Discriminant : formule de delta, les 3 cas et exemples
Le discriminant du trinôme ax2 + bx + c est le nombre Δ = b2 − 4ac. Son signe suffit à connaître le nombre de racines réelles : deux si Δ est strictement positif, une seule si Δ est nul, aucune si Δ est strictement négatif. Entrez vos coefficients : le calculateur donne Δ, les racines, la forme factorisée, le signe et la parabole.
Sommaire
- La formule du discriminant
- Calculer Δ sans erreur de signe
- Les trois cas selon le signe de Δ
- Les formules des racines
- Pourquoi le signe de Δ décide de tout
- Le signe du trinôme
- Le discriminant réduit Δ′
- Discriminant et paramètre : un exercice classique
- Si Δ est strictement négatif : les racines complexes
- Le discriminant au-delà du second degré
- Quand ne pas utiliser le discriminant
- Les erreurs fréquentes
- Questions fréquentes
Étapes de résolution
La méthode en bref
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = 2x2 − 4x − 6
- On calcule le discriminant
- Δ > 0 : le trinôme a deux racines réelles distinctes
- On remplace par les valeurs (√Δ = 8)
- Forme factorisée
- Signe du trinôme : du signe de a (positif) à l’extérieur des racines
- Forme canonique
- Sommet de la parabole
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = 2x2 − 4x − 6a = 2 ; b = −4 ; c = −6
- On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64
- Δ > 0 : le trinôme a deux racines réelles distinctesx1 = −b − √Δ2a et x2 = −b + √Δ2a
- On remplace par les valeurs (√Δ = 8)x1 = 4 − 84 = −1 ; x2 = 4 + 84 = 3
- Forme factoriséef(x) = 2(x + 1)(x − 3)a(x − x1)(x − x2)
- Signe du trinôme : du signe de a (positif) à l’extérieur des racines
x −∞ −1 3 +∞ f(x) + 0 − 0 + - Forme canoniqueα = −b2a = 1 ; β = f(α) = −Δ4a = −8 ; f(x) = 2(x − 1)2 − 8
- Sommet de la paraboleS(1 ; −8)a > 0 : parabole tournée vers le haut, minimum −8 atteint en x = 1
Δ = 64 : deux racines x1 = −1 et x2 = 3
Deux saisies sont possibles : les trois coefficients a, b et c dans leurs cases (fractions et nombres négatifs acceptés), ou le trinôme entier, par exemple x^2 - 5x + 6. Le résultat détaille le calcul de Δ, les racines exactes, la forme factorisée, le tableau de signes, la forme canonique et le sommet.
La formule du discriminant
Pour un trinôme du second degré ax2 + bx + c, où a, b et c sont des réels et a ≠ 0, le discriminant est :
Δ = b2 − 4ac
On le note Δ (delta) et on dit souvent « calculer delta ». Il ne dépend que des trois coefficients : on le calcule sans résoudre quoi que ce soit, et c'est lui qui annonce la suite. Si a = 0, il n'y a plus de terme en x2 : l'expression bx + c mène à une équation du premier degré, et le discriminant n'a pas de sens.
Avant de calculer, le trinôme doit être réduit et tout doit être dans un seul membre. 3x2 = 2x + 1 s'écrit d'abord 3x2 − 2x − 1 = 0 : on lit alors a = 3, b = −2 et c = −1, d'où Δ = 4 + 12 = 16.
Calculer Δ sans erreur de signe
Presque toutes les erreurs viennent des signes. Trois réflexes les évitent : relever chaque coefficient avec son signe, écrire b entre parenthèses quand il est négatif, et calculer 4ac à part avant de le soustraire.
