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Tableau de signes : méthode et exemples corrigés

Un tableau de signes résume le signe d'une expression selon les valeurs de x : + là où elle est positive, − là où elle est négative, 0 là où elle s'annule et une double barre là où elle n'existe pas. Il sert à résoudre les inéquations et à étudier les variations d'une fonction.

Sommaire
  1. Comment se lit un tableau de signes ?
  2. Signe d'une fonction affine ax + b
  3. Signe d'un trinôme du second degré
  4. Construire le tableau de signes d'un produit, pas à pas
  5. Quotient : la double barre de la valeur interdite
  6. Lire les solutions d'une inéquation dans le tableau
  7. Tableau de signes et tableau de variation
  8. Les erreurs fréquentes
  9. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
−5−4−3−2−1123456−100−80−60−40−2020406080100120140−30,5

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On étudie le signe de
  2. Signe de 2x − 1
  3. Signe de x + 3
  4. Signe de x − 4 (au dénominateur : valeur interdite)
  5. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
  6. Conclusion
  1. On étudie le signe def(x) = (2x − 1)(x + 3)x − 4
  2. Signe de 2x − 12x − 1 = 0 ⇔ x = 12coefficient de x : 2 > 0, donc 2x − 1 est négatif puis positif
  3. Signe de x + 3x + 3 = 0 ⇔ x = −3coefficient de x : 1 > 0, donc x + 3 est négatif puis positif
  4. Signe de x − 4 (au dénominateur : valeur interdite)x − 4 = 0 ⇔ x = 4coefficient de x : 1 > 0, donc x − 4 est négatif puis positif
  5. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
    x−∞−3124+∞
    2x − 1−−0++
    x + 3−0+++
    x − 4−−−0+
    f(x)−0+0−||+
  6. Conclusionf(x) > 0 sur ]−3 ; 12[ ∪ ]4 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]12 ; 4[f(x) = 0 pour x ∈ {−3 ; 12} ; valeur interdite : 4

f(x) > 0 sur ]−3 ; 12[ ∪ ]4 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]12 ; 4[

Saisissez l'expression seule, sans signe de comparaison : (2x - 1)(x + 3), x^2 - 4 ou (x + 1)/(x - 2). L'outil cherche les valeurs qui annulent chaque facteur, dresse le tableau complet et indique sur quels intervalles l'expression est positive ou négative.

Comment se lit un tableau de signes ?

La première ligne contient les valeurs de x, de −∞ à +∞, avec entre les deux les valeurs remarquables rangées dans l'ordre croissant. Chaque ligne suivante donne le signe d'un facteur entre ces valeurs, et 0 sous la valeur qui l'annule. La dernière ligne donne le signe de l'expression complète. Voici le tableau de signes de la fonction f(x) = −3x + 6, qui s'annule en 2 :

x−∞2+∞
f(x)+0−

On lit : f(x) > 0 sur ]−∞ ; 2[, f(2) = 0 et f(x) < 0 sur ]2 ; +∞[.

Signe d'une fonction affine ax + b

Une expression du premier degré ax + b (avec a ≠ 0) s'annule en une seule valeur, solution de l'équation du premier degré ax + b = 0 :

ax + b = 0 ⇔ x = −ba

La règle tient en une phrase : à droite de −b/a, l'expression a le signe de a ; à gauche, le signe contraire. Elle vient du sens de variation de la fonction affine : croissante si a > 0, elle passe du négatif au positif ; décroissante si a < 0, elle passe du positif au négatif.

ExpressionS'annule enSigne de aSigne
2x − 11/2+− puis +
−3x + 62−+ puis −
5 − x5− (coefficient −1)+ puis −
x + 3−3+− puis +

Pour 5 − x, attention : le coefficient de x est −1, même s'il est écrit en second. C'est l'erreur la plus courante.

Signe d'un trinôme du second degré

Pour ax2 + bx + c, on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac, puis on applique la règle : le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre elles. Si Δ = 0, il a le signe de a partout et s'annule à la racine double ; si Δ < 0, il a le signe de a pour tout réel, sans jamais s'annuler. Le calcul des racines est détaillé dans le cours sur l'équation du second degré.

