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Calcul dérivée en ligne : calculateur de dérivée avec étapes

Calcul dérivée en ligne et gratuit : saisissez une fonction, le calculateur donne f′(x) avec toutes les étapes, comme sur une copie corrigée. Il reconnaît la forme (produit, quotient, composée), nomme u et v, applique la bonne formule, puis simplifie et factorise le résultat.

Exemples
Courbes de f et de f′
−6−4−22462004006008001 0001 2001 400

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On veut dériver la fonction f définie par
  2. On reconnaît un produit uv avec
  3. On dérive chaque facteur
  4. On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′
  5. On développe et on réduit
  6. On factorise
  1. On veut dériver la fonction f définie parf(x) = xex
  2. On reconnaît un produit uv avecu(x) = x  ;  v(x) = ex
  3. On dérive chaque facteuru′(x) = 1  ;  v′(x) = ex(ex)′ = ex
  4. On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′f′(x) = 1 × ex + x × ex
  5. On développe et on réduitf′(x) = ex + xex
  6. On factorisef′(x) = ex(x + 1)

f′(x) = ex(x + 1)

Courbe de f en trait plein, de f′ en orange.

Comment saisir la fonction

Écrivez la fonction comme sur papier, sans « f(x) = ». Le produit peut rester implicite (2x, x e^x) et les boutons du clavier insèrent les symboles. Mettez toujours entre parenthèses un exposant ou un argument de plus d'un caractère.

Pour obtenirTapez
x3 − 5x + 2x^3 - 5x + 2
√2x + 1sqrt(2x + 1) ou √(2x + 1)
e3xe^(3x)
ln(x2 + 1)ln(x^2 + 1)
x2 + 1x − 1(x^2 + 1)/(x - 1)
sin(3x) cos xsin(3x)cos(x)
(2x − 1)5(2x - 1)^5

Sans parenthèses, e^3x serait lu e3 × x, et 1/x + 1 serait lu 1/x + 1, et non 1/(x + 1). La fonction log désigne le logarithme décimal ; pour le logarithme népérien, tapez ln.

La méthode pour calculer une dérivée

Le calculateur suit la méthode attendue au lycée. La même démarche, appliquée à la main, évite la plupart des erreurs :

  1. Identifier la forme. Demandez-vous quelle est la dernière opération effectuée quand on calcule f(x) : une somme, un produit, un quotient, ou une fonction (racine, exponentielle, logarithme, puissance) appliquée à une expression.
  2. Nommer u et v. Écrivez-les explicitement, puis calculez u′ et v′ avec le tableau des dérivées usuelles.
  3. Appliquer la formule. Remplacez dans u′v + uv′, (u′v − uv′)/v2, u′eu… sans rien simplifier pour l'instant.
  4. Simplifier. Développez et réduisez le numérateur, en gardant le dénominateur v2 sous forme de carré.
  5. Factoriser. Mettez en facteur ce qui peut l'être (ex, x, une puissance) : c'est la forme qui permet d'étudier le signe.

Exemple : dériver f(x) = x eˣ (produit)

La méthode en bref

  1. On veut dériver la fonction f définie par
  2. On reconnaît un produit uv avec
  3. On dérive chaque facteur
  4. On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′
  5. On développe et on réduit
  6. On factorise
  1. On veut dériver la fonction f définie parf(x) = xex
  2. On reconnaît un produit uv avecu(x) = x  ;  v(x) = ex
  3. On dérive chaque facteuru′(x) = 1  ;  v′(x) = ex(ex)′ = ex
  4. On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′f′(x) = 1 × ex + x × ex
  5. On développe et on réduitf′(x) = ex + xex
  6. On factorisef′(x) = ex(x + 1)

f′(x) = ex(x + 1)

Reconnaître la forme d'une fonction

La première étape est décisive : une forme mal identifiée mène à la mauvaise formule. Le tableau donne le réflexe pour les cas courants ; toutes les formules figurent dans le cours sur les formules des dérivées.

