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Probabilité : cours, formules et calcul pas à pas

Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se réalise. Quand toutes les issues sont également probables, on la calcule par la formule : probabilité = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles.

Sommaire
  1. Le vocabulaire des probabilités
  2. Calculer une probabilité : la formule de base
  3. L'événement contraire
  4. Intersection et réunion de deux événements
  5. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés
  6. Dénombrement : arrangements et combinaisons
  7. La loi binomiale
  8. Variable aléatoire et espérance
  9. Fréquence et probabilité
  10. Les erreurs fréquentes
  11. Questions fréquentes

Probabilités et dénombrement

Loi binomiale
0,050,10,150,20,25012345678910kP(X = k)

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. X compte le nombre de succès lors de 10 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,3 : X suit la loi binomiale
  2. Pour tout entier k entre 0 et 10 :
  3. On applique la formule avec k = 3
  4. Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
  1. X compte le nombre de succès lors de 10 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,3 : X suit la loi binomialeX ∼ ℬ(10 ; 0,3)
  2. Pour tout entier k entre 0 et 10 :P(X = k) = (nk) pk(1 − p)n − k
  3. On applique la formule avec k = 3P(X = 3) = (103) × 0,33 × 0,77 = 120 × 0,33 × 0,77 = 0,266827932 ≈ 0,2668
  4. Espérance, variance et écart type de la loi binomialeE(X) = np = 10 × 0,3 = 3  ;  V(X) = np(1 − p) = 2110 = 2,1  ;  σ(X) = √V(X) = √21010 ≈ 1,4491en moyenne, on obtient 3 succès sur 10 répétitions

P(X = 3) = 0,266827932 ≈ 0,2668

Le calculateur a trois modes. « Loi binomiale » : indiquez le nombre de répétitions n, la probabilité de succès p (0,3 ou 1/6) et la probabilité cherchée, par exemple P(X ≥ 2). « Combinaisons et arrangements » : saisissez n et k. « Événements A et B » : entrez P(A), P(B) et P(A ∩ B) pour obtenir la réunion, les contraires, la probabilité conditionnelle et le test d'indépendance.

Le vocabulaire des probabilités

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, que l'on ne peut pas prévoir avec certitude : lancer un dé, tirer une carte. Chaque résultat est une issue ; l'ensemble des issues est l'univers, noté Ω.

MotSensAvec un dé à 6 faces
Univers ΩEnsemble de toutes les issues{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
ÉvénementPartie de l'univers, décrite par une phrase« obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}
Événement élémentaireÉvénement formé d'une seule issue« obtenir 5 » = {5}
Événement certainToujours réalisé, probabilité 1« obtenir un nombre entre 1 et 6 »
Événement impossibleJamais réalisé, probabilité 0« obtenir 7 »

Calculer une probabilité : la formule de base

Une loi de probabilité associe à chaque issue un nombre positif, sa probabilité, de sorte que la somme de toutes ces probabilités vaille 1. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Quand toutes les issues ont la même probabilité, on parle d'équiprobabilité (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage « au hasard »). La formule devient :

P(A) = nombre d'issues favorables à Anombre d'issues possibles

  • Dé équilibré : P(« nombre pair ») = 3/6 = 1/2.
  • Jeu de 32 cartes : P(« cœur ») = 8/32 = 1/4 et P(« as ») = 4/32 = 1/8.
  • Urne de 3 boules rouges et 5 bleues : P(« rouge ») = 3/8.

Sans équiprobabilité, la formule ne s'applique pas. Avec un dé truqué où le 6 sort une fois sur deux et où les cinq autres faces ont chacune la probabilité 1/10, on a P(« pair ») = 1/10 + 1/10 + 1/2 = 7/10. Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : les calculs sur les fractions reviennent donc sans cesse.

L'événement contraire

L'événement contraire de A, noté A, est réalisé exactement quand A ne l'est pas :

P(A) = 1 − P(A)

Il simplifie tous les calculs du type « au moins un ». On lance deux fois un dé : la probabilité d'obtenir au moins un 6 est le contraire de « aucun 6 », dont la probabilité vaut 5/6 × 5/6 = 25/36. Donc P(« au moins un 6 ») = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,31.