| Trinôme | a ; b ; c | Calcul | Δ |
|---|---|---|---|
| x2 − 5x + 6 | 1 ; −5 ; 6 | (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 | 1 |
| 2x2 + 3x − 2 | 2 ; 3 ; −2 | 32 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 | 25 |
| −x2 + 4x − 3 | −1 ; 4 ; −3 | 42 − 4 × (−1) × (−3) = 16 − 12 | 4 |
| 3x2 − 2x + 1 | 3 ; −2 ; 1 | (−2)2 − 4 × 3 × 1 = 4 − 12 | −8 |
| x2 − 7 | 1 ; 0 ; −7 | 02 − 4 × 1 × (−7) = 0 + 28 | 28 |
| 5x2 + 2x | 5 ; 2 ; 0 | 22 − 4 × 5 × 0 = 4 − 0 | 4 |
Retenez que b2 n'est jamais négatif : (−5)2 = 25. Sur une calculatrice, tapez (-5)^2 avec les parenthèses, car -5^2 donne −25. Deux remarques font gagner du temps : si a et c sont de signes contraires, −4ac est positif, donc Δ > 0 sans calcul ; si c = 0, Δ = b2 ≥ 0.
Les trois cas selon le signe de Δ
| Δ > 0 | Δ = 0 | Δ < 0 | |
|---|---|---|---|
| Racines réelles | deux : x1 et x2 | une racine double x0 = −b/(2a) | aucune |
| Forme factorisée | a(x − x1)(x − x2) | a(x − x0)2 | impossible dans ℝ |
| Parabole et axe des abscisses | deux points d'intersection | un point de contact (le sommet) | aucun point commun |
| Signe du trinôme | signe de a à l'extérieur des racines, contraire entre elles | signe de a, nul en x0 | signe de a partout |
Les trois exemples suivants, calculés par le solveur, montrent un cas chacun, avec la forme canonique et le sommet :
Exemple 1 : Δ > 0, f(x) = 2x² − 4x − 6
La méthode en bref
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = 2x2 − 4x − 6
- On calcule le discriminant
- Δ > 0 : le trinôme a deux racines réelles distinctes
- On remplace par les valeurs (√Δ = 8)
- Forme factorisée
- Signe du trinôme : du signe de a (positif) à l’extérieur des racines
- Forme canonique
- Sommet de la parabole
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = 2x2 − 4x − 6a = 2 ; b = −4 ; c = −6
- On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64
- Δ > 0 : le trinôme a deux racines réelles distinctesx1 = −b − √Δ2a et x2 = −b + √Δ2a
- On remplace par les valeurs (√Δ = 8)x1 = 4 − 84 = −1 ; x2 = 4 + 84 = 3
- Forme factoriséef(x) = 2(x + 1)(x − 3)a(x − x1)(x − x2)
- Signe du trinôme : du signe de a (positif) à l’extérieur des racines
x −∞ −1 3 +∞ f(x) + 0 − 0 + - Forme canoniqueα = −b2a = 1 ; β = f(α) = −Δ4a = −8 ; f(x) = 2(x − 1)2 − 8
- Sommet de la paraboleS(1 ; −8)a > 0 : parabole tournée vers le haut, minimum −8 atteint en x = 1
Δ = 64 : deux racines x1 = −1 et x2 = 3
Exemple 2 : Δ = 0, f(x) = x² − 6x + 9
La méthode en bref
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = x2 − 6x + 9
- On calcule le discriminant
- Δ = 0 : le trinôme a une racine double
- Forme factorisée
- Signe du trinôme : du signe de a (positif), nul en x0
- Forme canonique
- Sommet de la parabole
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = x2 − 6x + 9a = 1 ; b = −6 ; c = 9
- On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
- Δ = 0 : le trinôme a une racine doublex0 = −b2a = 62 = 3
- Forme factoriséef(x) = (x − 3)2a(x − x0)2
- Signe du trinôme : du signe de a (positif), nul en x0
x −∞ 3 +∞ f(x) + 0 + - Forme canoniqueα = −b2a = 3 ; β = f(α) = −Δ4a = 0 ; f(x) = (x − 3)2
- Sommet de la paraboleS(3 ; 0)a > 0 : parabole tournée vers le haut, minimum 0 atteint en x = 3
Δ = 0 : racine double x0 = 3
Exemple 3 : Δ < 0, f(x) = x² + 2x + 5
La méthode en bref
