Arithmétique : cours complet, méthodes et outil de calcul

Sommaire

1. Qu'est-ce que l'arithmétique ?
2. Multiples et diviseurs
3. Les critères de divisibilité
4. La division euclidienne
5. Les nombres premiers
6. La décomposition en produit de facteurs premiers
7. Le PGCD
8. Le PPCM
9. Nombres premiers entre eux
10. Les bases de numération
11. Les cours du dossier arithmétique
12. Les erreurs fréquentes en arithmétique
13. Questions fréquentes

En mode « Fiche d'un entier », saisissez par exemple 360 : vous obtenez sa parité, le tableau des critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10, sa décomposition en facteurs premiers et tous ses diviseurs. En mode « Division euclidienne », entrez le dividende et le diviseur pour obtenir le quotient, le reste et la justification de l'encadrement.

Qu'est-ce que l'arithmétique ?

Le mot vient du grec arithmos, « nombre ». Au sens mathématique, l'arithmétique (ou théorie des nombres) étudie les entiers naturels 0, 1, 2, 3… et les entiers relatifs, ainsi que les relations de divisibilité entre eux. Les livres VII à IX des Éléments d'Euclide traitent déjà des nombres premiers et du plus grand commun diviseur ; les Arithmétiques de Diophante (Arithmetica en latin) portent, elles, sur des équations en nombres entiers ou rationnels.

Dans le langage courant, « arithmétique » désigne aussi le calcul élémentaire : additions, soustractions, multiplications, divisions. Les règles de ce calcul, comme les priorités opératoires, sont reprises dans la calculatrice en ligne avec étapes. Cette page traite du sens mathématique : les propriétés des entiers.

Suite arithmétique et moyenne arithmétique : d'autres sens de l'adjectif

L'adjectif apparaît dans deux notions voisines, qu'il ne faut pas confondre avec l'arithmétique des entiers. Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre r (la raison) pour passer d'un terme au suivant ; sa formule explicite est la suivante, étudiée dans le cours sur les suites numériques :

u_n = u₀ + nr

La moyenne arithmétique de n valeurs est leur somme divisée par n : c'est la moyenne usuelle, détaillée sur la page calcul de moyenne.

Multiples et diviseurs

Soient a et b deux entiers, avec b ≠ 0. On dit que b divise a s'il existe un entier k tel que a = b × k. Les phrases suivantes disent la même chose : « b divise a », « b est un diviseur de a », « a est un multiple de b », « a est divisible par b ». Au lycée, on note parfois b | a.

Ainsi, 36 = 4 × 9 : 4 et 9 sont des diviseurs de 36, et 36 est un multiple de 4 et de 9. En revanche, 36 n'est pas divisible par 8, car 36 = 8 × 4 + 4 et le reste n'est pas nul.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

On cherche les diviseurs par paires, en testant 1, 2, 3… tant que le carré du nombre testé ne dépasse pas l'entier étudié. Pour 36 : 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6. Les diviseurs de 36 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Inutile d'aller au-delà de 6 : un diviseur plus grand serait associé à un diviseur plus petit déjà trouvé. Un carré parfait comme 36 a toujours un nombre impair de diviseurs, puisque l'un d'eux (ici 6) est associé à lui-même.

Propriétés utiles

• 0 est un multiple de tout entier, et 1 divise tout entier.
• Si d divise a et b, il divise a + b, a − b et plus généralement ma + nb pour tous entiers m et n. Par exemple, 7 divise 700 et 14, donc 7 divise 714.
• Si a divise b et b divise c, alors a divise c : tout multiple de 12 est un multiple de 3.

Ces propriétés servent à démontrer. Exemple : la somme de trois entiers consécutifs n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) est toujours un multiple de 3. C'est ici que l'arithmétique rejoint le calcul littéral.