FonctionFormeDérivée
3x4 − 2x + 7Polynôme (somme)12x3 − 2
x exProduit uv(x + 1)ex
5x2 + 3Constante sur v−10x(x2 + 3)2
ex2Composée eu2x ex2
ln(3x − 2)Composée ln u33x − 2
sin x + x2 sin xSomme, dont un produitcos x + 2x sin x + x2 cos x

Une constante au numérateur n'oblige pas à utiliser la formule du quotient : 5/(x2 + 3) = 5 × 1/(x2 + 3), et la formule de l'inverse suffit. De même, (x2 + 3x)/x se simplifie en x + 3 pour x ≠ 0 avant toute dérivation.

Un quotient, puis le signe de la dérivée

Exemple : dériver f(x) = (x² + 1)/(x − 1) (quotient)

La méthode en bref

  1. On veut dériver la fonction f définie par
  2. f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (dénominateur non nul)
  3. On reconnaît un quotient uv avec
  4. On dérive le numérateur et le dénominateur
  5. On applique la formule (uv)′ = u′v − uv′v2
  6. On simplifie
  1. On veut dériver la fonction f définie parf(x) = x2 + 1x − 1
  2. f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (dénominateur non nul)f est dérivable sur ℝ \ {1}
  3. On reconnaît un quotient uv avecu(x) = x2 + 1  ;  v(x) = x − 1pour v(x) ≠ 0
  4. On dérive le numérateur et le dénominateuru′(x) = 2x  ;  v′(x) = 1(xn)′ = nxn−1
  5. On applique la formule (uv)′ = u′v − uv′v2f′(x) = 2x × (x − 1) − (x2 + 1) × 1(x − 1)2
  6. On simplifief′(x) = x2 − 2x − 1(x − 1)2

f′(x) = x2 − 2x − 1(x − 1)2

Le dénominateur (x − 1)2 est strictement positif pour x ≠ 1 : le signe de f′(x) est celui du trinôme x2 − 2x − 1. Son discriminant vaut 8, ses racines sont 1 − √2 et 1 + √2, et il est négatif entre elles. C'est exactement ce dont on a besoin pour dresser le tableau de variation de la fonction.

Une racine carrée

Exemple : dériver f(x) = √(2x + 1)

La méthode en bref

  1. On veut dériver la fonction f définie par
  2. f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (√u : u > 0 pour la dérivabilité ; dénominateur non nul)
  3. On reconnaît la forme √u avec
  4. On applique la formule (√u)′ = u′2√u
  5. On simplifie
  1. On veut dériver la fonction f définie parf(x) = √2x + 1
  2. f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (√u : u > 0 pour la dérivabilité ; dénominateur non nul)f est dérivable sur ]−12 ; +∞[
  3. On reconnaît la forme √u avecu(x) = 2x + 1  ;  u′(x) = 2dérivable là où u(x) > 0
  4. On applique la formule (√u)′ = u′2√uf′(x) = 22√2x + 1
  5. On simplifief′(x) = 1√2x + 1

f′(x) = 1√2x + 1

La formule (√u)′ = u′/(2√u) n'est valable que là où u(x) > 0, ici pour x > −1/2. En −1/2, la fonction est définie (elle vaut 0) mais pas dérivable.

Calculer un nombre dérivé

Le nombre dérivé f′(a) s'obtient en remplaçant x par a dans l'expression de f′(x), de préférence la forme simplifiée. Avec f′(x) = (x + 1)ex, on obtient f′(0) = 1 × e0 = 1 et f′(−1) = 0. Ce dernier résultat signifie que la courbe a une tangente horizontale au point d'abscisse −1.

Ne dérivez jamais après avoir remplacé : f(2) est un nombre, et la dérivée d'un nombre vaut toujours 0.

La dérivée seconde

La dérivée seconde f″ est la dérivée de la dérivée. Pour la calculer avec l'outil, dérivez f, puis recopiez le résultat dans le champ et dérivez à nouveau. Avec f(x) = x ex :

f′(x) = (x + 1)ex   puis   f″(x) = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex

Comme ex > 0, f″ a le signe de x + 2 : la fonction est concave sur ]−∞ ; −2], convexe sur [−2 ; +∞[, et sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse −2. La dérivée seconde sert aussi en physique, où l'accélération est la dérivée seconde de la position.

