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Fraction : définition, règles de calcul et exemples corrigés

Une fraction ab est le quotient de l'entier a par l'entier non nul b : c'est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Tapez un calcul ci-dessous : le solveur simplifie, réduit au même dénominateur et rédige chaque étape avec des valeurs exactes.

Sommaire
  1. Qu'est-ce qu'une fraction ?
  2. Fractions égales
  3. Simplifier une fraction
  4. Comparer et ranger des fractions
  5. Additionner et soustraire des fractions
  6. Multiplier des fractions
  7. Diviser par une fraction
  8. Enchaîner les opérations : les priorités
  9. Calculer une fraction d'un nombre
  10. Fractions, nombres décimaux et nombres rationnels
  11. Les autres nombres du dossier
  12. Les erreurs fréquentes avec les fractions
  13. Toutes les pages du dossier Fractions et nombres
  14. Questions fréquentes
Exemples

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On réduit au même dénominateur : 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)
  1. On part du calcul34 + 56
  2. On réduit au même dénominateur : 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 634 + 56 = 3 × 34 × 3 + 5 × 26 × 2 = 912 + 1012 = 9 + 1012 = 1912
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)1912 ≈ 1,583333

34 + 56 = 1912

nombre mixte : 1 + 712

Écrivez les fractions avec une barre oblique, par exemple 3/4 + 5/6, 2/3 × 9/4 ou 5/8 ÷ 15/4. Une fraction seule, comme 84/126, est simplifiée jusqu'à sa forme irréductible. Le résultat est donné en fraction irréductible, en écriture décimale et, s'il dépasse 1, en nombre mixte.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Dans la fraction 34, le nombre du haut, 3, est le numérateur ; le nombre du bas, 4, est le dénominateur ; le trait qui les sépare est le trait de fraction. On lit « trois quarts ».

Une fraction a deux sens, qui donnent le même nombre. C'est d'abord un partage : on coupe une unité en 4 parts égales et on en prend 3. C'est aussi un quotient : 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Le dénominateur ne peut jamais valoir 0, car la division par 0 n'existe pas.

TermeSensExemple
NumérateurNombre de parts prises (au-dessus du trait)5 dans 5/7
DénominateurNombre de parts égales de l'unité (sous le trait)7 dans 5/7
Fraction irréductibleFraction qu'on ne peut plus simplifier2/3
Fraction décimaleDénominateur égal à 10, 100, 1 000…37/100 = 0,37
InverseOn échange numérateur et dénominateurL'inverse de 2/5 est 5/2
Nombre mixtePartie entière + fraction inférieure à 17/4 = 1 + 3/4

Une fraction est inférieure à 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur (7/8 < 1), égale à 1 quand ils sont égaux, supérieure à 1 sinon (9/8 > 1). Le signe se place devant la fraction ou devant l'un de ses deux termes : −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4).

Fractions égales

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant, ou en divisant, son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

ab = a × kb × k   (b ≠ 0, k ≠ 0)

Ainsi 2/3 = 4/6 = 10/15 = 200/300 : ce sont des écritures différentes du même nombre. Pour savoir si deux fractions sont égales, comparez les produits en croix : a/b = c/d si et seulement si a × d = b × c. Par exemple, 6/8 et 9/12 sont égales, car 6 × 12 = 72 et 8 × 9 = 72. Cette égalité est aussi la base du produit en croix et de la règle de trois.

Simplifier une fraction

Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Quand on divise par leur plus grand diviseur commun, le PGCD, on obtient en une seule étape la fraction irréductible. Pour 84/126, le PGCD vaut 42, donc 84/126 = 2/3. On peut aussi avancer pas à pas avec les critères de divisibilité : 84/126 = 42/63 = 14/21 = 2/3.

La méthode complète, avec l'algorithme d'Euclide, la décomposition en facteurs premiers et les critères par 2, 3, 5, 9 et 11, est détaillée dans le cours pour simplifier une fraction. Un résultat de calcul doit toujours être donné sous forme irréductible.

Comparer et ranger des fractions

Trois situations se présentent :

  • Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur. 5/9 > 4/9.
  • Même numérateur : la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur, car les parts sont plus grosses. 3/5 > 3/7.
  • Cas général : on réduit au même dénominateur. Pour comparer 5/8 et 3/5, on écrit 5/8 = 25/40 et 3/5 = 24/40 : donc 5/8 > 3/5.

Pour ranger 2/3, 3/4 et 5/6 dans l'ordre croissant, le dénominateur commun 12 donne 8/12, 9/12 et 10/12 : 2/3 < 3/4 < 5/6. Comparer chaque fraction à 1 ou à 1/2 permet souvent de conclure sans calcul.

