Primitive d'une fonction : définition, formules et calcul

Sommaire

1. Définition d'une primitive
2. Une infinité de primitives : F(x) + C
3. Tableau des primitives usuelles
4. Primitive d'une somme : la linéarité
5. Les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ et u′/√u
6. Primitive vérifiant une condition initiale
7. Produits et fonctions sans primitive usuelle
8. Vérifier une primitive en dérivant
9. À quoi servent les primitives
10. Les erreurs fréquentes
11. Questions fréquentes

Saisissez la fonction avec x comme variable : 3x^2 - 4x + 1/x, 2x/(x^2 + 1), cos(2x), e^(3x) ou 1/√x. Le solveur reconnaît les fonctions usuelles, les formes composées et les produits qui demandent une intégration par parties, puis trace la courbe de F à côté de celle de f.

Définition d'une primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si F′ = f sur I. La définition se vérifie donc toujours par une dérivation : F(x) = x² + 3x est une primitive de f(x) = 2x + 3 sur ℝ, car F′(x) = 2x + 3.

Le mot « primitive » rappelle que F est la fonction d'origine dont f est la dérivée. Chercher une primitive, c'est lire à l'envers le tableau des dérivées usuelles. Sur la courbe, f(x) donne la pente de la tangente à la courbe de F au point d'abscisse x : là où f est positive, F est croissante.

Un théorème garantit l'existence : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Il ne dit pas comment les écrire, et certaines ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles.

Une infinité de primitives : F(x) + C

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors pour tout réel C, F + C en est une aussi, puisque la dérivée d'une constante est nulle. Réciproquement, si G est une autre primitive, (G − F)′ = f − f = 0 sur I, donc G − F est constante sur cet intervalle.

Primitives de f sur I : x ↦ F(x) + C,  C ∈ ℝ

Graphiquement, les courbes des primitives se déduisent les unes des autres par des translations verticales. Le mot « intervalle » compte : sur ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, qui n'est pas un intervalle, les primitives de 1/x peuvent prendre une constante différente de chaque côté de 0.

Tableau des primitives usuelles

Ce tableau donne, pour chaque fonction usuelle, une primitive et l'intervalle sur lequel la formule est valable. Toutes les autres primitives s'obtiennent en ajoutant une constante.

La formule des puissances est la plus utilisée : on augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant. Elle couvre 1/x² = x⁻² (primitive x⁻¹/(−1) = −1/x) et 1/√x = x^−1/2 (primitive x^1/2/(1/2) = 2√x), mais jamais l'exposant −1, qui donnerait une division par zéro : c'est le cas du logarithme.

Primitive d'une somme : la linéarité

Une primitive de f + g est F + G, et une primitive de kf est kF. On traite donc un polynôme, ou toute somme, terme par terme.

Dans le second exemple, la règle g(ax + b) → (1/a) G(ax + b) donne sin(2x)/2. Le facteur 1/2 compense le 2 qui apparaît quand on dérive sin(2x).

Les formes u′uⁿ, u′/u, u′eᵘ et u′/√u

Quand la fonction est composée, on cherche à la reconnaître comme la dérivée d'une composée. Si u est une fonction dérivable sur I :

La méthode tient en trois temps : repérer u (l'expression « à l'intérieur »), calculer u′, puis ajuster un facteur constant s'il manque. Pour f(x) = x e^x2, on pose u(x) = x², d'où u′(x) = 2x : f = (1/2) u′e^u et une primitive est (1/2) e^x2. Pour x/√x² + 1, la forme u′/√u à un facteur 1/2 près donne √x² + 1. Pour tan x = sin x / cos x sur ]−π/2 ; π/2[, on reconnaît −u′/u avec u = cos x : une primitive est −ln(cos x).

Seul un facteur constant peut être ajusté. Dans e^x2 seul, il manque le facteur 2x, qui n'est pas constant : la forme u′e^u ne s'applique pas.

Primitive vérifiant une condition initiale

Parmi toutes les primitives F + C, une seule prend une valeur donnée y₀ en un point x₀ de l'intervalle. On la trouve en remplaçant x par x₀ pour calculer C.

Exemple 1. Cherchons la primitive de f(x) = 3x² − 4x + 1 qui vaut 2 en 1. Les primitives sont F(x) = x³ − 2x² + x + C. La condition donne F(1) = 1 − 2 + 1 + C = C = 2, donc F(x) = x³ − 2x² + x + 2.

Exemple 2. La primitive de e^2x qui vaut 1 en 0 s'écrit F(x) = e^2x/2 + C avec 1/2 + C = 1, soit C = 1/2 : F(x) = (e^2x + 1)/2.

