Convertisseur binaire, décimal, hexadécimal et texte

Q: Combien de valeurs peut-on coder sur un octet ?

Un octet compte 8 bits, soit 28 = 256 combinaisons : on peut coder les entiers de 0 (00000000) à 255 (11111111). Plus généralement, n bits donnent 2n valeurs, de 0 à 2n − 1.

Le binaire est le système de numération en base 2 : il n'utilise que deux chiffres, 0 et 1, et chaque position vaut une puissance de 2. Le convertisseur ci-dessous passe du décimal au binaire et inversement, gère l'hexadécimal et l'octal, traduit un texte en binaire, et rédige chaque division ou chaque somme de puissances.

Étapes de résolution

Divisions euclidiennes successives par 2, jusqu’à obtenir un quotient nul
Division Quotient Reste
45 = 2 × 22 + 1 22 1
22 = 2 × 11 + 0 11 0
11 = 2 × 5 + 1 5 1
5 = 2 × 2 + 1 2 1
2 = 2 × 1 + 0 1 0
1 = 2 × 0 + 1 0 1
On lit les restes de bas en haut45₁₀ = 101101₂

Division	Quotient	Reste
45 = 2 × 22 + 1	22	1
22 = 2 × 11 + 0	11	0
11 = 2 × 5 + 1	5	1
5 = 2 × 2 + 1	2	1
2 = 2 × 1 + 0	1	0
1 = 2 × 0 + 1	0	1

45₁₀ = 101101₂

Choisissez le sens de conversion avec les boutons, puis saisissez un entier positif : 45 en décimal, 101101 en binaire, 7E8 en hexadécimal. En mode « Texte ↔ binaire », tapez un mot pour obtenir ses octets, ou collez des octets séparés par des espaces pour retrouver le texte.

Comprendre le système binaire

En base 10, le nombre 345 signifie 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1 : chaque rang vaut dix fois le précédent. En base 2, chaque rang vaut deux fois le précédent, et l'on n'a besoin que des chiffres 0 et 1. Un chiffre binaire s'appelle un bit (de l'anglais binary digit).

Rang	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Puissance	2¹⁰	2⁹	2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Valeur	1 024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Pour éviter toute confusion, on note la base en indice : 101₂ = 5₁₀, alors que 101 en base 10 vaut cent un. Les règles de calcul sur les puissances sont utiles pour tout ce qui suit.

Convertir un nombre décimal en binaire

Par divisions successives par 2

On divise le nombre par 2, on note le reste, on recommence avec le quotient jusqu'à obtenir 0, puis on lit les restes de bas en haut. Le premier reste obtenu est le bit de droite, celui des unités. Chaque étape est une division euclidienne, comme en arithmétique.

Exemple : écrire 45 en binaire

Divisions euclidiennes successives par 2, jusqu’à obtenir un quotient nul
Division Quotient Reste
45 = 2 × 22 + 1 22 1
22 = 2 × 11 + 0 11 0
11 = 2 × 5 + 1 5 1
5 = 2 × 2 + 1 2 1
2 = 2 × 1 + 0 1 0
1 = 2 × 0 + 1 0 1
On lit les restes de bas en haut45₁₀ = 101101₂

Division	Quotient	Reste
45 = 2 × 22 + 1	22	1
22 = 2 × 11 + 0	11	0
11 = 2 × 5 + 1	5	1
5 = 2 × 2 + 1	2	1
2 = 2 × 1 + 0	1	0
1 = 2 × 0 + 1	0	1

45₁₀ = 101101₂

Par soustraction des puissances de 2

Pour de petits nombres, on peut retirer la plus grande puissance de 2 possible, puis recommencer. Pour 45 : 45 − 32 = 13, 13 − 8 = 5, 5 − 4 = 1, 1 − 1 = 0. On a utilisé 32, 8, 4 et 1, c'est-à-dire les rangs 5, 3, 2 et 0 : on met un 1 à ces rangs et un 0 ailleurs, ce qui donne 101101.