Exemple 3 : signe d’un trinôme

La méthode en bref

  1. On étudie le signe de
  2. Signe de −x2 + 4x − 3
  3. On dresse le tableau de signes
  4. Conclusion
  1. On étudie le signe def(x) = −x2 + 4x − 3
  2. Signe de −x2 + 4x − 3Δ = 42 − 4 × (−1) × (−3) = 16 − 12 = 4 ; x1 = 1 ; x2 = 3Δ > 0 : le trinôme est du signe de a = −1 (négatif) à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles
  3. On dresse le tableau de signes
    x−∞13+∞
    f(x)−0+0−
  4. Conclusionf(x) > 0 sur ]1 ; 3[ ; f(x) < 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[f(x) = 0 pour x ∈ {1 ; 3}

f(x) > 0 sur ]1 ; 3[ ; f(x) < 0 sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[

Si le trinôme est déjà factorisé, par exemple x2 − 4 = (x − 2)(x + 2), vous pouvez aussi le traiter comme un produit de deux facteurs affines : le résultat est le même.

Construire le tableau de signes d'un produit, pas à pas

La règle des signes d'un produit est celle de la multiplication : deux facteurs de même signe donnent un produit positif, deux facteurs de signes contraires un produit négatif. Plus généralement, un produit est négatif quand il contient un nombre impair de facteurs négatifs.

  1. Factoriser. Ramenez l'expression à un produit de facteurs dont vous connaissez le signe (affines, trinômes, carrés). Au besoin, factorisez l'expression d'abord.
  2. Chercher les valeurs qui annulent chaque facteur. Résolvez chaque équation « facteur = 0 ».
  3. Remplir la première ligne. Placez ces valeurs dans l'ordre croissant entre −∞ et +∞.
  4. Remplir une ligne par facteur. Mettez 0 sous la valeur qui l'annule et les signes de part et d'autre.
  5. Remplir la dernière ligne. Dans chaque colonne, appliquez la règle des signes ; mettez 0 là où un facteur s'annule.

Exemple 1 : produit de deux facteurs affines

La méthode en bref

  1. On étudie le signe de
  2. Signe de 2x − 1
  3. Signe de x + 3
  4. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
  5. Conclusion
  1. On étudie le signe def(x) = (2x − 1)(x + 3)
  2. Signe de 2x − 12x − 1 = 0 ⇔ x = 12coefficient de x : 2 > 0, donc 2x − 1 est négatif puis positif
  3. Signe de x + 3x + 3 = 0 ⇔ x = −3coefficient de x : 1 > 0, donc x + 3 est négatif puis positif
  4. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
    x−∞−312+∞
    2x − 1−−0+
    x + 3−0++
    f(x)+0−0+
  5. Conclusionf(x) > 0 sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]12 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−3 ; 12[f(x) = 0 pour x ∈ {−3 ; 12}

f(x) > 0 sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]12 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−3 ; 12[

Vérifiez toujours une colonne avec une valeur test : pour x = 0, (2 × 0 − 1)(0 + 3) = −3, négatif, ce qui correspond bien à la colonne située entre −3 et 1/2.

Quotient : la double barre de la valeur interdite

Un quotient suit la même règle des signes qu'un produit. Une seule différence : la valeur qui annule le dénominateur est interdite. Dans la dernière ligne, on y trace une double barre au lieu d'un 0, car l'expression n'existe pas en ce point.

Exemple 2 : quotient et valeur interdite

La méthode en bref

  1. On étudie le signe de
  2. Signe de x + 1
  3. Signe de x − 2 (au dénominateur : valeur interdite)
  4. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
  5. Conclusion
  1. On étudie le signe def(x) = x + 1x − 2
  2. Signe de x + 1x + 1 = 0 ⇔ x = −1coefficient de x : 1 > 0, donc x + 1 est négatif puis positif
  3. Signe de x − 2 (au dénominateur : valeur interdite)x − 2 = 0 ⇔ x = 2coefficient de x : 1 > 0, donc x − 2 est négatif puis positif
  4. On dresse le tableau de signes (règle des signes d’un produit ou d’un quotient)
    x−∞−12+∞
    x + 1−0++
    x − 2−−0+
    f(x)+0−||+
  5. Conclusionf(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−1 ; 2[f(x) = 0 pour x ∈ {−1} ; valeur interdite : 2

f(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[ ; f(x) < 0 sur ]−1 ; 2[

Avec trois facteurs, la méthode ne change pas. Pour f(x) = (2x − 1)(x + 3)/(x − 4), les valeurs remarquables sont −3, 1/2 et 4 (interdite) :

x−∞−31/24+∞
2x − 1−−0++
x + 3−0+++
x − 4−−−0+
f(x)−0+0−||+

Contrôle en x = 0 : (−1 × 3)/(−4) = 3/4, positif, comme l'indique la colonne entre −3 et 1/2.

Le piège des signes qui « alternent »

On entend souvent que les signes alternent d'une colonne à l'autre. C'est faux dès qu'un facteur est un carré. Dans (x − 1)2(x + 2), le facteur (x − 1)2 est toujours positif ou nul : l'expression s'annule en 1 sans changer de signe. Elle est négative sur ]−∞ ; −2[ et positive sur ]−2 ; 1[ comme sur ]1 ; +∞[. Remplissez donc toujours le tableau facteur par facteur.