En physique, la position est une primitive de la vitesse. Un objet lâché sans vitesse initiale a, en négligeant les frottements, une vitesse v(t) = 9,8t (en m/s) ; la distance parcourue est la primitive qui vaut 0 en 0 : d(t) = 4,9t². Ce problème est une équation différentielle du type y′ = f ; les types plus généraux sont traités dans le cours sur les équations différentielles.

Produits et fonctions sans primitive usuelle

Il n'existe pas de formule pour la primitive d'un produit : une primitive de x e^x n'est pas (x²/2) e^x. Quand le produit n'est pas une forme composée, on utilise l'intégration par parties, qui donne ici e^x(x − 1). C'est aussi elle qui fournit la primitive de ln x du tableau.

Certaines fonctions continues, comme e^−x2 ou sin(x)/x, ont des primitives qu'aucune combinaison de fonctions usuelles ne permet d'écrire. Pour leurs intégrales, on se contente de valeurs approchées : les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson sont expliquées dans la page pour calculer une intégrale.

Vérifier une primitive en dérivant

Une primitive se contrôle toujours : dérivez F et comparez avec f. Pour F(x) = x ln x − x, la dérivée d'un produit donne F′(x) = ln x + x × 1/x − 1 = ln x : c'est juste. Pour (x² + 1)⁴/8, on obtient 4 × 2x(x² + 1)³/8 = x(x² + 1)³. Le calculateur de dérivée fait ce contrôle étape par étape, et le solveur mathématique refait l'ensemble du calcul pour comparer avec votre copie.

À quoi servent les primitives

Leur usage principal est le calcul des intégrales : si F est une primitive de f, alors ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Ce lien, ses conséquences sur les aires et les propriétés de l'intégrale sont présentés dans le cours sur les intégrales. Les primitives servent aussi à résoudre les équations différentielles et, en physique, à remonter de l'accélération à la vitesse puis à la position.

Les erreurs fréquentes

• Oublier la constante quand on demande « toutes les primitives » : la réponse est F(x) + C, C ∈ ℝ.
• Multiplier au lieu de diviser : une primitive de e^3x est e^3x/3, pas 3e^3x (qui est sa dérivée).
• Se tromper de signe en trigonométrie : une primitive de sin x est −cos x, une primitive de cos x est sin x.
• Appliquer la formule des puissances à 1/x : l'exposant −1 est exclu, une primitive est ln x sur ]0 ; +∞[.
• Confondre 1/x² et une forme u′/u : une primitive de 1/x² est −1/x, pas ln(x²).
• Ajuster un facteur qui dépend de x : seule une constante peut être compensée.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une primitive en maths ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f : F′(x) = f(x) pour tout x de I. Par exemple, x³ est une primitive de 3x² sur ℝ. Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation.

Comment trouver la primitive d'une fonction ?

Décomposez la fonction en somme de termes, puis cherchez une primitive de chacun dans le tableau des primitives usuelles. Si un terme est une fonction composée, reconnaissez une forme u′uⁿ, u′/u, u′e^u ou u′/√u, en ajustant au besoin un facteur constant. Pour un produit comme x e^x, utilisez une intégration par parties. Vérifiez toujours en dérivant le résultat.

Pourquoi ajoute-t-on une constante C à une primitive ?

Parce que la dérivée d'une constante est nulle : si F est une primitive de f, alors F + 5 ou F − 2 en sont aussi. Sur un intervalle, toutes les primitives de f s'écrivent F(x) + C, avec C réel. La constante est fixée par une condition comme F(0) = 1.

Quelle est la primitive de 1/x ?

Sur ]0 ; +∞[, les primitives de 1/x sont les fonctions ln x + C. Sur ]−∞ ; 0[, ce sont les fonctions ln(−x) + C. On résume les deux cas par ln|x| + C, sur chacun des deux intervalles séparément.

Quelle est la primitive de ln x ?

Une primitive de ln x sur ]0 ; +∞[ est x ln x − x. On l'obtient par intégration par parties avec u = ln x et v′ = 1. Vérification : la dérivée de x ln x − x vaut ln x + 1 − 1 = ln x.

Toute fonction a-t-elle une primitive ?

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Mais ces primitives ne s'écrivent pas toujours avec les fonctions usuelles : c'est le cas pour e^−x2 ou sin(x)/x. On calcule alors leurs intégrales par des valeurs approchées.

À lire aussi

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Mis à jour le 6 octobre 2026