Intersection et réunion de deux événements

A ∩ B (« A et B ») est réalisé quand les deux le sont ; A ∪ B (« A ou B ») quand l'un au moins l'est. Pour la réunion :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Avec un dé, A = « pair » = {2 ; 4 ; 6} et B = « au moins 5 » = {5 ; 6}. Alors A ∩ B = {6} et P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3 : on retrouve bien les quatre issues {2 ; 4 ; 5 ; 6}. On retranche P(A ∩ B) parce que l'issue 6 a été comptée dans A et dans B. Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), la formule se réduit à P(A) + P(B).

Exemple 4 : P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,3 ; P(A ∩ B) = 0,18.

La méthode en bref

  1. Événements contraires : P(A) = 1 − P(A)
  2. Réunion de deux événements
  3. Probabilité qu’aucun des deux ne se réalise (contraire de la réunion)
  4. Probabilité conditionnelle de B sachant A
  5. P(A) × P(B) = P(A ∩ B) : les événements A et B sont indépendants
  1. Événements contraires : P(A) = 1 − P(A)P(A) = 1 − 0,6 = 0,4  ;  P(B) = 1 − 0,3 = 0,7
  2. Réunion de deux événementsP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,6 + 0,3 − 0,18 = 0,72
  3. Probabilité qu’aucun des deux ne se réalise (contraire de la réunion)P(A ∩ B) = 1 − P(A ∪ B) = 0,28
  4. Probabilité conditionnelle de B sachant APA(B) = P(A ∩ B)P(A) = 0,180,6 = 310 = 0,3
  5. P(A) × P(B) = P(A ∩ B) : les événements A et B sont indépendantsP(A) × P(B) = 0,6 × 0,3 = 0,18 = P(A ∩ B) = 0,18

P(A ∪ B) = 0,72 ; P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,7 ; A et B sont indépendants

Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

La probabilité de B sachant A est la probabilité que B se réalise quand on sait déjà que A est réalisé. Pour P(A) ≠ 0 :

PA(B) = P(A ∩ B)P(A)   donc   P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)

Un arbre pondéré organise ces calculs. Trois règles suffisent : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Exemple. Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 10 % des personnes saines. On note M « être malade » et T « test positif ».

Chemin de l'arbreCalculProbabilité
M puis T0,02 × 0,950,019
M puis T0,02 × 0,050,001
M puis T0,98 × 0,10,098
M puis T0,98 × 0,90,882

Les quatre chemins totalisent bien 1. Par les probabilités totales, P(T) = 0,019 + 0,098 = 0,117. La probabilité d'être malade quand le test est positif vaut donc PT(M) = 0,019/0,117 ≈ 0,16 : seulement 16 %, alors que PM(T) = 0,95. Confondre ces deux probabilités est l'erreur la plus répandue sur ce chapitre.

Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), c'est-à-dire si savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B. Ne confondez pas indépendants et incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Dénombrement : arrangements et combinaisons

En situation d'équiprobabilité, tout revient à compter des issues. Le principe multiplicatif dit que si un choix se fait en deux étapes, avec a possibilités puis b, il y a a × b possibilités en tout. On en déduit :

  • le nombre de façons d'ordonner n objets (permutations) : n! = 1 × 2 × … × n, par exemple 4 ! = 24 ;
  • le nombre de listes ordonnées de k objets distincts pris parmi n (arrangements) : n × (n − 1) × … × (n − k + 1) ;
  • le nombre de façons de choisir k objets parmi n sans tenir compte de l'ordre (combinaisons), lu « k parmi n » :

(nk) = n!k! (n − k) !

On divise par k! parce que chaque groupe de k objets correspond à k! listes ordonnées. Ainsi, choisir 2 délégués parmi 5 élèves : 5 × 4 = 20 listes ordonnées, mais 20/2 = 10 paires. Les coefficients vérifient la relation de Pascal (nk) = (n − 1k − 1) + (n − 1k), qui construit le triangle de Pascal.