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = x2 + 2x + 5
- On calcule le discriminant
- Δ < 0 : le trinôme n’a pas de racine réelle
- Dans ℂ (Terminale, maths expertes) : deux solutions complexes conjuguées
- On calcule √(−Δ) = √16 = 4 et on remplace
- Signe du trinôme : toujours du signe de a (positif)
- Forme canonique
- Sommet de la parabole
- On identifie les coefficients du trinôme f(x) = x2 + 2x + 5a = 1 ; b = 2 ; c = 5
- On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = 22 − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
- Δ < 0 : le trinôme n’a pas de racine réellef(x) ne s’annule pour aucun réel xla parabole ne coupe pas l’axe des abscisses
- Dans ℂ (Terminale, maths expertes) : deux solutions complexes conjuguéesx1 = −b − i√(−Δ)2a et x2 = −b + i√(−Δ)2a
- On calcule √(−Δ) = √16 = 4 et on remplacex1 = −2 − 4i2 = −1 − 2i ; x2 = −2 + 4i2 = −1 + 2i
- Signe du trinôme : toujours du signe de a (positif)
x −∞ +∞ f(x) + - Forme canoniqueα = −b2a = −1 ; β = f(α) = −Δ4a = 4 ; f(x) = (x + 1)2 + 4
- Sommet de la paraboleS(−1 ; 4)a > 0 : parabole tournée vers le haut, minimum 4 atteint en x = −1
Δ = −16 < 0 : aucune racine réelle
Les formules des racines
Quand Δ ≥ 0, les racines s'obtiennent par :
x1 = −b − √Δ2a et x2 = −b + √Δ2a
Si Δ = 0, les deux formules donnent le même nombre, −b/(2a) : c'est la racine double. Si Δ n'est pas un carré parfait, on simplifie la racine avant de remplacer. Pour x2 − 2x − 4 : Δ = 4 + 16 = 20, √20 = 2√5, d'où x = (2 ± 2√5)/2 = 1 ± √5. Les solutions exactes sont 1 − √5 et 1 + √5 ; les valeurs approchées, −1,236 et 3,236, ne viennent qu'en complément.
Pour contrôler, utilisez les relations x1 + x2 = −b/a et x1x2 = c/a. Ici, la somme vaut 2 et le produit 1 − 5 = −4 : c'est juste. La rédaction complète d'une résolution, avec les cas où l'on peut se passer de Δ, est présentée dans le cours sur l'équation du second degré.
Pourquoi le signe de Δ décide de tout
La réponse tient dans la forme canonique. En mettant a en facteur et en complétant le carré, on obtient pour tout réel x :
ax2 + bx + c = a(x − α)2 + β, avec α = −b2a et β = −Δ4a
Le point (α ; β) est le sommet de la parabole, et son ordonnée vaut −Δ/(4a). Prenons a > 0 : la parabole est tournée vers le haut et β est sa valeur minimale. Si Δ > 0, β est négatif : le sommet est sous l'axe des abscisses, et la parabole, qui remonte de chaque côté, le traverse deux fois. Si Δ = 0, le sommet est sur l'axe. Si Δ < 0, le sommet est au-dessus et la parabole ne rencontre jamais l'axe. Le raisonnement est symétrique pour a < 0.
Dans l'exemple 2x2 − 4x − 6, Δ = 64 et β = −64/8 = −8 : le sommet (1 ; −8) est bien sous l'axe, et la parabole le coupe en −1 et 3. Résoudre l'équation revient à résoudre (x − α)2 = Δ/(4a2) ; un carré n'étant jamais négatif, il faut Δ ≥ 0, et l'on retrouve les formules des racines.
Le signe du trinôme
Le discriminant sert aussi à étudier le signe de ax2 + bx + c. La règle se résume en une phrase : le trinôme est du signe de a, sauf entre ses racines quand il en a deux.
Exemple : −x2 + 4x − 3. On a vu que Δ = 4 ; les racines sont (−4 − 2)/(−2) = 3 et (−4 + 2)/(−2) = 1. Comme a = −1 < 0, le trinôme est négatif sur ]−∞ ; 1[ et sur ]3 ; +∞[, positif sur ]1 ; 3[, nul en 1 et en 3. C'est ainsi que l'on résout une inéquation du second degré ; la présentation en tableau de signes est la plus lisible.
