en changeant le signe de chaque terme qu'elle contient, car −(a + b) = −1 × (a + b) = −a − b :

−(a − b + c) = −a + b − c

Ainsi 5 − (3x − 4) = 5 − 3x + 4 = −3x + 9, et −(2x − 7) + 4x = −2x + 7 + 4x = 2x + 7. L'erreur classique consiste à ne changer que le premier signe.

La simple distributivité

Pour développer un produit d'un facteur par une somme, on multiplie ce facteur par chacun des termes :

k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb

Exemple 1 : simple distributivité, 3(2x − 5)

On part de l’expressionA = 3(2x − 5)
On développe par simple distributivité3(2x − 5) = 3 × 2x + 3 × (−5) = 6x − 15k(a + b) = ka + kb

A = 6x − 15

Le facteur peut être négatif ou contenir la lettre. Le signe se distribue avec lui : −4(2x − 3) = −8x + 12, car (−4) × (−3) = 12 ; x(x + 5) = x² + 5x ; −2x(3x − 1) = −6x² + 2x.

La double distributivité

Pour développer le produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Deux termes fois deux termes donnent quatre produits ; deux termes fois trois termes en donneraient six. Écrivez-les tous avant de réduire, en gardant chaque terme avec son signe :

Exemple 2 : double distributivité, (x + 2)(3x − 1)

On part de l’expressionA = (x + 2)(3x − 1)
On développe par double distributivité(x + 2)(3x − 1) = x × 3x + x × (−1) + 2 × 3x + 2 × (−1) = 3x² − x + 6x − 2 = 3x² + 5x − 2(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

A = 3x² + 5x − 2

Autre exemple : (3x − 2)(x + 5) = 3x² + 15x − 2x − 10 = 3x² + 13x − 10. Le terme −2 × 5 vaut −10 : le signe de −2 accompagne le nombre dans chaque produit.

Certains produits se développent plus vite avec une formule toute prête : (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b). Leur usage est détaillé dans le cours sur les identités remarquables.

Un signe moins devant un produit

C'est la situation où l'on se trompe le plus. Quand un signe moins précède un produit, développez d'abord ce produit en gardant ses parenthèses, puis supprimez-les en changeant tous les signes :

Exemple 3 : signe moins devant une parenthèse, 2x(x − 1) − (x + 3)²

La méthode en bref

On part de l’expression
On développe par simple distributivité
On reconnaît l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²
On remplace chaque produit par sa forme développée
On supprime les parenthèses précédées d’un signe − en changeant le signe de chaque terme
On regroupe les termes semblables
On réduit

On part de l’expressionA = 2x(x − 1) − (x + 3)²
On développe par simple distributivité2x(x − 1) = 2x × x + 2x × (−1) = 2x² − 2xk(a + b) = ka + kb
On reconnaît l’identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²(x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9a = x et b = 3
On remplace chaque produit par sa forme développéeA = 2x² − 2x − (x² + 6x + 9)
On supprime les parenthèses précédées d’un signe − en changeant le signe de chaque termeA = 2x² − 2x − x² − 6x − 9
On regroupe les termes semblablesA = (2x² − x²) + (−2x − 6x) − 9
On réduitA = x² − 8x − 9

A = x² − 8x − 9

De même, 7 − (x + 2)(x − 3) = 7 − (x² − x − 6) = 7 − x² + x + 6 = −x² + x + 13. Sans la parenthèse intermédiaire, on écrirait 7 − x² − x − 6, et le résultat serait faux.