Exemple 3 : nombre de façons de choisir 5 numéros parmi 49.

La méthode en bref

  1. Arrangements : nombre de listes ordonnées de 5 éléments distincts pris parmi 49
  2. Combinaisons : nombre de parties (sans ordre) à 5 éléments d’un ensemble à 49 éléments, « 5 parmi 49 »
  3. Propriété de symétrie
  1. Arrangements : nombre de listes ordonnées de 5 éléments distincts pris parmi 49A495 = 49 !(49 − 5) ! = 49 × 48 × 47 × 46 × 45 = 228 826 080
  2. Combinaisons : nombre de parties (sans ordre) à 5 éléments d’un ensemble à 49 éléments, « 5 parmi 49 »(495) = 49 !5 ! × (49 − 5) ! = 49 × 48 × 47 × 46 × 451 × 2 × 3 × 4 × 5 = 1 906 884on divise par 5 ! car l’ordre des 5 éléments ne compte pas
  3. Propriété de symétrie(495) = (4944) = 1 906 884

(495) = 1 906 884 ; A495 = 228 826 080

Si l'on choisit au hasard 5 numéros parmi 49, la probabilité qu'ils soient exactement les 5 numéros tirés vaut donc 1/1 906 884.

La loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès, de probabilité p, ou échec, de probabilité 1 − p. En répétant n fois cette épreuve de façon identique et indépendante (schéma de Bernoulli), le nombre X de succès suit la loi binomiale ℬ(n ; p) :

P(X = k) = (nk) pk (1 − p)n − k

Le coefficient binomial compte les chemins de l'arbre qui comportent exactement k succès, et chacun de ces chemins a la probabilité pk(1 − p)n − k.

Exemple 1 : on lance 5 fois un dé. Probabilité d’obtenir exactement deux 6.

La méthode en bref

  1. X compte le nombre de succès lors de 5 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 16 : X suit la loi binomiale
  2. Pour tout entier k entre 0 et 5 :
  3. On applique la formule avec k = 2
  4. Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
  1. X compte le nombre de succès lors de 5 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 16 : X suit la loi binomialeX ∼ ℬ(5 ; 16)
  2. Pour tout entier k entre 0 et 5 :P(X = k) = (nk) pk(1 − p)n − k
  3. On applique la formule avec k = 2P(X = 2) = (52) × (16)2 × (56)3 = 10 × (16)2 × (56)3 = 6253 888 ≈ 0,1608
  4. Espérance, variance et écart type de la loi binomialeE(X) = np = 5 × 16 = 56 ≈ 0,8333  ;  V(X) = np(1 − p) = 2536 ≈ 0,6944  ;  σ(X) = √V(X) = 56 ≈ 0,8333en moyenne, on obtient 0,83 succès sur 5 répétitions

P(X = 2) = 6253 888 ≈ 0,1608

Pour « au moins un succès », on passe par le contraire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)n.

Exemple 2 : X ∼ B(10 ; 0,2). Calculer P(X ≥ 1).

La méthode en bref

  1. X compte le nombre de succès lors de 10 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,2 : X suit la loi binomiale
  2. Pour tout entier k entre 0 et 10 :
  3. L’événement contraire de « au moins un succès » (X ≥ 1) est « aucun succès » (X = 0)
  4. On calcule ce terme avec la formule
  5. Donc
  6. Espérance, variance et écart type de la loi binomiale
  1. X compte le nombre de succès lors de 10 répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,2 : X suit la loi binomialeX ∼ ℬ(10 ; 0,2)
  2. Pour tout entier k entre 0 et 10 :P(X = k) = (nk) pk(1 − p)n − k
  3. L’événement contraire de « au moins un succès » (X ≥ 1) est « aucun succès » (X = 0)P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)
  4. On calcule ce terme avec la formuleP(X = 0) = 1 × 0,20 × 0,810 = 0,1073741824 ≈ 0,1074
  5. DoncP(X ≥ 1) = 1 − 0,1073741824 = 0,8926258176 ≈ 0,8926calcul fait sans arrondi intermédiaire
  6. Espérance, variance et écart type de la loi binomialeE(X) = np = 10 × 0,2 = 2  ;  V(X) = np(1 − p) = 85 = 1,6  ;  σ(X) = √V(X) = 2√105 ≈ 1,2649en moyenne, on obtient 2 succès sur 10 répétitions