Les critères de divisibilité

Un critère de divisibilité permet de savoir si un nombre est divisible par un autre sans poser la division. Les plus utiles :

Pourquoi le critère de 9 fonctionne-t-il ? Parce que 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, etc. : chaque puissance de 10 dépasse un multiple de 9 de 1. Ainsi 471 = 4 × 99 + 7 × 9 + (4 + 7 + 1) : 471 et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division par 9, et aussi par 3. Le même raisonnement explique le critère de 3.

Attention aux raccourcis faux. Être divisible par 2 et par 4 ne garantit pas d'être divisible par 8 : 12 l'est par 2 et par 4, pas par 8. La règle « divisible par a et par b, donc par a × b » n'est vraie que si a et b sont premiers entre eux, comme 2 et 3 pour le critère de 6.

La division euclidienne

Effectuer la division euclidienne d'un entier naturel a (le dividende) par un entier naturel non nul b (le diviseur), c'est trouver les entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que :

a = b × q + r   avec   0 ≤ r < b

Le couple (q ; r) existe et il est unique. La condition sur le reste est essentielle : l'égalité 157 = 12 × 12 + 13 est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne de 157 par 12, car 13 ≥ 12. La bonne écriture est 157 = 12 × 13 + 1.

a est divisible par b si et seulement si le reste est nul. La division euclidienne sert aussi dans la vie courante : 100 jours après un lundi, on est un mercredi, car 100 = 7 × 14 + 2 et l'on avance de 14 semaines entières plus 2 jours. Elle est enfin le moteur de l'algorithme d'Euclide et des changements de base.

En terminale (option mathématiques expertes), la division s'étend aux dividendes négatifs, le reste restant positif : −17 = 5 × (−4) + 3. Deux entiers qui ont le même reste dans la division par n sont dits congrus modulo n ; on écrit par exemple 100 ≡ 2 (mod 7).

Les nombres premiers

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Le nombre 1 n'est pas premier, puisqu'il n'a qu'un seul diviseur, et 2 est le seul nombre premier pair.

Pour savoir si un entier n est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas n. Le cours sur les nombres premiers donne la liste jusqu'à 100, le crible d'Ératosthène, un test rédigé et la preuve qu'il en existe une infinité.

La décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre près : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Les nombres premiers sont en quelque sorte les briques avec lesquelles on construit tous les entiers.

360 = 2³ × 3² × 5

On l'obtient en divisant successivement par 2, 3, 5, 7… La décomposition donne immédiatement le nombre de diviseurs : on ajoute 1 à chaque exposant et l'on multiplie, soit (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 diviseurs pour 360. La méthode complète et ses usages sont détaillés dans le cours sur la décomposition en produit de facteurs premiers.

Le PGCD

Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise tous les deux. Par exemple, les diviseurs communs de 84 et 126 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42 : PGCD(84 ; 126) = 42. Les diviseurs communs sont exactement les diviseurs du PGCD.

La méthode la plus rapide est l'algorithme d'Euclide, fondé sur la division euclidienne : 126 = 84 × 1 + 42, puis 84 = 42 × 2 + 0, et le PGCD est le dernier reste non nul, 42. Le PGCD sert à rendre une fraction irréductible et à résoudre les problèmes de partage équitable. Les quatre méthodes et le calculateur sont sur la page calcul du PGCD.

Le PPCM

Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif qui est multiple des deux. Les multiples de 18 sont 18, 36, 54… et 36 est le premier qui soit aussi multiple de 12 : PPCM(12 ; 18) = 36. Le PPCM donne le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions et répond aux problèmes de cycles qui se rencontrent.

Pour deux entiers naturels non nuls, PGCD et PPCM sont liés par une relation simple, qui permet de calculer l'un à partir de l'autre :

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b

Avec 12 et 18 : 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Les méthodes sont détaillées sur la page calcul du PPCM.

Nombres premiers entre eux

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1 : leur seul diviseur commun positif est 1. C'est le cas de 35 et 64, alors qu'aucun des deux n'est premier (35 = 5 × 7 et 64 = 2⁶). Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, car un diviseur commun diviserait leur différence, 1.