Quand Δ < 0, le résultat est encore plus simple : le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de a. Ainsi x2 + 2x + 5 > 0 pour tout réel x, puisque Δ = −16 et a = 1 > 0.
Le discriminant réduit Δ′
Quand b est pair, on peut alléger les calculs. On pose b = 2b′ et l'on calcule le discriminant réduit :
Δ′ = b′2 − ac et x = −b′ ± √Δ′a
Comme Δ = 4b′2 − 4ac = 4Δ′, les deux nombres ont toujours le même signe : Δ′ conduit aux mêmes conclusions avec des nombres plus petits. Pour x2 − 6x + 7 : b′ = −3, Δ′ = 9 − 7 = 2, et les racines sont 3 − √2 et 3 + √2. Avec Δ, on aurait trouvé Δ = 8 et (6 ± 2√2)/2, le même résultat après simplification. Pour 3x2 + 8x + 4 : b′ = 4, Δ′ = 16 − 12 = 4, racines (−4 − 2)/3 = −2 et (−4 + 2)/3 = −2/3.
Le discriminant réduit est utilisé dans certains manuels et dans le supérieur. Au lycée, Δ suffit toujours ; Δ′ n'est qu'un raccourci.
Discriminant et paramètre : un exercice classique
Énoncé. Pour quelles valeurs du réel m l'équation x2 + mx + 4 = 0 a-t-elle une racine double ? Deux racines ? Aucune ?
Solution. Ici a = 1, b = m et c = 4, donc Δ = m2 − 16 = (m − 4)(m + 4). Δ s'annule pour m = −4 ou m = 4 : l'équation devient (x − 2)2 = 0 ou (x + 2)2 = 0, de racine double 2 ou −2. Δ est strictement positif pour m < −4 ou m > 4 (deux racines) et strictement négatif pour −4 < m < 4 (aucune racine réelle).
Le piège du coefficient a. Avec mx2 + 2x + 1 = 0, il faut d'abord traiter m = 0 à part : l'équation devient 2x + 1 = 0, du premier degré, de solution −1/2. Pour m ≠ 0, Δ = 4 − 4m, nul pour m = 1 : l'équation x2 + 2x + 1 = 0 a alors la racine double −1.
Si Δ est strictement négatif : les racines complexes
Un discriminant strictement négatif signifie « pas de racine réelle », pas « pas de racine du tout ». Dans l'ensemble des nombres complexes, où i2 = −1, le trinôme a deux racines conjuguées :
z1 = −b − i√−Δ2a et z2 = −b + i√−Δ2a
Pour x2 + 2x + 5, Δ = −16 et √16 = 4 : les racines complexes sont (−2 − 4i)/2 = −1 − 2i et −1 + 2i. Cette résolution relève de l'option mathématiques expertes en terminale.
Le discriminant au-delà du second degré
La notion existe pour les polynômes de tout degré : le discriminant est nul exactement quand le polynôme a une racine multiple (réelle ou complexe). Pour un polynôme de degré 3 écrit sous la forme x3 + px + q, il vaut :
Δ = −4p3 − 27q2
- Δ > 0 : trois racines réelles distinctes. Exemple : x3 − x, avec Δ = 4, de racines −1, 0 et 1.
- Δ = 0 : une racine multiple. Exemple : x3 − 3x + 2 = (x − 1)2(x + 2), avec Δ = 108 − 108 = 0.
- Δ < 0 : une seule racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Exemple : x3 + x + 1, avec Δ = −4 − 27 = −31.
Attention aux conventions : la méthode de Cardan fait apparaître la quantité 4p3 + 27q2, l'opposé de ce Δ, et les signes s'inversent. Hors de ce complément, au lycée, « le discriminant » désigne toujours celui du trinôme. Pour factoriser un polynôme de degré 3 en pratique, on cherche une racine évidente, comme l'explique le cours sur les polynômes.
