Aller au contenu

Cercle trigonométrique : radians, valeurs et angles associés

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À chaque réel x correspond un point M du cercle : son abscisse est cos x et son ordonnée sin x. Il permet de définir cosinus et sinus pour tous les angles, mesurés en radians.

Sommaire
  1. Le cercle trigonométrique : définition
  2. Le radian et la conversion degrés-radians
  3. Les valeurs remarquables du cercle trigonométrique
  4. Propriétés à connaître
  5. La mesure principale d'un angle
  6. Les angles associés
  7. Résoudre cos x = a ou sin x = a sur le cercle
  8. Pour aller plus loin
  9. Les erreurs fréquentes
  10. Questions fréquentes

Angle (en radians, π accepté : 5π/6, −3π/4…)

Cercle trigonométrique
11O−√3/21/2M

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principale
  3. On se ramène à l’angle associé π6 : 5π6 = π − π6 (symétries du cercle)
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de cos
  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°5π6 rad = 150°
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principaleα = 5π6
  3. On se ramène à l’angle associé π6 : 5π6 = π − π6 (symétries du cercle)cos(5π6) = −cos(π6) = −√32  ;  sin(5π6) = sin(π6) = 12cos(π − θ) = −cos θ et sin(π − θ) = sin θ
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de costan(5π6) = sincos = (12) × (−2√3) = −1√3 = −√33on rend le dénominateur rationnel en multipliant en haut et en bas par la racine

cos(5π6) = −√32 ; sin(5π6) = 12 ; tan(5π6) = −√33

Saisissez un angle en radians, avec le symbole π ou la lettre pi (5π/6, −3π/4, 17π/4), ou choisissez l'unité degrés (−120). L'outil convertit l'angle, trouve sa mesure principale, se ramène à un angle remarquable par symétrie et donne les valeurs exactes de cos, sin et tan, avec le point placé sur le cercle.

Le cercle trigonométrique : définition

On se place dans un repère orthonormé (O ; I, J), avec I(1 ; 0) et J(0 ; 1). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (ou sens trigonométrique), c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le point de départ est I.

Imaginez la droite des réels, graduée, que l'on enroule autour du cercle à partir du point I : le réel 0 tombe sur I, les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans l'autre sens. Chaque réel x vient se poser sur un point M du cercle. Un tour complet mesure 2π, la circonférence d'un cercle de rayon 1 (voir le calcul du périmètre d'un cercle). Les réels x et x + 2kπ, avec k entier, tombent donc sur le même point.

M(x) = (cos x ; sin x)

Cette définition prolonge celle du cosinus et du sinus dans le triangle rectangle : pour un angle aigu, le triangle formé par O, M et le projeté de M sur l'axe des abscisses a une hypoténuse de longueur 1, donc son côté adjacent mesure cos x et son côté opposé sin x.

Le radian et la conversion degrés-radians

Le radian est l'unité d'angle naturelle du cercle trigonométrique : un angle de 1 radian intercepte sur le cercle de rayon 1 un arc de longueur 1. Comme le tour complet mesure 2π, on a :

360° = 2π rad    donc    180° = π rad

Pour convertir, utilisez la proportionnalité : angle en radians = angle en degrés × π/180, et angle en degrés = angle en radians × 180/π. Un radian vaut environ 57,3°.

Degrés0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
Radians0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π

Exemple 3 : l’angle −120°, en radians, et ses valeurs exactes.

La méthode en bref

  1. On convertit en radians : 180° correspondent à π radians
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principale
  3. On se ramène à l’angle associé π3 : −2π3 = −π + π3 (symétries du cercle)
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de cos
  1. On convertit en radians : 180° correspondent à π radians−120° = −120 × π180 = −2π3 rad
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principaleα = −2π3
  3. On se ramène à l’angle associé π3 : −2π3 = −π + π3 (symétries du cercle)cos(−2π3) = −cos(π3) = −12  ;  sin(−2π3) = −sin(π3) = −√32cos(θ − π) = −cos θ et sin(θ − π) = −sin θ
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de costan(−2π3) = sincos = (−√32) × (−2) = √3

cos(−120°) = −12 ; sin(−120°) = −√32 ; tan(−120°) = √3

Les valeurs remarquables du cercle trigonométrique

Les angles multiples de π/6 et de π/4 ont des cosinus et des sinus exacts. Ceux du premier quart de cercle viennent du demi-carré et du demi-triangle équilatéral ; les autres s'en déduisent par symétrie.