Une fraction ab est irréductible exactement quand a et b sont premiers entre eux. En terminale, deux théorèmes complètent la notion :

• Théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. Pour 35 et 64 : 35 × 11 − 64 × 6 = 385 − 384 = 1.
• Théorème de Gauss : si a divise bc et que a est premier avec b, alors a divise c. Par exemple, si 7 divise 4n, alors 7 divise n, puisque 7 et 4 sont premiers entre eux.

Les bases de numération

Nous écrivons les nombres en base 10 : dans 2 024, chaque chiffre est multiplié par une puissance de 10 selon sa position. Rien n'impose ce choix. En base 2, ou binaire, on n'utilise que les chiffres 0 et 1 et des puissances de 2 : 45 s'écrit 101101, car 45 = 32 + 8 + 4 + 1. En base 16, ou hexadécimal, on utilise les chiffres 0 à 9 puis A à F : 45 s'écrit 2D.

Le passage d'une base à l'autre repose sur des divisions euclidiennes successives par la nouvelle base, en lisant les restes de bas en haut. Le convertisseur binaire, décimal et hexadécimal rédige ces étapes et traduit aussi un texte en binaire.

Les cours du dossier arithmétique

Les erreurs fréquentes en arithmétique

Pour vérifier un résultat d'arithmétique, multipliez : un diviseur, un quotient ou une décomposition se contrôle en refaisant le produit. 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.

Pour aller plus loin, le solveur mathématique rédige aussi les équations et les calculs de fractions, et la page pour simplifier une fraction applique le PGCD pas à pas.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que l'arithmétique en maths ?

L'arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres entiers et leurs propriétés : multiples et diviseurs, division euclidienne, nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM, congruences. Dans le langage courant, le mot désigne aussi le calcul élémentaire avec les quatre opérations.

Quelle est la différence entre arithmétique et algèbre ?

L'arithmétique travaille sur des nombres, en particulier les entiers : elle cherche s'ils se divisent, quels sont leurs facteurs premiers, leur PGCD. L'algèbre calcule avec des lettres qui représentent des nombres inconnus ou quelconques : développer, factoriser, résoudre des équations. Les deux se mêlent souvent, par exemple pour démontrer qu'une somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Quel est le synonyme d'arithmétique ?

Au sens savant, on parle de théorie des nombres. Au sens courant, « arithmétique » est proche de « calcul » : les opérations sur les nombres. L'adjectif a d'autres emplois précis : une suite arithmétique, une moyenne arithmétique.

Quelle est la formule d'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r vérifie u_n+1 = u_n + r, et son terme général est u_n = u₀ + nr. La somme de termes consécutifs vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5 050.

En quelle classe étudie-t-on l'arithmétique ?

Les multiples, les diviseurs, les critères de divisibilité et les nombres premiers sont étudiés au collège et revus en seconde. La division euclidienne dans ℤ, les congruences, le PGCD et les théorèmes de Bézout et de Gauss font partie de l'option mathématiques expertes de terminale.

À lire aussi

• Nombres premiersNombre premier : définition exacte, liste des nombres premiers jusqu'à 100, crible d'Ératosthène et test en ligne qui rédige chaque division.
• PGCDCalculez le PGCD de deux ou trois nombres avec toutes les étapes : définition, algorithme d'Euclide, soustractions, décomposition et problèmes corrigés.
• Décomposition en facteurs premiersDécomposez un nombre en produit de facteurs premiers avec les étapes : divisions successives, unicité, diviseurs, PGCD, PPCM, fractions et racines.
• Fractions et nombresFractions : vocabulaire, fractions égales, simplifier, comparer, additionner, multiplier, diviser, fraction d'un nombre, avec un solveur qui détaille tout.

Mis à jour le 6 octobre 2026