Exemples de difficulté croissante

Expression	Développement	Forme réduite
4(x + 3)	4 × x + 4 × 3	4x + 12
−3(2x − 5)	−6x + 15	−6x + 15
2x(x − 4) + 3x	2x² − 8x + 3x	2x² − 5x
(x + 3)(x − 7)	x² − 7x + 3x − 21	x² − 4x − 21
(3x − 1)(2x + 5) − 2(x² − 4)	6x² + 13x − 5 − 2x² + 8	4x² + 13x + 3
(2x − 1)² − (x + 2)(x − 2)	4x² − 4x + 1 − (x² − 4)	3x² − 4x + 5
(x + 1)(x² − x + 1)	x³ − x² + x + x² − x + 1	x³ + 1

Le dernier exemple montre que le développement peut faire disparaître des termes : ici, −x² et +x², puis +x et −x, s'annulent. Avec des coefficients fractionnaires, rien ne change : 12(x + 4) + x − 12 = x2 + 2 + x2 − 12 = x + 32.

Ordonner le résultat

On présente la forme réduite selon les puissances décroissantes de la lettre : ax² + bx + c pour le second degré. Cette écriture permet de lire immédiatement les coefficients, par exemple pour calculer un discriminant ou repérer une identité remarquable à factoriser. L'ordre croissant (c + bx + ax²) existe aussi ; il sert notamment pour les développements limités, dans le supérieur.

Vérifier un développement

Remplacez x par une valeur simple dans l'expression de départ et dans la forme réduite. Pour 2x(x − 1) − (x + 3)² et x = 2 : 2 × 2 × 1 − 5² = 4 − 25 = −21. Avec la forme réduite x² − 8x − 9 : 4 − 16 − 9 = −21. Les deux résultats coïncident. Évitez 0 et 1 comme seules valeurs tests, qui masquent certaines erreurs de puissance, et comparez au besoin votre copie avec le solveur de maths en ligne.

Les erreurs fréquentes

Oublier de multiplier un terme : 3(x + 2) = 3x + 2 au lieu de 3x + 6.
Ne changer qu'un signe : −(x − 2) = −x − 2 au lieu de −x + 2.
Oublier le double produit : (x + 3)² = x² + 9 au lieu de x² + 6x + 9.
Réduire des termes non semblables : 5x − 2 = 3x ; 5x − 2 est déjà réduit.
Confondre x + x et x × x : 2x d'un côté, x² de l'autre.
Perdre un produit en double distributivité : il en faut quatre pour deux parenthèses de deux termes.

Développer et réduire est la première compétence du calcul littéral ; la factorisation en est l'opération inverse. Pour vous exercer, générez une fiche d'exercices corrigés pour développer et réduire.

Questions fréquentes

Comment développer et réduire une expression ?

Développez d'abord chaque produit : simple distributivité k(a + b) = ka + kb, double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, ou identité remarquable. Supprimez ensuite les parenthèses, en changeant tous les signes si elles sont précédées d'un signe moins. Regroupez enfin les termes semblables et ordonnez selon les puissances décroissantes de x.

Que veut dire réduire une expression ?

Réduire, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables, ceux qui ont la même partie littérale. Ainsi 4x² − 3x + 5 + 2x − x² − 8 se réduit en 3x² − x − 3. Des termes comme 2x et 3 ne se regroupent pas.

Que faire quand il y a un signe moins devant une parenthèse ?

On supprime la parenthèse et le signe moins en changeant le signe de chaque terme qu'elle contient : −(2x − 7) = −2x + 7. Si la parenthèse est un produit, comme dans −(x + 3)², développez d'abord le produit en gardant des parenthèses, puis changez les signes.

Comment développer et réduire une expression avec des fractions ?

On applique les mêmes règles en calculant avec les fractions : (1/2)(x + 4) + (x − 1)/2 = x/2 + 2 + x/2 − 1/2 = x + 3/2. Les termes en x s'additionnent comme des fractions de même dénominateur, et les nombres aussi.

Comment ordonner une expression ?

On range les termes selon les puissances décroissantes de la lettre : d'abord x³, puis x², puis x, puis le nombre seul. Ainsi 5 − 2x + 3x² s'écrit 3x² − 2x + 5. Cette présentation permet de lire directement les coefficients a, b et c.