Théorème de Pythagore : formule, calculateur et exemples

Sommaire

1. L'énoncé du théorème de Pythagore
2. Calculer l'hypoténuse
3. Calculer un côté de l'angle droit
4. La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle
5. Les triplets pythagoriciens
6. Pourquoi le théorème est vrai : une démonstration
7. Les applications à connaître
8. Rédiger sur une copie (type brevet)
9. Les erreurs fréquentes
10. Questions fréquentes

Choisissez ce que vous cherchez (l'hypoténuse, un côté de l'angle droit ou la nature du triangle), entrez les longueurs avec une virgule décimale (4,5) et l'unité. Le calculateur rédige la résolution comme sur une copie : phrase de justification, calcul des carrés, valeur exacte avec racine carrée simplifiée, puis arrondi, avec la figure.

L'énoncé du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Théorème. Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

ABC rectangle en A  ⇒  BC² = AB² + AC²

Avec des lettres génériques, si a et b sont les côtés de l'angle droit et c l'hypoténuse, la formule de Pythagore s'écrit a² + b² = c². La lettre n'a pas d'importance : ce qui compte, c'est que l'hypoténuse soit seule de son côté du signe égal.

Le mot « carré » a ici un sens géométrique. Construisez un carré sur chaque côté du triangle : l'aire du carré bâti sur l'hypoténuse est exactement la somme des aires des deux autres carrés. Avec le triangle 3, 4, 5, on a bien 9 + 16 = 25.

Le théorème porte le nom de Pythagore, savant grec du VI^e siècle avant notre ère. Des tablettes babyloniennes bien plus anciennes contiennent déjà des listes de triplets pythagoriciens, et l'on ignore qui en a écrit la première démonstration.

Calculer l'hypoténuse

On connaît les deux côtés de l'angle droit. La méthode tient en trois lignes : écrire l'égalité de Pythagore, remplacer par les longueurs, puis prendre la racine carrée, car une longueur est positive.

Le résultat n'est pas toujours entier. Dans ce cas, donnez d'abord la valeur exacte en simplifiant la racine carrée (√52 = √(4 × 13) = 2√13), puis l'arrondi demandé par l'énoncé.

Calculer un côté de l'angle droit

On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit. On part de la même égalité, puis on isole le carré cherché : on obtient une soustraction, toujours « hypoténuse au carré moins l'autre côté au carré ».

AC² = BC² − AB²

Si vous trouvez un carré négatif, l'énoncé est impossible ou vous avez inversé l'hypoténuse et un côté : le côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.

Un problème concret : l'échelle

Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical, son pied à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle ? Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse. La hauteur h vérifie h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m. Vérification : 1,4² + 4,8² = 1,96 + 23,04 = 25.

La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle

Réciproque. Si, dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.

La méthode est toujours la même : repérer le plus long côté, calculer son carré d'une part, la somme des carrés des deux autres d'autre part, puis comparer. On calcule séparément : écrire d'emblée BC² = AB² + AC² reviendrait à supposer ce que l'on veut démontrer. Si l'égalité est vraie, l'angle droit est au sommet opposé au plus long côté.

Exemple : AB = 6 cm, AC = 8 cm et BC = 10 cm. D'une part BC² = 100 ; d'autre part AB² + AC² = 36 + 64 = 100. Les résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

La contraposée : prouver qu'il ne l'est pas

Si BC² ≠ AB² + AC², avec [BC] le plus long côté, le triangle n'est pas rectangle. C'est la contraposée du théorème, et c'est elle qu'on cite dans ce cas, pas la réciproque.

La comparaison en dit même un peu plus : si le carré du plus grand côté est plus grand que la somme des deux autres carrés (64 > 61 ci-dessus), l'angle opposé est obtus ; s'il est plus petit, les trois angles sont aigus. Cette propriété découle de la formule d'Al-Kashi, vue au lycée avec la trigonométrie.

Avec des mesures décimales arrondies, l'égalité peut ne pas tomber juste à cause des arrondis. Au brevet, les longueurs sont choisies pour que les calculs soient exacts : une égalité « presque vraie » doit vous faire relire vos carrés.

Les triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers (a ; b ; c) tel que a² + b² = c². Ils donnent des triangles rectangles dont tous les côtés sont entiers. Les connaître permet de reconnaître un résultat en un coup d'œil.

Tout multiple d'un triplet est encore un triplet : (6 ; 8 ; 10), (9 ; 12 ; 15) ou (30 ; 40 ; 50) viennent de (3 ; 4 ; 5). Pour en fabriquer, choisissez deux entiers m > n > 0 et posez a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² : avec m = 3 et n = 2, on obtient (5 ; 12 ; 13).