L'équation de la tangente

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a passe par le point A(a ; f(a)) et a pour coefficient directeur f′(a). Son équation réduite est :

y = f′(a)(x − a) + f(a)

Exemple avec f(x) = √2x + 1 au point d'abscisse 4 :

  1. Calculer f(a). f(4) = √9 = 3.
  2. Calculer f′(a). D'après l'exemple corrigé, f′(x) = 1/√2x + 1, donc f′(4) = 1/3.
  3. Remplacer dans la formule. y = 13(x − 4) + 3.
  4. Réduire. y = 13x + 53.
  5. Vérifier. Pour x = 4, on trouve 4/3 + 5/3 = 3 = f(4) : la droite passe bien par le point de contact.

La tangente est la droite d'une fonction affine de coefficient directeur f′(a). Deux questions classiques s'en déduisent. Pour trouver les points où la tangente est horizontale, on résout f′(x) = 0. Pour trouver ceux où elle est parallèle à une droite de coefficient directeur m, on résout f′(x) = m. Avec f(x) = x2 − 3x + 1, la tangente est parallèle à la droite y = x quand 2x − 3 = 1, soit en x = 2, où elle a pour équation y = x − 3.

Vérifier une dérivée

Un contrôle numérique rapide détecte la plupart des erreurs. Choisissez un point a et calculez à la calculatrice le taux de variation symétrique (f(a + 0,001) − f(a − 0,001))/0,002 : il doit être très proche de votre f′(a). Pour √2x + 1 en 4, on obtient 0,33333…, en accord avec f′(4) = 1/3.

Autre contrôle : la courbe de f′ tracée sous chaque résolution doit être au-dessus de l'axe là où f monte, en dessous là où elle descend, et couper l'axe aux sommets de la courbe de f. Pour une rédaction complète, comparez votre copie avec le solveur mathématique, étape par étape.

Avant d'appliquer une formule, simplifiez f(x) quand c'est possible : ln(e2x) = 2x, ex × e−x = 1. Les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme font souvent disparaître la moitié du calcul.

Et après la dérivée ?

La dérivée est rarement une fin en soi. Son signe donne les variations et les extremums ; ses zéros, les tangentes horizontales. Aux bornes de l'ensemble de définition, l'étude se complète par le calcul des limites. Le chemin inverse, retrouver une fonction à partir de sa dérivée, est celui des primitives, qui mène au calcul d'intégrales. Pour vous exercer, les fiches d'exercices de maths proposent des calculs de dérivées avec corrigé détaillé.

Questions fréquentes

Comment calculer une dérivée en ligne ?

Tapez la fonction dans le champ, par exemple x e^x ou (x^2 + 1)/(x - 1), puis cliquez sur « Dériver ». Le calculateur affiche la forme reconnue, les fonctions u et v, la formule appliquée et le résultat simplifié, ainsi que les courbes de f et de f′. Le calcul se fait dans votre navigateur, sans inscription.

Comment trouver l'équation de la tangente en un point ?

Calculez f(a), puis la dérivée f′(x) et le nombre dérivé f′(a). Remplacez dans y = f′(a)(x − a) + f(a) et réduisez. Pour f(x) = ln x en a = 1 : f(1) = 0 et f′(1) = 1, donc la tangente a pour équation y = x − 1.

Comment calculer la dérivée seconde ?

La dérivée seconde f″ est la dérivée de f′. Calculez d'abord f′(x), simplifiez-la, puis dérivez-la à son tour. Avec le calculateur, dérivez f, puis saisissez le résultat obtenu et dérivez une seconde fois. Pour f(x) = x ex, on trouve f′(x) = (x + 1)ex puis f″(x) = (x + 2)ex.

Comment calculer une dérivée avec la calculatrice ?

La plupart des calculatrices graphiques du lycée donnent une valeur approchée du nombre dérivé en un point, mais pas l'expression de f′(x). Elles servent donc à vérifier un résultat : comparez la valeur affichée avec votre f′(a). Pour obtenir l'expression de la dérivée avec ses étapes, utilisez le calculateur de cette page.

Pourquoi faut-il factoriser la dérivée ?

Parce que la dérivée sert presque toujours à étudier un signe, et que le signe d'un produit se lit facteur par facteur. ex + x ex ne dit rien ; ex(x + 1) montre aussitôt que la dérivée a le signe de x + 1, puisqu'une exponentielle est toujours positive.

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