Lire les solutions d'une inéquation dans le tableau

Une fois le tableau dressé, toute inéquation de la forme « expression comparée à 0 » se lit directement sur la dernière ligne :

  • pour f(x) > 0, on garde les colonnes « + », bornes exclues ;
  • pour f(x) ≥ 0, on ajoute les valeurs où l'on lit 0, avec un crochet fermé ;
  • une valeur sous une double barre est toujours exclue, avec un crochet ouvert.

Avec le quotient à trois facteurs ci-dessus, f(x) ≥ 0 a pour solutions S = [−3 ; 1/2] ∪ ]4 ; +∞[, et f(x) < 0 a pour solutions S = ]−∞ ; −3[ ∪ ]1/2 ; 4[.

Tableau de signes et tableau de variation

Le tableau de variation d'une fonction dérivable se construit à partir du tableau de signes de sa dérivée : si f′(x) > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′(x) < 0, elle y est décroissante. On place souvent les deux tableaux l'un sous l'autre.

Pour f(x) = x3 − 3x, la dérivée vaut f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1). C'est un trinôme de coefficient a = 3 > 0, de racines −1 et 1. On calcule f(−1) = −1 + 3 = 2 et f(1) = 1 − 3 = −2 :

x−∞−11+∞
f′(x)+0−0+
f(x)↗2↘−2↗

La fonction admet un maximum local 2 en −1 et un minimum local −2 en 1. Pour obtenir la dérivée elle-même, consultez le cours sur les dérivées.

Les erreurs fréquentes

  • Lire le coefficient de x à l'envers : dans 4 − 2x, a = −2, donc l'expression est positive puis négative.
  • Ranger les valeurs dans le désordre : −3 vient avant −1, et 1/2 avant 1.
  • Écrire 0 sous une valeur interdite : on y met une double barre.
  • Oublier un facteur constant : dans −2(x − 1), le −2 change tous les signes ; ajoutez-lui une ligne ou tenez-en compte dans la dernière.
  • Étudier le signe d'une somme facteur par facteur : la règle des signes ne vaut que pour un produit ou un quotient. Il faut d'abord factoriser.

Pour contrôler un tableau, prenez une valeur dans chaque colonne et calculez le signe de l'expression. Vous pouvez aussi comparer votre tableau à celui du solveur mathématique, ligne par ligne.

Ce cours fait partie du dossier pour résoudre une équation ou une inéquation.

Questions fréquentes

Comment faire un tableau de signes ?

Écrivez l'expression sous forme d'un produit ou d'un quotient de facteurs simples. Cherchez la valeur qui annule chaque facteur et rangez ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne. Remplissez une ligne par facteur (signe et 0), puis la dernière ligne avec la règle des signes, en plaçant une double barre sous chaque valeur interdite.

Comment faire le tableau de signes d'une fonction affine ?

La fonction f(x) = ax + b s'annule en −b/a. À droite de cette valeur, elle a le signe de a ; à gauche, le signe contraire. Par exemple, −3x + 6 s'annule en 2 : elle est positive avant 2 et négative après, car a = −3 est négatif.

Quelle est la différence entre un tableau de signes et un tableau de variation ?

Le tableau de signes indique où une expression est positive, négative ou nulle. Le tableau de variation indique où une fonction est croissante ou décroissante, avec des flèches. Les deux sont liés : les variations de f se déduisent du tableau de signes de sa dérivée f′.

Comment faire le tableau de signes d'une dérivée ?

Calculez f′(x), puis factorisez-la au maximum. Étudiez le signe de chaque facteur comme pour n'importe quelle expression : affine, trinôme, exponentielle (toujours strictement positive) ou carré (positif ou nul). Reportez enfin le signe de f′ sur la ligne qui précède les flèches du tableau de variation.

Que signifie la double barre dans un tableau de signes ?

La double barre marque une valeur interdite, en général une valeur qui annule un dénominateur. L'expression n'y est pas définie : on ne peut écrire ni 0 ni signe à cet endroit. Dans l'ensemble des solutions d'une inéquation, cette valeur est toujours exclue.

Quel est le tableau de signes de la fonction inverse ?

La fonction inverse x ↦ 1/x est définie pour x ≠ 0. Elle est strictement négative sur ]−∞ ; 0[ et strictement positive sur ]0 ; +∞[, avec une double barre en 0. Elle ne s'annule jamais, car le numérateur 1 n'est jamais nul.

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Mis à jour le 6 octobre 2026