Équation différentielle : résolution pas à pas et exemples

Sommaire

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
2. Équation différentielle y′ = ay
3. Équation différentielle y′ = ay + b
4. Équation différentielle d'ordre 2 : y″ + ay′ + by = 0
5. Applications : radioactivité, refroidissement, circuit RC
6. La méthode de résolution sur une copie
7. Les erreurs fréquentes
8. Questions fréquentes

Écrivez l'équation avec y' et y'', puis les conditions initiales après des points-virgules : y' = -3y + 6 ; y(0) = 4 ou y'' + 3y' + 2y = 0 ; y(0) = 1 ; y'(0) = 0. Le solveur traite les équations linéaires à coefficients constants du premier et du second ordre, avec un second membre constant ; sans condition, il donne toutes les solutions et en trace quelques-unes.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle relie une fonction inconnue y, la variable x (ou t en physique) et une ou plusieurs dérivées de y. Une solution sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I qui vérifie l'égalité pour tout x de I. On vérifie donc une solution en la dérivant puis en remplaçant : y = e^2x est solution de y′ = 2y car y′ = 2e^2x = 2y.

Le vocabulaire permet de classer les équations :

• L'ordre est celui de la dérivée la plus haute : y′ = −3y + 6 est d'ordre 1, y″ + 4y = 0 d'ordre 2.
• Linéaire : y et ses dérivées n'apparaissent qu'au premier degré, sans produit entre elles. y′ = y² n'est pas linéaire.
• À coefficients constants : les nombres devant y, y′, y″ ne dépendent pas de x.
• Homogène (ou sans second membre) : le terme qui ne contient pas y est nul.

Contrairement aux équations numériques, qui ont le plus souvent un nombre fini de solutions, une équation différentielle en a en général une infinité, qui dépendent d'une ou plusieurs constantes. Les conditions initiales fixent ces constantes.

Le cas le plus simple : y′ = f(x)

Si l'équation ne contient pas y lui-même, comme y′ = 2x + 1, ses solutions sont les primitives de la fonction : y(x) = x² + x + C. Résoudre une équation différentielle généralise donc le calcul de primitives, et le lien avec les intégrales donne la solution qui vaut y₀ en a : y(x) = y₀ + ∫_a^x f(t) dt.

Équation différentielle y′ = ay

Soit a un réel. Les solutions sur ℝ de l'équation y′ = ay sont les fonctions :

y(x) = Ce^ax,  C ∈ ℝ

Ces fonctions conviennent, car la dérivée de Ce^ax est aCe^ax. Ce sont les seules : si y est solution, la fonction g(x) = y(x)e^−ax a pour dérivée y′e^−ax − aye^−ax = 0, donc elle est constante. Cette démonstration repose sur les propriétés de la fonction exponentielle.

Avec une condition donnée en un point x₀ autre que 0, la solution s'écrit y(x) = y₀ e^{a(x − x₀)}. Si a > 0, les solutions non nulles explosent en +∞ (croissance exponentielle) ; si a < 0, elles tendent vers 0 (décroissance exponentielle).

Équation différentielle y′ = ay + b

Avec a ≠ 0, l'équation y′ = ay + b admet une solution constante : si y est constante, y′ = 0, donc ay + b = 0 et y = −b/a. En notant y_p = −b/a, une fonction y est solution si et seulement si y − y_p est solution de y′ = ay. D'où :

y(x) = Ce^ax − ba,  C ∈ ℝ

Solution générale = solution générale de l'équation homogène + une solution particulière : ce principe vaut pour toutes les équations linéaires. La constante C se calcule après avoir ajouté la solution particulière, jamais avant.

Si a < 0, toutes les solutions tendent vers −b/a quand x tend vers +∞ : c'est une valeur d'équilibre, ici 2. Attention à la forme de l'énoncé : y′ + 2y = 4 s'écrit y′ = −2y + 4, donc a = −2 et b = 4, et les solutions sont Ce^−2x + 2.

