Tableau de variation d'une fonction : méthode et exemples

Sommaire

1. Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?
2. Le lien entre la dérivée et les variations
3. Méthode : dresser le tableau de variation en six étapes
4. Tableau de variation d'une fonction du second degré
5. Fonction avec une valeur interdite
6. Fonctions avec exponentielle ou logarithme
7. Les variations des fonctions de référence
8. Lire et exploiter un tableau de variation
9. Les erreurs fréquentes
10. Questions fréquentes

Saisissez l'expression de la fonction, par exemple x^3 - 3x, (x^2 + 1)/(x - 1) ou x ln(x). Le solveur rédige l'étude complète : ensemble de définition, dérivée, signe de f′ facteur par facteur, tableau de variations avec les limites, puis extremums et conclusion.

Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous réels a < b de I, f(a) ≤ f(b) : quand x augmente, f(x) augmente aussi. Elle est décroissante si f(a) ≥ f(b), strictement croissante ou décroissante si l'inégalité est stricte. Étudier les variations, c'est découper l'ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction garde le même sens.

Le tableau de variation présente ce découpage. La première ligne contient les valeurs de x qui séparent les intervalles, rangées dans l'ordre croissant, avec les bornes de l'ensemble de définition. La dernière ligne porte les flèches et, à leurs extrémités, les valeurs prises par la fonction (images ou limites). Entre les deux, on ajoute souvent la ligne du signe de f′(x), qui justifie les flèches. Voici le tableau de la fonction carré :

On y lit que f(x) = x² est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[, et qu'elle admet un minimum égal à 0, atteint en 0.

Le lien entre la dérivée et les variations

Le théorème qui permet de construire le tableau relie le signe de la dérivée au sens de variation. Si f est dérivable sur un intervalle I :

• si f′(x) > 0 sur I, sauf peut-être en quelques points isolés où elle s'annule, f est strictement croissante sur I ;
• si f′(x) < 0 sur I, dans les mêmes conditions, f est strictement décroissante sur I ;
• si f′(x) = 0 sur tout I, f est constante sur I.

Géométriquement, f′(x) est la pente de la tangente : quand toutes les tangentes montent, la courbe monte. Les formules pour calculer la dérivée sont réunies dans le cours sur les dérivées et leurs formules, et le calcul de dérivée en ligne les applique avec toutes les étapes.

Méthode : dresser le tableau de variation en six étapes

1. Ensemble de définition. Repérez les valeurs interdites : dénominateur nul, racine carrée d'un nombre négatif, logarithme d'un nombre négatif ou nul. Elles deviennent des bornes du tableau.
2. Dérivée. Calculez f′(x) avec les formules (produit, quotient, composée).
3. Factorisation. Écrivez f′(x) sous forme de produit ou de quotient de facteurs simples. Un carré, une exponentielle ou un dénominateur au carré sont positifs : notez-le.
4. Signe de f′. Étudiez le signe de chaque facteur, puis appliquez la règle des signes, au besoin dans un tableau de signes.
5. Flèches et extremums. Reportez le signe de f′ et tracez les flèches. Aux valeurs où f′ s'annule en changeant de signe, calculez l'image : c'est un maximum ou un minimum local.
6. Limites aux bornes. Aux bornes ouvertes (±∞, valeur interdite), calculez les limites et placez-les aux extrémités des flèches.

L'exemple suivant applique ces six étapes à une fonction polynôme de degré 3.

Les limites en ±∞ d'un polynôme sont celles de son terme de plus haut degré : ici, x³ tend vers −∞ en −∞ et vers +∞ en +∞. Le détail de ces calculs se trouve dans le cours sur le calcul de limites.

Tableau de variation d'une fonction du second degré

Pour un trinôme f(x) = ax² + bx + c, pas besoin de dérivée : la forme canonique donne directement les variations.

f(x) = a(x − α)² + β   avec   α = −b2a  et  β = f(α)

Si a > 0, la fonction est décroissante sur ]−∞ ; α], croissante sur [α ; +∞[, et admet un minimum β en α. Si a < 0, elle est croissante puis décroissante, avec un maximum β en α. Le point (α ; β) est le sommet de la parabole.

Exemple : f(x) = 2x² − 8x + 5. On a α = 8/4 = 2 et β = f(2) = 8 − 16 + 5 = −3, d'où la forme canonique f(x) = 2(x − 2)² − 3. Comme a = 2 > 0 :

La dérivée confirme le résultat : f′(x) = 4x − 8 est négative avant 2 et positive après. Pour g(x) = −x² + 4x − 3 = −(x − 2)² + 1, le coefficient −1 est négatif : g croît jusqu'à 2, où elle atteint son maximum 1, puis décroît. Le lien avec les racines et le discriminant est développé dans le cours sur l'équation du second degré.

Fonction avec une valeur interdite

Quand une valeur est exclue de l'ensemble de définition, on la place dans la ligne des x et l'on trace une double barre verticale dans la ligne de f : la fonction n'existe pas en ce point, et les flèches s'arrêtent de chaque côté sur les limites à gauche et à droite.

Attention à la conclusion : f est décroissante sur [1 − √2 ; 1[ et sur ]1 ; 1 + √2], mais pas sur leur réunion. Juste à gauche de 1, f tend vers −∞ ; juste à droite, elle tend vers +∞. Le minimum local 2 + 2√2 est d'ailleurs plus grand que le maximum local 2 − 2√2 : c'est possible, car ils sont situés sur deux branches séparées.