Convertir un nombre binaire en décimal

On multiplie chaque bit par la puissance de 2 de son rang, en numérotant les rangs à partir de 0 à droite, puis on additionne. En pratique, il suffit d'additionner les puissances de 2 placées sous les 1.

1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13

Exemple : convertir 101101 en décimal

Chaque chiffre est multiplié par la puissance de 2 de son rang (rang 0 à droite)101101₂ = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
On calcule les puissances et on additionne101101₂ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀

101101₂ = 45₁₀

Compter en binaire de 0 à 15

Décimal	Binaire (4 bits)	Hexadécimal	Décimal	Binaire (4 bits)	Hexadécimal
0	0000	0	8	1000	8
1	0001	1	9	1001	9
2	0010	2	10	1010	A
3	0011	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

Quelques réflexes se lisent dans ce tableau : un nombre est pair si et seulement si son dernier bit est 0 ; ajouter un 0 à droite multiplie par 2 (1011 vaut 11, 10110 vaut 22) ; et 2ⁿ − 1 s'écrit avec n chiffres 1 (1111 vaut 15).

Les nombres de la forme 2ⁿ − 1 sont étudiés pour leurs liens avec les nombres premiers : 3 (11), 7 (111), 31 (11111) et 127 (1111111) sont premiers, mais pas 15 (1111 = 3 × 5) ni 63 (111111). Une puissance de 2, elle, s'écrit 1 suivi de zéros : sa décomposition en facteurs premiers ne contient que des 2, comme 1 048 576 = 2²⁰, qui s'écrit 1 suivi de vingt 0.

L'hexadécimal, ou base 16

La base 16 utilise seize chiffres : 0 à 9, puis A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) et F (15). On convertit un nombre décimal en hexadécimal par divisions successives par 16, en remplaçant les restes de 10 à 15 par leur lettre.

Exemple : 2 024 en hexadécimal

Divisions euclidiennes successives par 16, jusqu’à obtenir un quotient nul
Division Quotient Reste
2 024 = 16 × 126 + 8 126 8
126 = 16 × 7 + 14 7 14 → E
7 = 16 × 0 + 7 0 7
On lit les restes de bas en haut (les restes de 10 à 15 s’écrivent A à F)2 024₁₀ = 7E8₁₆

Division	Quotient	Reste
2 024 = 16 × 126 + 8	126	8
126 = 16 × 7 + 14	7	14 → E
7 = 16 × 0 + 7	0	7

2 024₁₀ = 7E8₁₆

L'hexadécimal est surtout un raccourci du binaire. Comme 16 = 2⁴, un chiffre hexadécimal correspond exactement à un paquet de 4 bits. Pour convertir, on découpe le nombre binaire par paquets de 4 en partant de la droite, en complétant à gauche par des 0 : 101101 devient 0010 1101, soit 2D.

Exemple : du binaire à l’hexadécimal par paquets de 4 bits

On regroupe les chiffres binaires par paquets de 4, en partant de la droite (2⁴ = 16)
Paquet de 4 bits 1111 1111
Chiffre en base 16 F F
On écrit le résultat (sans les zéros de tête)11111111₂ = FF₁₆

Paquet de 4 bits	1111	1111
Chiffre en base 16	F	F

11111111₂ = FF₁₆

On croise l'hexadécimal dans les codes couleur du Web : #FF8000 désigne la couleur dont les composantes rouge, verte et bleue valent FF = 255, 80 = 128 et 00 = 0, c'est-à-dire un orange. La base 8 (octal) suit la même logique avec des paquets de 3 bits : 777₈ = 111 111 111₂ = 511.

Bit, octet et capacité

Un octet est un groupe de 8 bits. Avec n bits, on forme 2ⁿ combinaisons différentes :

Nombre de bits	Combinaisons	Entiers codables
4 bits	2⁴ = 16	de 0 à 15
8 bits (1 octet)	2⁸ = 256	de 0 à 255
16 bits (2 octets)	2¹⁶ = 65 536	de 0 à 65 535

Pour les capacités, le préfixe kilo signifie 1 000 dans le Système international : 1 ko = 1 000 octets. Le préfixe binaire kibi désigne 2¹⁰ = 1 024 : 1 Kio = 1 024 octets.