x0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π
cos x1√3/2√2/21/20−1/2−√2/2−√3/2−1
sin x01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20

Pour les angles de ]−π ; 0[, le cosinus est le même que celui de l'angle opposé et le sinus est opposé : cos(−π/3) = 1/2 et sin(−π/3) = −√3/2. Les points à connaître sont aussi les quatre points cardinaux : M(0) = I(1 ; 0), M(π/2) = J(0 ; 1), M(π) = (−1 ; 0) et M(−π/2) = (0 ; −1).

Exemple 1 : cos, sin et tan de 5π/6.

La méthode en bref

  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principale
  3. On se ramène à l’angle associé π6 : 5π6 = π − π6 (symétries du cercle)
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de cos
  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°5π6 rad = 150°
  2. La mesure est déjà dans ]−π ; π] : c’est la mesure principaleα = 5π6
  3. On se ramène à l’angle associé π6 : 5π6 = π − π6 (symétries du cercle)cos(5π6) = −cos(π6) = −√32  ;  sin(5π6) = sin(π6) = 12cos(π − θ) = −cos θ et sin(π − θ) = sin θ
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de costan(5π6) = sincos = (12) × (−2√3) = −1√3 = −√33on rend le dénominateur rationnel en multipliant en haut et en bas par la racine

cos(5π6) = −√32 ; sin(5π6) = 12 ; tan(5π6) = −√33

Propriétés à connaître

  • Encadrement : pour tout réel x, −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1, puisque M est sur un cercle de rayon 1.
  • Relation fondamentale : cos2 x + sin2 x = 1, car OM = 1 (c'est le théorème de Pythagore).
  • Périodicité : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
  • Tangente : tan x = sin x / cos x, définie quand cos x ≠ 0, c'est-à-dire pour x ≠ π/2 + kπ.
Position de MSigne de cos xSigne de sin x
En haut à droite, x ∈ ]0 ; π/2[++
En haut à gauche, x ∈ ]π/2 ; π[−+
En bas à gauche, x ∈ ]−π ; −π/2[−−
En bas à droite, x ∈ ]−π/2 ; 0[+−

La mesure principale d'un angle

Un même point du cercle correspond à une infinité de réels, qui diffèrent de multiples de 2π. Parmi eux, la mesure principale est celle qui appartient à ]−π ; π]. Pour la trouver, on retire ou on ajoute des tours complets :

  • 29π/6 − 4π = 29π/6 − 24π/6 = 5π/6 : la mesure principale de 29π/6 est 5π/6.
  • −11π/3 + 4π = −11π/3 + 12π/3 = π/3 : la mesure principale de −11π/3 est π/3.

Retirez toujours un nombre pair de π (2π, 4π, 6π…) : retirer π seulement change de point sur le cercle.

Exemple 2 : mesure principale de 17π/4, puis cosinus et sinus.

La méthode en bref

  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°
  2. On cherche la mesure principale, dans ]−π ; π], en retirant 2 × 2π (un tour = 2π)
  3. C’est un angle remarquable : on lit les valeurs exactes sur le cercle (tableau du cours)
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de cos
  1. On convertit en degrés : π radians correspondent à 180°17π4 rad = 765°
  2. On cherche la mesure principale, dans ]−π ; π], en retirant 2 × 2π (un tour = 2π)17π4 = π4 + 2 × 2π  donc  α = π4deux mesures qui diffèrent d’un multiple de 2π repèrent le même point du cercle
  3. C’est un angle remarquable : on lit les valeurs exactes sur le cercle (tableau du cours)cos(π4) = √22  ;  sin(π4) = √22
  4. On calcule la tangente : tan = sin ÷ cos, c’est-à-dire sin multiplié par l’inverse de costan(π4) = sincos = (√22) × (2√2) = 1

cos(17π4) = √22 ; sin(17π4) = √22 ; tan(17π4) = 1

Les angles associés

Les symétries du cercle relient le point M(x) à d'autres points dont les coordonnées s'obtiennent sans calcul. Une figure mentale suffit à les retrouver.