Avec un second membre qui dépend de x

Pour y′ = ay + f(x), on cherche une solution particulière de la même forme que f, puis on ajoute les solutions de y′ = ay. Pour y′ = y + x, essayons y_p = cx + d : l'équation devient c = (c + 1)x + d pour tout x, donc c + 1 = 0 et d = c, soit y_p = −x − 1. Les solutions sont y(x) = Ce^x − x − 1. Ce cas se rédige à la main : le solveur se limite aux seconds membres constants.

Équation différentielle d'ordre 2 : y″ + ay′ + by = 0

On cherche des solutions de la forme y = e^rx. Comme y′ = re^rx et y″ = r²e^rx, l'équation devient (r² + ar + b)e^rx = 0, et une exponentielle n'est jamais nulle. Tout dépend donc de l'équation caractéristique :

r² + ar + b = 0,  Δ = a² − 4b

C'est une équation du second degré en r, et le signe de son discriminant donne la forme des solutions réelles (A et B sont des constantes réelles) :

Le cas Δ < 0 utilise les nombres complexes : les solutions oscillent, avec une amplitude qui décroît si α < 0. Une équation de la forme py″ + qy′ + sy = 0 avec p ≠ 0 se ramène à ce cas en divisant par p ; on peut aussi utiliser directement l'équation caractéristique pr² + qr + s = 0, qui a les mêmes racines.

Cas Δ = 0, rédigé à la main. Pour y″ − 2y′ + y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 : l'équation caractéristique r² − 2r + 1 = (r − 1)² = 0 a la racine double 1, donc y(x) = (Ax + B)e^x. La condition y(0) = 1 donne B = 1. Comme y′(x) = (Ax + A + B)e^x, la condition y′(0) = 0 donne A + B = 0, soit A = −1. La solution est y(x) = (1 − x)e^x.

Avec un second membre constant c, l'équation y″ + ay′ + by = c (avec b ≠ 0) a la solution particulière constante c/b, que l'on ajoute aux solutions de l'équation homogène. Par exemple, les solutions de y″ + y = 3 sont A cos x + B sin x + 3.

Applications : radioactivité, refroidissement, circuit RC

Décroissance radioactive

Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d'un échantillon diminue proportionnellement au nombre présent : N′(t) = −λN(t), où λ > 0 est la constante radioactive. C'est l'équation y′ = ay avec a = −λ :

N(t) = N₀e^−λt,  demi-vie t_1/2 = ln 2λ

La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée : N₀e^−λt = N₀/2 donne t = ln 2/λ. Après deux demi-vies, il reste un quart des noyaux ; après trois, un huitième. Pour le carbone 14, dont la demi-vie est d'environ 5 700 ans, un échantillon qui ne contient plus que 25 % de son carbone 14 initial a donc environ 11 400 ans.

Refroidissement d'un corps

Selon la loi de Newton, la température T(t) d'un objet placé dans une pièce à la température T_a varie proportionnellement à l'écart : T′(t) = −k(T(t) − T_a), avec k > 0. C'est une équation y′ = ay + b de solution T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt.

Un café à 90 °C est posé dans une pièce à 20 °C, avec k = 0,1 par minute. On résout T′ = −0,1T + 2 avec T(0) = 90 (saisie : y' = -0,1y + 2 ; y(0) = 90) : T(t) = 20 + 70e^−0,1t. Au bout de 10 minutes, T(10) = 20 + 70e⁻¹ ≈ 45,8 °C. Il atteint 40 °C quand 70e^−0,1t = 20, soit t = 10 ln 3,5 ≈ 12,5 minutes.

Charge d'un condensateur (circuit RC)

Dans un circuit formé d'un générateur de tension constante E, d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C, la tension u_C aux bornes du condensateur vérifie RC u_C′ + u_C = E. Avec un condensateur initialement déchargé (u_C(0) = 0) :

u_C(t) = E(1 − e^−t/τ),  τ = RC

La constante de temps τ s'exprime en secondes quand R est en ohms et C en farads. Au bout de τ, la tension atteint environ 63 % de E (car 1 − e⁻¹ ≈ 0,632) ; au bout de 5τ, plus de 99 %. Avec R = 10 kΩ et C = 100 µF, τ = 1 s, et pour E = 5 V, la tension vaut environ 3,16 V après une seconde. Lors de la décharge, u_C(t) = Ee^−t/τ.

