Puissance mathématique : règles de calcul et formules
Une puissance mathématique note un produit de facteurs égaux : an = a × a × … × a, avec n facteurs. Par exemple, 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Saisissez une expression avec des puissances : l'outil applique la bonne règle et détaille le calcul.
Sommaire
Étapes de résolution
La méthode en bref
- On part de l’expression
- Même base : pour un produit, on additionne les exposants
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 2
- On part de l’expression25 × 23
- Même base : pour un produit, on additionne les exposants25 × 23 = 25 + 3 = 28an × am = an + m
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 228 = 256
25 × 23 = 28 = 256
Tapez l'exposant après le symbole ^ : 2^5 × 2^3, (3^2)^4, 7^6 ÷ 7^4 ou 10^-3. Mettez une base négative ou fractionnaire entre parenthèses, comme (-2)^3 ou (2/3)^2.
Définition et vocabulaire
Dans l'écriture an, qu'on lit « a puissance n » ou « a exposant n », le nombre a est la base et l'entier n l'exposant. L'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas la base : 34 = 81, pas 12.
| Écriture | Se lit | Valeur |
|---|---|---|
| a2 | a au carré | 52 = 25 |
| a3 | a au cube | 43 = 64 |
| a1 | a puissance 1 | a1 = a |
| a0 | a puissance 0 | 1, pour a ≠ 0 |
| a−n | a puissance moins n | 1/an, pour a ≠ 0 |
Pourquoi a0 = 1 ? Parce que an ÷ an vaut 1, et que la règle du quotient le transforme en an − n = a0. Pour que les règles restent vraies, on pose donc a0 = 1. Le même raisonnement justifie les exposants négatifs.
Le signe d'une puissance
Une puissance d'un nombre positif est positive. Pour une base négative, tout dépend de la parité de l'exposant : avec un exposant pair, le résultat est positif ; avec un exposant impair, il est négatif. Ainsi (−2)4 = 16 et (−2)3 = −8.
Les parenthèses changent tout : dans −24, l'exposant ne porte que sur 2, donc −24 = −16. La puissance est prioritaire sur le signe moins comme sur la multiplication : 3 × 22 = 3 × 4 = 12, et non 62 = 36.
Les règles de calcul des puissances
Pour tous nombres a et b non nuls et tous entiers relatifs n et m, les formules suivantes sont vraies. Elles ne s'appliquent qu'à des produits et des quotients.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | an × am = an + m | 25 × 23 = 28 |
| Quotient, même base | an ÷ am = an − m | 76 ÷ 74 = 72 |
| Puissance d'une puissance | (an)m = an × m | (32)4 = 38 |
| Produit, même exposant | an × bn = (a × b)n | 23 × 53 = 103 |
| Quotient, même exposant | (a/b)n = an/bn | (2/3)2 = 4/9 |
| Exposant négatif | a−n = 1/an | 2−3 = 1/8 |
| Exposant nul | a0 = 1 | 50 = 1 |
La première règle se comprend en comptant les facteurs : 5 facteurs égaux à 2, puis 3 autres, cela fait 8 facteurs. Le solveur rappelle la règle utilisée à chaque étape.
Exemple : produit de puissances de même base
La méthode en bref
- On part de l’expression
- Même base : pour un produit, on additionne les exposants
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 2
- On part de l’expression25 × 23
- Même base : pour un produit, on additionne les exposants25 × 23 = 25 + 3 = 28an × am = an + m
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 228 = 256
25 × 23 = 28 = 256
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : (32)4 contient 4 fois le bloc 3 × 3, soit 8 facteurs.
Exemple : puissance d’une puissance
La méthode en bref
- On part de l’expression
- Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants, (an)m = an × m
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 3
- On part de l’expression(32)4
- Puissance d’une puissance : on multiplie les exposants, (an)m = an × m(32)4 = 32 × 4 = 38
- On calcule la puissance : 8 facteurs égaux à 338 = 6 561
(32)4 = 38 = 6 561
Pour un quotient, les facteurs communs se simplifient : il reste 6 − 4 = 2 facteurs au numérateur.
Exemple : quotient de puissances de même base
La méthode en bref
- On part de l’expression
- Même base : pour un quotient, on soustrait les exposants
- On calcule la puissance : 2 facteurs égaux à 7
- On part de l’expression76 ÷ 74
- Même base : pour un quotient, on soustrait les exposants76 ÷ 74 = 76 − 4 = 72an ÷ am = an − m
- On calcule la puissance : 2 facteurs égaux à 772 = 7 × 7 = 49
76 ÷ 74 = 72 = 49
Exposants négatifs
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il indique un inverse. 5−2 = 1/52 = 1/25 = 0,04. Pour une fraction, on inverse la fraction puis on applique l'exposant positif : (2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4. Les règles du tableau restent valables avec des exposants négatifs : 105 × 10−2 = 103.