Quand ne pas utiliser le discriminant
Δ marche toujours, mais il n'est pas toujours le plus rapide. Si c = 0, factorisez par x : 5x2 + 2x = x(5x + 2). Si b = 0, isolez x2 : x2 − 7 = 0 donne x = ±√7. Si une identité remarquable apparaît, comme x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, la factorisation est immédiate. Ces techniques sont réunies dans le cours pour factoriser une expression.
Les erreurs fréquentes
- Le carré d'un b négatif : (−3)2 = 9, pas −9.
- Le signe de −4ac : avec a = 2 et c = −6, −4 × 2 × (−6) = +48.
- Des coefficients lus avant réduction : dans x2 = 3x + 4, c ne vaut pas 0 ; on lit les coefficients sur x2 − 3x − 4 = 0.
- Confondre Δ et les racines : Δ = 64 ne veut pas dire que 64 ou 8 est solution ; Δ sert à calculer les racines.
- Écrire √Δ quand Δ < 0 : dans ℝ, on conclut directement qu'il n'y a pas de racine.
- Diviser seulement √Δ par 2a : le dénominateur porte sur tout le numérateur −b ± √Δ.
Pour contrôler un calcul de Δ et les racines qui en découlent, saisissez le trinôme dans le calculateur en haut de page ou dans le solveur de maths en ligne, qui rédige toutes les étapes.
Le discriminant est l'outil central du second degré, l'un des chapitres du dossier pour résoudre une équation. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices corrigés sur le second degré.
Questions fréquentes
C'est quoi le discriminant en maths ?
C'est le nombre Δ = b2 − 4ac associé au trinôme ax2 + bx + c (avec a ≠ 0). Son signe indique combien de racines réelles a le trinôme : deux si Δ > 0, une si Δ = 0, aucune si Δ < 0. On s'en sert pour résoudre une équation du second degré, factoriser un trinôme et étudier son signe.
Comment calculer le discriminant ?
Écrivez le trinôme sous la forme ax2 + bx + c, relevez a, b et c avec leur signe, puis remplacez dans Δ = b2 − 4ac en mettant les nombres négatifs entre parenthèses. Pour 2x2 − 4x − 6 : Δ = (−4)2 − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.
Quelle est la solution quand delta vaut 0 ?
Si Δ = 0, l'équation ax2 + bx + c = 0 a une seule solution, appelée racine double : x0 = −b/(2a). Le trinôme s'écrit alors a(x − x0)2 et la parabole touche l'axe des abscisses en son sommet. Exemple : x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, de racine double 3.
Que faire si le discriminant est strictement négatif ?
Concluez que le trinôme n'a aucune racine réelle : l'équation n'a pas de solution dans ℝ (S = ∅), le trinôme ne se factorise pas et il garde le signe de a pour tout x. Dans l'ensemble des nombres complexes, il a deux racines conjuguées (−b ± i√(−Δ))/(2a).
Peut-on calculer le discriminant quand b ou c est nul ?
Oui. Si b = 0, Δ = −4ac ; si c = 0, Δ = b2, qui est positif ou nul. Mais dans ces cas, une méthode directe est plus rapide : isoler x2 quand b = 0, factoriser par x quand c = 0.
Pourquoi l'appelle-t-on discriminant ?
Discriminer signifie distinguer, séparer. Le discriminant porte ce nom parce qu'il permet de distinguer les cas sans résoudre l'équation : deux racines, une racine double ou aucune racine réelle. On le note Δ, la lettre grecque delta majuscule, d'où l'expression courante « calculer delta ».
À lire aussi
- Équation du second degréÉquation du second degré ax² + bx + c = 0 : discriminant, les trois cas et leurs formules, forme canonique, cas sans Δ et exemples corrigés pas à pas.
- Résoudre une équationRésoudre une équation pas à pas : vocabulaire, méthode générale, chaque type d'équation expliqué et un solveur gratuit qui rédige toutes les étapes.
- Factoriser une expressionFactoriser une expression pas à pas : facteur commun, identités remarquables, trinôme par le discriminant, ordre des méthodes, vérification et usages.
- Tableau de signesTableau de signes pas à pas : signe de ax + b et d'un trinôme, produit, quotient et double barre, lecture des solutions, lien avec le tableau de variation.
Mis à jour le 6 octobre 2026