Code binaire d'un texte : ASCII et UTF-8

Un ordinateur ne stocke pas des lettres, mais des nombres. Le code ASCII associe un nombre de 0 à 127 à chaque caractère de base ; écrit en binaire sur un octet, il donne le « code binaire » du caractère.

Caractère	Code décimal	Octet
A	65	01000001
a	97	01100001
0 (chiffre)	48	00110000
espace	32	00100000

Une majuscule et sa minuscule diffèrent de 32 : un seul bit change. Pour traduire du binaire en texte, on découpe en octets et l'on convertit chacun : 01001000 01101001 donne 72 et 105, soit « Hi ». Les lettres accentuées ne font pas partie de l'ASCII ; en UTF-8, le codage le plus répandu sur le Web, é occupe deux octets, 11000011 10101001. Le mode « Texte ↔ binaire » de l'outil fait cette traduction dans les deux sens.

On parle parfois de « langage binaire ». Il ne s'agit pas d'une langue à apprendre, mais de la représentation en bits de toutes les données et instructions qu'un processeur manipule.

Additionner en binaire

On pose l'addition comme en base 10, avec des retenues : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10 (on écrit 0 et on retient 1), 1 + 1 + 1 = 11. Exemple : 101 + 011 = 1000, ce qui correspond bien à 5 + 3 = 8. Vérifier en repassant en décimal est le meilleur contrôle.

Les erreurs fréquentes

Lire les restes de haut en bas : on obtient le nombre à l'envers. Le premier reste est le bit des unités.
Oublier les restes nuls : chaque 0 compte. 45 s'écrit 101101, pas 1111.
Numéroter les rangs à partir de 1 : le bit de droite est au rang 0 et vaut 2⁰ = 1.
Découper par la gauche pour passer en hexadécimal : les paquets de 4 bits se forment à partir de la droite.
Confondre 10₂ et 10 : en binaire, 10 vaut deux.

Pour vérifier une conversion décimal → binaire, faites la conversion inverse : additionnez les puissances de 2 sous les 1 et retrouvez le nombre de départ.

Le convertisseur fait partie des outils du solveur mathématique ; pour les calculs avec puissances et fonctions, utilisez la calculatrice scientifique en ligne.

Questions fréquentes

Comment convertir un nombre décimal en binaire ?

Divisez le nombre par 2, notez le reste (0 ou 1), puis divisez le quotient par 2, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient nul. Lisez ensuite les restes de bas en haut. Pour 13 : restes 1, 0, 1, 1, donc 13 s'écrit 1101 en binaire.

Comment lire un nombre binaire ?

Chaque chiffre est associé à une puissance de 2, en partant de 2⁰ = 1 à droite : 1, 2, 4, 8, 16… On additionne les puissances qui correspondent à un chiffre 1. Ainsi 1101 vaut 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Comment traduire un texte en binaire ?

Chaque caractère a un code numérique : A vaut 65, a vaut 97, l'espace vaut 32 (code ASCII). On écrit chaque code en binaire sur 8 bits, un octet : A donne 01000001. Les lettres accentuées utilisent plusieurs octets en UTF-8 : é donne 11000011 10101001.

Combien de valeurs peut-on coder sur un octet ?

Un octet compte 8 bits, soit 2⁸ = 256 combinaisons : on peut coder les entiers de 0 (00000000) à 255 (11111111). Plus généralement, n bits donnent 2ⁿ valeurs, de 0 à 2ⁿ − 1.

Pourquoi les ordinateurs utilisent-ils le binaire ?

Parce que leurs circuits électroniques distinguent de façon fiable deux états, par exemple une tension basse ou haute. Ces deux états sont notés 0 et 1. Nombres, textes, images et instructions sont tous codés par des suites de bits.