Pourquoi le théorème est vrai : une démonstration

Placez quatre copies du triangle rectangle (côtés a, b, hypoténuse c) dans un grand carré de côté a + b, chacune dans un coin. Au centre reste un carré incliné de côté c. L'aire du grand carré se calcule de deux façons :

(a + b)² = 4 × ab2 + c²

En développant avec une identité remarquable : a² + 2ab + b² = 2ab + c², d'où a² + b² = c². Il existe des centaines d'autres preuves, par découpage ou par les triangles semblables.

Les applications à connaître

La dernière ligne est la norme d'un vecteur : c'est Pythagore appliqué au triangle formé avec les axes. Dans la vie courante, on s'en sert pour une diagonale d'écran, une rampe ou un câble. Et la réciproque sert sur les chantiers : un triangle de 60 cm, 80 cm et 1 m a forcément un angle droit, puisque 0,36 + 0,64 = 1.

Pythagore sert aussi en amont d'autres calculs : trouver la hauteur d'un triangle avant d'en calculer l'aire, ou la hauteur d'un cône avant son volume. Il se combine souvent avec le théorème de Thalès dans les problèmes du brevet.

Rédiger sur une copie (type brevet)

1. Citer l'hypothèse. « Le triangle ABC est rectangle en A, son hypoténuse est [BC]. »
2. Citer le théorème et écrire l'égalité. « D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². »
3. Remplacer et calculer. « BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. »
4. Conclure avec l'unité. « BC est une longueur positive, donc BC = √169 = 13 cm. »

Pour la réciproque, la rédaction attendue est : « Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté. D'une part BC² = …, d'autre part AB² + AC² = … On constate que BC² = AB² + AC², donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. »

Les erreurs fréquentes

• Additionner les longueurs au lieu de leurs carrés : avec 3 et 4, l'hypoténuse vaut 5, pas 7.
• Se tromper d'hypoténuse : c'est le côté en face de l'angle droit, jamais un côté qui le touche.
• Additionner pour un côté de l'angle droit : il faut soustraire, AC² = BC² − AB².
• Oublier la racine carrée : 169 est le carré de BC, pas BC.
• Appliquer le théorème à un triangle non rectangle : sans angle droit démontré ou donné, l'égalité est fausse.
• Arrondir trop tôt : gardez la valeur exacte jusqu'au bout et arrondissez seulement la réponse.
• Mélanger les unités : convertissez toutes les longueurs dans la même unité avant de les élever au carré.

Pour contrôler vos réponses, comparez votre copie avec le solveur de maths en ligne, qui rédige chaque étape. Ce cours fait partie du dossier géométrie et trigonométrie, qui rassemble aussi les formules d'aires, de périmètres et de volumes.

Questions fréquentes

Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?

Dans un triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC] et l'on a BC² = AB² + AC². Avec les notations usuelles, si a et b sont les côtés de l'angle droit et c l'hypoténuse : a² + b² = c².

Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?

Élevez au carré les deux côtés de l'angle droit, additionnez les résultats, puis prenez la racine carrée de la somme. Avec des côtés de 6 cm et 8 cm : 36 + 64 = 100, donc l'hypoténuse mesure √100 = 10 cm.

Comment savoir si un triangle est rectangle ?

Repérez le plus grand côté, calculez son carré d'une part et la somme des carrés des deux autres côtés d'autre part. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore, et l'angle droit est opposé au plus grand côté. S'ils sont différents, il ne l'est pas (contraposée).

Quelle différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d'un triangle que l'on sait rectangle et sert à calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs connues et sert à démontrer qu'un triangle est rectangle. La contraposée, elle, démontre qu'un triangle n'est pas rectangle.

En quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?

Il est étudié au collège, en général en 4^e, avec sa réciproque. Il revient ensuite dans presque tous les sujets de géométrie du brevet, puis au lycée pour calculer des distances dans un repère, des normes de vecteurs ou des longueurs dans l'espace.

À quoi sert le théorème de Pythagore dans la vie courante ?

À calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement : la diagonale d'un écran ou d'une pièce, la longueur d'une rampe, la hauteur atteinte par une échelle, la longueur d'un câble tendu. Sa réciproque permet aussi de vérifier un angle droit sur un chantier avec trois longueurs, par exemple 60 cm, 80 cm et 1 m.

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Mis à jour le 6 octobre 2026