Additionner et soustraire des fractions

Si les dénominateurs sont égaux, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur : 2/7 + 3/7 = 5/7. Sinon, on réduit d'abord au même dénominateur. Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des deux dénominateurs ; n'importe quel multiple commun convient aussi, mais il faudra simplifier davantage à la fin.

ab + cd = ad + bcbd

Exemple : additionner 3/4 et 5/6

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On réduit au même dénominateur : 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)
  1. On part du calcul34 + 56
  2. On réduit au même dénominateur : 12 est le plus petit multiple commun de 4 et 634 + 56 = 3 × 34 × 3 + 5 × 26 × 2 = 912 + 1012 = 9 + 1012 = 1912
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)1912 ≈ 1,583333

34 + 56 = 1912

Un entier s'écrit comme une fraction de n'importe quel dénominateur : 1 = 7/7, 3 = 12/4. C'est ainsi qu'on soustrait une fraction d'un entier.

Exemple : soustraire une fraction d’un entier, 1 − 2/7

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On écrit l’entier 1 sous forme de fraction de dénominateur 7
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)
  1. On part du calcul1 − 27
  2. On écrit l’entier 1 sous forme de fraction de dénominateur 71 − 27 = 77 − 27 = 7 − 27 = 57
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)57 ≈ 0,714286

1 − 27 = 57

On n'additionne jamais les dénominateurs : 1/2 + 1/3 ne vaut pas 2/5 mais 3/6 + 2/6 = 5/6. Une moitié plus un tiers dépasse déjà une moitié, alors que 2/5 est plus petit que 1/2.

Multiplier des fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pas besoin de dénominateur commun.

ab × cd = a × cb × d

Simplifiez avant d'effectuer les produits : un facteur du numérateur de la première fraction peut se simplifier avec le dénominateur de la seconde. Dans 4/15 × 25/8, on simplifie 4 avec 8 et 25 avec 15, ce qui donne directement (1 × 5)/(3 × 2) = 5/6. Pour multiplier un entier par une fraction, on multiplie seulement le numérateur : 3 × 2/5 = 6/5.

Exemple : multiplier 2/3 par 9/4

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; on simplifie avant d’effectuer les produits
  3. Résultat sous forme irréductible, puis écriture décimale
  1. On part du calcul23 × 94
  2. Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; on simplifie avant d’effectuer les produits23 × 94 = 2 × 93 × 4 = 2 × 3 × 33 × 2 × 2 = 32on simplifie par 2 et par 3
  3. Résultat sous forme irréductible, puis écriture décimale32 = 1,5

23 × 94 = 32

Diviser par une fraction

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. L'inverse de c/d est d/c (avec c ≠ 0) :

ab ÷ cd = ab × dc

Exemple : diviser 5/8 par 15/4

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)
  1. On part du calcul58 ÷ 154
  2. Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse58 ÷ 154 = 58 × 415 = 5 × 48 × 15 = 5 × 42 × 4 × 3 × 5 = 16on simplifie par 5 et par 4
  3. Résultat sous forme irréductible (écriture décimale illimitée)16 ≈ 0,166667

58 ÷ 154 = 16

Une fraction de fractions, comme (2/3) / (4/9), se traite de la même façon : 2/3 × 9/4 = 3/2.

Enchaîner les opérations : les priorités

Les règles de priorité sont les mêmes qu'avec les entiers : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. Dans 2/3 + 1/4 × 6/5, on calcule d'abord le produit, 1/4 × 6/5 = 3/10, puis la somme : 2/3 + 3/10 = 20/30 + 9/30 = 29/30. La calculatrice de fractions accepte les parenthèses et les puissances, et montre l'ordre exact des calculs.

Calculer une fraction d'un nombre

Dans un énoncé, le mot « de » après une fraction signifie « multiplié par ». Les 3/4 de 60 € valent 3/4 × 60 = 45 €. Le calcul le plus rapide consiste souvent à diviser d'abord par le dénominateur, puis à multiplier par le numérateur : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45.

La même règle vaut pour une fraction de fraction : les 2/3 des 3/4 d'un gâteau représentent 2/3 × 3/4 = 1/2 du gâteau. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : 25 % d'une somme, ce sont ses 25/100, soit son quart. Le calcul de pourcentage repose entièrement sur ce lien.

Fractions, nombres décimaux et nombres rationnels

Pour passer d'une fraction à un nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur. Une fraction irréductible a une écriture décimale finie exactement quand son dénominateur n'a pas d'autre facteur premier que 2 et 5 : 3/8 = 0,375 et 7/20 = 0,35, mais 1/6 = 0,1666… ne s'arrête jamais. Dans ce cas, les décimales finissent toujours par se répéter : 1/7 = 0,142857 142857…

Dans l'autre sens, un décimal s'écrit comme une fraction décimale qu'on simplifie : 0,375 = 375/1000 = 3/8. Une écriture périodique se convertit aussi. Si x = 0,272727…, alors 100x = 27,2727… ; en soustrayant, 99x = 27, donc x = 27/99 = 3/11.

Tous les nombres qui s'écrivent comme une fraction d'entiers forment l'ensemble des rationnels, noté ℚ. Les ensembles s'emboîtent : entiers naturels ℕ, entiers relatifs ℤ, décimaux 𝔻, rationnels ℚ, réels ℝ. Certains réels ne sont pas des fractions : √2 et π sont irrationnels. Une équation à coefficients fractionnaires se résout en multipliant tout par un dénominateur commun : x/3 + 1/2 = 2 devient 2x + 3 = 12, soit x = 9/2, comme dans tout cours pour résoudre une équation.