Les calculs de puissances de fractions se font aussi avec la calculatrice de fractions, qui garde un résultat exact.
Écrire un nombre sous forme de puissance
L'exercice inverse est fréquent : reconnaître une puissance dans un nombre. Un même nombre peut avoir plusieurs écritures : 64 = 26 = 43 = 82. Pour un inverse, l'exposant devient négatif : 1/27 = 1/33 = 3−3, et 0,0001 = 10−4. Retenez les premières puissances de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024) et de 3 (3, 9, 27, 81, 243) : elles reviennent dans les simplifications et dans la décomposition en facteurs premiers, où 360 = 23 × 32 × 5.
Les puissances de 10
Avec la base 10, le calcul devient une lecture : 10n s'écrit 1 suivi de n zéros, et 10−n s'écrit avec n chiffres après la virgule, le dernier étant 1.
Exemple : puissance négative de 10
- On part de l’expression10−3
- Puissance négative de 10 : 3 chiffres après la virgule, le dernier étant 110−3 = 1103 = 0,001
10−3 = 0,001
| Puissance | Écriture décimale | Préfixe |
|---|---|---|
| 109 | 1 000 000 000 | giga (G) |
| 106 | 1 000 000 | méga (M) |
| 103 | 1 000 | kilo (k) |
| 100 | 1 | — |
| 10−3 | 0,001 | milli (m) |
| 10−6 | 0,000 001 | micro (µ) |
| 10−9 | 0,000 000 001 | nano (n) |
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n, de n rangs vers la gauche. C'est la base de la notation scientifique, qui écrit tout nombre sous la forme a × 10n.
Les erreurs fréquentes
- Multiplier la base par l'exposant : 23 = 8, pas 6.
- Multiplier les exposants dans un produit : 25 × 23 = 28, pas 215. On multiplie les exposants seulement pour une puissance de puissance.
- Additionner des puissances : 23 + 22 = 12, pas 25.
- Mélanger des bases différentes : 23 × 32 = 8 × 9 = 72 ne se regroupe pas en une seule puissance.
- Développer un carré terme à terme : (a + b)2 ≠ a2 + b2. Il faut utiliser les identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
- Oublier les parenthèses d'une base négative : (−3)2 = 9, mais −32 = −9.
Au-delà des exposants entiers
La racine carrée prolonge les puissances : pour a ≥ 0, √a = a1/2, et les règles du tableau donnent (√a)2 = a1 = a. Le cours sur la racine carrée détaille ces calculs. Au lycée, les puissances servent aussi pour les suites géométriques, dont le terme général est un = u0 × qn (voir les suites numériques), et en informatique, où 210 = 1 024 apparaît dès qu'on écrit un nombre en binaire.
Pour vérifier un calcul, revenez à la définition sur un petit exemple : écrire 22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) montre tout de suite qu'il y a 5 facteurs. Le solveur de maths rédige ce type de justification à chaque étape.
Les puissances font partie du dossier sur les fractions et les nombres. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices sur les puissances avec son corrigé.
Questions fréquentes
Comment calculer une puissance ?
Multipliez la base par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant : 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Ce n'est pas 3 × 4. Si la base est négative, mettez-la entre parenthèses : (−3)4 = 81, alors que −34 = −81.
Que vaut un nombre à la puissance 0 ?
Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1 : 50 = 1, (−7)0 = 1. Cette convention rend les règles cohérentes : 53 ÷ 53 vaut 1, et la règle du quotient donne 53−3 = 50. L'expression 00 n'est pas définie au collège et au lycée.
Comment calculer une puissance négative ?
Un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance positive : a−n = 1/an, pour a non nul. Ainsi 2−3 = 1/23 = 1/8 = 0,125. Le résultat n'est pas négatif : c'est l'exposant qui l'est. Pour une fraction, on inverse puis on élève : (2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4.
Peut-on additionner des puissances ?
Il n'existe pas de règle pour la somme. On calcule chaque puissance, puis on additionne : 23 + 22 = 8 + 4 = 12, et non 25 = 32. On peut seulement factoriser des puissances de même base : 23 + 22 = 22(2 + 1) = 4 × 3.
Quelle est la différence entre (−2)⁴ et −2⁴ ?
Dans (−2)4, la base est −2 : (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16. Dans −24, l'exposant ne porte que sur 2, et le signe moins s'applique après : −(2 × 2 × 2 × 2) = −16. Sur une calculatrice, tapez toujours les parenthèses autour d'une base négative.
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Mis à jour le 6 octobre 2026