P(X ≥ 1) = 0,8926258176 ≈ 0,8926

Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue : un gain, un nombre de succès. Sa loi donne la probabilité de chaque valeur. Son espérance est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :

E(X) = x1P(X = x1) + … + xrP(X = xr)

Un jeu coûte 2 € ; on lance un dé et l'on reçoit 10 € si l'on obtient 6. Le gain net vaut 8 € avec la probabilité 1/6 et −2 € avec la probabilité 5/6, donc E(X) = 8 × 1/6 − 2 × 5/6 = −2/6 ≈ −0,33. Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne environ 33 centimes par partie : le jeu lui est défavorable.

L'espérance est l'équivalent probabiliste du calcul de moyenne. De même, la variance V(X) = E((X − E(X))2) et l'écart type σ(X) = √V(X) mesurent la dispersion. Pour la loi binomiale, E(X) = np et V(X) = np(1 − p).

Fréquence et probabilité

Une probabilité se vérifie par l'expérience. Si l'on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement a tendance à se rapprocher de sa probabilité : c'est la loi des grands nombres. Sur 10 lancers de pièce, obtenir 7 piles n'a rien d'étonnant ; sur 10 000 lancers, la fréquence des piles sera presque toujours très proche de 0,5. Cette passerelle entre observations et modèle relie ce cours au dossier statistiques et probabilités.

Les erreurs fréquentes

  • Additionner des probabilités d'événements non incompatibles sans retrancher P(A ∩ B).
  • Confondre PA(B) et PB(A), comme dans l'exemple du test médical.
  • Calculer « au moins un » terme à terme au lieu de passer par l'événement contraire.
  • Appliquer la loi binomiale à des tirages sans remise, qui ne sont pas indépendants.
  • Utiliser la formule d'équiprobabilité avec des issues qui ne sont pas également probables : la somme de deux dés vaut 7 dans 6 cas sur 36, mais 2 dans un seul cas.
  • Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est toujours le signe d'une erreur.

Pour vérifier un exercice, entrez les données dans le solveur mathématique : il rédige la formule utilisée, les valeurs remplacées et le résultat exact, puis la valeur approchée.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une probabilité ?

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se réalise lors d'une expérience aléatoire. Un événement impossible a une probabilité de 0, un événement certain une probabilité de 1. On l'écrit aussi en pourcentage : une probabilité de 0,25 correspond à 25 % de chances.

Comment calculer une probabilité ?

Si toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité), divisez le nombre d'issues favorables à l'événement par le nombre total d'issues. Pour obtenir un nombre pair avec un dé équilibré : 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6, soit 3/6 = 1/2. Sinon, additionnez les probabilités des issues qui réalisent l'événement.

Comment calculer la probabilité de A ou B ?

Utilisez la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). On retranche P(A ∩ B) parce que les issues communes ont été comptées deux fois. Si A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire ensemble), P(A ∩ B) = 0 et la formule devient P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

La probabilité de B sachant A est PA(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0. Dans un arbre pondéré, c'est la probabilité inscrite sur la branche qui va de A à B. Inversement, P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) : on multiplie les probabilités le long du chemin.

Quand utiliser la loi binomiale ?

Quand on répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p, échec de probabilité 1 − p), et que X compte le nombre de succès. C'est le cas de lancers de dé ou de tirages avec remise. Les tirages sans remise ne sont pas indépendants : la loi binomiale ne s'applique pas.

En quelle classe apprend-on les probabilités ?

Les premières probabilités, avec des situations d'équiprobabilité, sont étudiées au collège. Au lycée, la spécialité mathématiques ajoute les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires en première, puis le dénombrement et la loi binomiale en terminale.

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Mis à jour le 6 octobre 2026