Fonctions avec exponentielle ou logarithme

Avec ln, l'ensemble de définition est limité aux valeurs qui rendent l'argument strictement positif. Pour x ln x, c'est ]0 ; +∞[, et la limite en 0 relève des croissances comparées.

Avec une exponentielle, un facteur e^u est toujours strictement positif et ne change donc jamais le signe. Pour f(x) = x e^−x, on trouve f′(x) = (1 − x)e^−x, du signe de 1 − x : f est croissante sur ]−∞ ; 1], décroissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum f(1) = 1/e. Ses limites sont −∞ en −∞ et 0 en +∞. Les propriétés utiles sont rappelées dans les cours sur la fonction exponentielle et sur le logarithme népérien.

Les variations des fonctions de référence

Ces résultats se citent sans démonstration et servent de briques pour les fonctions plus complexes.

Pour une fonction affine, tout se lit sur le coefficient directeur a, qui est aussi sa dérivée.

Lire et exploiter un tableau de variation

Un tableau de variation répond à beaucoup de questions sans nouveau calcul. Reprenons celui de f(x) = x³ − 3x : flèche montante de −∞ à 2, descendante de 2 à −2, montante de −2 à +∞.

Extremums et encadrements

Sur [−1 ; 1], f décroît de 2 à −2 : pour tout x de cet intervalle, −2 ≤ f(x) ≤ 2. En revanche, 2 n'est qu'un maximum local : sur ℝ, f prend des valeurs aussi grandes que l'on veut, puisqu'elle tend vers +∞.

Nombre de solutions d'une équation

Sur un intervalle où une fonction continue est strictement monotone, elle prend une fois et une seule chaque valeur comprise entre ses valeurs extrêmes (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires). Pour f(x) = 0, la valeur 0 est atteinte une fois sur ]−∞ ; −1], une fois sur [−1 ; 1] et une fois sur [1 ; +∞[ : trois solutions. C'est cohérent avec la factorisation x(x² − 3) = 0, de solutions −√3, 0 et √3. Pour f(x) = 3, seule la dernière branche dépasse 2 : une seule solution, supérieure à 1.

Comparer des images

Sur un intervalle où f est croissante, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents ; dans l'ordre inverse si elle est décroissante. Comme f est croissante sur [1 ; +∞[, on a f(1,5) < f(1,8) sans rien calculer.

Les erreurs fréquentes

• Confondre signe et variations : une fonction croissante peut être négative, comme x ↦ x − 10 sur [0 ; 5]. Le signe de f et celui de f′ sont deux questions différentes.
• Réunir des intervalles : 1/x est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, mais pas sur leur réunion, car −1 < 1 et pourtant f(−1) = −1 < f(1) = 1.
• Oublier la double barre d'une valeur interdite, ou y écrire une image qui n'existe pas.
• Prendre f′(a) = 0 pour un extremum sans vérifier le changement de signe : x³ a une dérivée nulle en 0, sans maximum ni minimum.
• Écrire la valeur de f′ au bout des flèches : on y place les images f(a), jamais f′(a).

Contrôlez toujours la cohérence : chaque flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande. Si ce n'est pas le cas, une image ou une limite est fausse. Le solveur mathématique permet de comparer votre tableau à une étude complète rédigée.

Questions fréquentes

Comment faire un tableau de variation ?

Déterminez l'ensemble de définition, calculez la dérivée f′(x), factorisez-la et étudiez son signe. Dans le tableau, placez une flèche montante là où f′ > 0 et descendante là où f′ < 0. Complétez avec les extremums (images des valeurs où f′ s'annule en changeant de signe) et les limites aux bornes de l'ensemble de définition.

Quelle est la différence entre un tableau de signes et un tableau de variation ?

Un tableau de signes indique si une expression est positive ou négative sur chaque intervalle (des signes + et −). Un tableau de variation indique si une fonction monte ou descend (des flèches), avec les valeurs atteintes. Les deux sont liés : le signe de f′ donne les variations de f, et la ligne du signe de f′ figure souvent dans le tableau de variation.

Comment faire un tableau de variation sans dérivée ?

C'est possible pour les fonctions de référence, dont les variations sont connues, et pour un trinôme du second degré grâce à la forme canonique a(x − α)² + β : si a > 0, la fonction décroît jusqu'à α puis croît, avec un minimum β ; si a < 0, c'est l'inverse, avec un maximum β. En seconde, on peut aussi lire les variations sur une courbe.

Comment lire un tableau de variation ?

Lisez-le de gauche à droite. Une flèche montante entre deux valeurs signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle ; une flèche descendante, décroissante. La valeur en haut d'un sommet de flèches est un maximum, celle en bas d'un creux un minimum. Le tableau permet de comparer des images, de trouver le nombre de solutions d'une équation f(x) = k et d'encadrer f(x).

Comment trouver le maximum d'une fonction ?

Cherchez les valeurs où la dérivée s'annule en passant du signe + au signe − : la fonction y atteint un maximum local, égal à l'image de cette valeur. Pour savoir s'il s'agit du maximum sur tout l'ensemble de définition, comparez-le aux autres maximums locaux et aux limites ou valeurs aux bornes, lues dans le tableau de variation.

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Mis à jour le 6 octobre 2026