Les autres nombres du dossier

Les fractions ouvrent sur les autres écritures des nombres travaillées au collège et au lycée. Chacune a son cours et son outil.

Racines carrées

La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Elle se combine avec les fractions : √4/9 = 2/3. Le cours sur la racine carrée montre comment simplifier √72 = 6√2 et calculer avec des radicaux.

Puissances

Une puissance d'une fraction se calcule terme à terme : (2/3)2 = 4/9. Un exposant négatif donne un inverse : 2−3 = 1/8. Toutes les règles sont réunies dans le cours sur les puissances et les exposants.

Notation scientifique

Pour les très grands et les très petits nombres, on écrit a × 10n avec 1 ≤ a < 10 : 0,00072 devient 7,2 × 10−4. La notation scientifique sert en physique, en chimie et dès qu'on doit estimer un ordre de grandeur.

Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro : |−3/4| = 3/4. Elle intervient dans les équations, les inéquations et les distances sur une droite graduée, comme l'explique le cours sur la valeur absolue.

Nombres complexes

Au lycée, l'ensemble ℂ prolonge ℝ avec un nombre i tel que i2 = −1. Les calculs sur la forme algébrique a + bi utilisent les mêmes règles que les fractions, notamment pour diviser : c'est l'objet du cours sur les nombres complexes.

Les erreurs fréquentes avec les fractions

  • Additionner les dénominateurs : 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Il faut un dénominateur commun.
  • Simplifier une somme : dans (2 + 5)/(2 + 7), on ne barre pas les 2. On ne simplifie que des facteurs d'un produit : (2 × 5)/(2 × 7) = 5/7.
  • Oublier d'inverser : diviser par 3/4, c'est multiplier par 4/3, pas par 3/4.
  • Multiplier un entier par les deux termes : 3 × 2/5 = 6/5, pas 6/15.
  • Le signe moins : 1 − 2/7 = 5/7, et −(3 − 1)/4 = −2/4 = −1/2 ; un signe devant un trait de fraction porte sur toute la fraction.
  • Un résultat non simplifié : 12/18 n'est pas une réponse finale, 2/3 l'est.

Pour vous exercer, générez une fiche d'exercices corrigés sur l'addition, la multiplication ou la simplification de fractions, puis comparez chaque étape de votre copie avec le solveur de maths.

Toutes les pages du dossier Fractions et nombres

Simplifier une fractionFraction irréductible, PGCD, algorithme d'Euclide et critères de divisibilité. Calculatrice de fractionsAdditions, soustractions, produits, quotients et priorités, étape par étape. Racine carréeCarrés parfaits, propriétés, simplification de √a et valeurs approchées. PuissancesRègles de calcul, exposants négatifs, puissances de 10. Notation scientifiqueÉcrire a × 10n, calculer et trouver un ordre de grandeur. Valeur absolueDistance à zéro, équations et inéquations avec |x|. Nombres complexesForme algébrique, conjugué, module et argument.

Questions fréquentes

Comment additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur ?

Cherchez un dénominateur commun, de préférence le plus petit multiple commun des deux dénominateurs. Transformez chaque fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre, puis additionnez les numérateurs en gardant le dénominateur commun. Exemple : 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12. Simplifiez le résultat si possible.

Comment simplifier une multiplication de fractions ?

Avant d'effectuer les produits, décomposez les numérateurs et les dénominateurs, puis barrez les facteurs communs, même s'ils appartiennent à deux fractions différentes. Pour 4/15 × 25/8, on simplifie 4 et 8 par 4, puis 25 et 15 par 5 : il reste (1 × 5)/(3 × 2) = 5/6. Les nombres restent petits et le résultat est directement irréductible.

Comment calculer une fraction d'un nombre ?

Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par la fraction. Les 3/4 de 60 valent 60 × 3/4. Le plus simple est souvent de diviser d'abord par le dénominateur, puis de multiplier par le numérateur : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45.

Comment transformer une fraction en nombre décimal ?

Divisez le numérateur par le dénominateur : 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375. Si la fraction irréductible a un dénominateur dont les seuls facteurs premiers sont 2 et 5, la division tombe juste. Sinon, l'écriture décimale est illimitée et périodique : 1/3 = 0,333… et 1/7 = 0,142857142857…

Comment savoir si deux fractions sont égales ?

Deux fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : a × d = b × c. Par exemple, 6/8 = 9/12 car 6 × 12 = 72 et 8 × 9 = 72. Vous pouvez aussi simplifier les deux fractions : elles sont égales si elles ont la même forme irréductible, ici 3/4.

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux entiers a/b, avec b non nul. Les entiers, les décimaux et toutes les fractions sont rationnels. L'ensemble des rationnels se note ℚ. Certains nombres ne sont pas rationnels, comme √2 ou π : on les appelle irrationnels.

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Mis à jour le 6 octobre 2026