AngleSymétrieCosinusSinus
−xpar rapport à l'axe des abscissescos(−x) = cos xsin(−x) = −sin x
π − xpar rapport à l'axe des ordonnéescos(π − x) = −cos xsin(π − x) = sin x
π + xpar rapport à l'origine Ocos(π + x) = −cos xsin(π + x) = −sin x
π/2 − xpar rapport à la droite d'équation y = xcos(π/2 − x) = sin xsin(π/2 − x) = cos x
π/2 + xquart de tour directcos(π/2 + x) = −sin xsin(π/2 + x) = cos x

Exemple : 3π/4 = π − π/4, donc cos(3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2 et sin(3π/4) = sin(π/4) = √2/2. Et 7π/6 = π + π/6, donc cos(7π/6) = −√3/2 et sin(7π/6) = −1/2.

Résoudre cos x = a ou sin x = a sur le cercle

Le cercle sert aussi à résoudre des équations trigonométriques. Pour cos x = 1/2, on cherche les points du cercle d'abscisse 1/2 : il y en a deux, symétriques par rapport à l'axe des abscisses, associés à π/3 et −π/3. Sur ]−π ; π], S = {−π/3 ; π/3} ; sur ℝ, les solutions sont π/3 + 2kπ et −π/3 + 2kπ, k entier.

Pour sin x = √2/2, les deux points d'ordonnée √2/2 sont associés à π/4 et π − π/4 = 3π/4. Règle générale : cos x = cos α donne x = ±α + 2kπ, et sin x = sin α donne x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.

Pour aller plus loin

Le cercle trigonométrique est au programme de la spécialité mathématiques en première, avec les fonctions cosinus et sinus, dont les courbes sont des sinusoïdes de période 2π. Leurs dérivées s'écrivent simplement en radians : cos′ = −sin et sin′ = cos, ce qui n'est plus vrai en degrés. On retrouve aussi le cercle avec les nombres complexes : le point M(x) est l'image du nombre cos x + i sin x = eix.

Les erreurs fréquentes

  • Tourner dans le mauvais sens : le sens direct est l'inverse des aiguilles d'une montre.
  • Confondre abscisse et ordonnée : cos se lit à l'horizontale, sin à la verticale.
  • Oublier le signe : seul le premier quart de cercle a cosinus et sinus positifs.
  • Retirer un nombre impair de π pour la mesure principale.
  • Oublier une solution de cos x = a : il y a en général deux points sur un tour.

Pour vérifier une valeur, le solveur de maths en ligne rédige la conversion et la réduction de l'angle. Ce cours fait partie du dossier géométrie et trigonométrie, avec les vecteurs et les théorèmes du triangle.

Questions fréquentes

Comment lire le cosinus et le sinus sur le cercle trigonométrique ?

Placez le point M associé à l'angle x sur le cercle de rayon 1. Le cosinus de x est l'abscisse de M, lue sur l'axe horizontal ; le sinus est son ordonnée, lue sur l'axe vertical. Pour x = π/3, M a pour coordonnées (1/2 ; √3/2).

Comment convertir des degrés en radians ?

Multipliez la mesure en degrés par π/180, car 180° correspondent à π radians. Ainsi 45° = 45π/180 = π/4 rad. Dans l'autre sens, multipliez les radians par 180/π : 2π/3 rad = 120°.

Comment trouver la mesure principale d'un angle ?

La mesure principale est la mesure qui se trouve dans l'intervalle ]−π ; π]. Ajoutez ou retirez des multiples de 2π (des tours complets) jusqu'à y arriver. Par exemple, 29π/6 − 4π = 5π/6, qui est bien dans ]−π ; π].

Comment retenir les valeurs du cercle trigonométrique ?

Retenez les sinus de 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 sous la forme √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, soit 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ; les cosinus suivent l'ordre inverse. Les autres angles remarquables s'en déduisent par symétrie : seul le signe change selon le quart de cercle.

Pourquoi le cercle trigonométrique a-t-il un rayon de 1 ?

Avec un rayon de 1, la longueur d'un arc est égale à la mesure de l'angle en radians, et les coordonnées du point M sont directement cos x et sin x, sans facteur à diviser. Le tour complet mesure 2π, la circonférence d'un cercle de rayon 1.

À lire aussi

Mis à jour le 6 octobre 2026