Oscillateur harmonique

Une masse m accrochée à un ressort de raideur k, sans frottement, vérifie mx″ + kx = 0, soit x″ + ω₀²x = 0 avec ω₀ = √k/m. C'est le cas Δ < 0 avec α = 0 : x(t) = A cos(ω₀t) + B sin(ω₀t), de période T₀ = 2π√m/k.

La méthode de résolution sur une copie

1. Mettre l'équation sous forme standard : y′ = ay + b ou y″ + ay′ + by = c, en lisant les coefficients avec leur signe.
2. Résoudre l'équation homogène : Ce^ax au premier ordre, équation caractéristique au second.
3. Trouver une solution particulière : constante si le second membre est constant, de la même forme que lui sinon.
4. Additionner les deux pour obtenir toutes les solutions.
5. Utiliser les conditions initiales pour calculer les constantes, puis vérifier en dérivant.

Les exemples de cette page s'appuient sur les primitives et les intégrales : les méthodes pour calculer une intégrale et l'intégration par parties servent dès que le second membre devient une fonction.

Les erreurs fréquentes

• Mal lire a : dans y′ + 2y = 4, a = −2, pas 2.
• Calculer C trop tôt : la condition initiale s'applique à la solution complète, solution particulière comprise. Pour y′ = −3y + 6 et y(0) = 4, on écrit C + 2 = 4, pas C = 4.
• Confondre e^ax et e^x + a, ou Ce^ax et e^{ax + C} (qui ne donne que des solutions positives).
• Se tromper sur β : pour y″ + 4y = 0, les racines sont ±2i, donc β = 2 et les solutions contiennent cos(2x), pas cos(4x).
• Oublier e^αx quand α ≠ 0 dans le cas Δ < 0.
• Ne donner qu'une condition au second ordre : il en faut deux pour une solution unique.

Une solution se vérifie toujours en la remplaçant dans l'équation. Pour comparer votre rédaction avec une correction complète, utilisez le solveur mathématique ou l'outil en haut de page.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation différentielle ?

Identifiez d'abord son type. Pour y′ = ay, les solutions sont Ce^ax. Pour y′ = ay + b avec a ≠ 0, ajoutez la solution constante −b/a. Pour y″ + ay′ + by = 0, résolvez l'équation caractéristique r² + ar + b = 0 et appliquez la formule correspondant au signe du discriminant. Les conditions initiales fixent ensuite les constantes.

Quelle est la solution de y′ = ay + b ?

Si a ≠ 0, les solutions sur ℝ sont les fonctions y(x) = Ce^ax − b/a, où C est une constante réelle. La fonction constante −b/a est la solution d'équilibre. Si a = 0, l'équation devient y′ = b et ses solutions sont bx + C.

Comment résoudre une équation différentielle d'ordre 2 ?

Pour y″ + ay′ + by = 0, calculez le discriminant Δ = a² − 4b de l'équation caractéristique r² + ar + b = 0. Si Δ > 0, y = Ae^r₁x + Be^r₂x ; si Δ = 0, y = (Ax + B)e^r₀x ; si Δ < 0, y = e^αx(A cos βx + B sin βx), où α ± iβ sont les racines complexes. Deux conditions initiales donnent A et B.

Qu'est-ce qu'une condition initiale ?

C'est une valeur imposée à la solution, en général à l'instant 0 : y(0) = 3 par exemple. Une équation du premier ordre a une infinité de solutions, qui dépendent d'une constante ; une condition initiale en sélectionne une seule. Au second ordre, il en faut deux, souvent y(0) et y′(0).

Quelle est la différence entre une équation et une équation différentielle ?

Dans une équation ordinaire, l'inconnue est un nombre, et les solutions sont des nombres. Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction y, et l'équation relie cette fonction à ses dérivées. Les solutions sont des fonctions, en nombre infini tant qu'aucune condition initiale n'est imposée.

En quelle classe voit-on les équations différentielles ?

Les équations y′ = ay et y′ = ay + b sont au programme de la spécialité mathématiques de terminale. Les équations du second ordre à coefficients constants sont étudiées après le bac, en classes préparatoires, en licence ou en BTS selon la filière.

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Mis à jour le 6 octobre 2026