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Nombre complexe : forme algébrique, module et argument

Un nombre complexe s'écrit z = a + ib, où a et b sont des réels et i un nombre tel que i2 = −1. On calcule avec lui comme avec une expression littérale, en remplaçant i2 par −1. Grâce à lui, toute équation du second degré a des solutions.

Sommaire
  1. Pourquoi les nombres complexes ?
  2. Forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire
  3. Opérations : somme, produit, quotient
  4. Le conjugué d'un nombre complexe
  5. Le plan complexe et le module
  6. L'argument d'un nombre complexe
  7. Forme trigonométrique et forme exponentielle
  8. Équations du second degré quand Δ est négatif
  9. Au programme de terminale
  10. Les erreurs fréquentes
  11. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
−2−1,5−1−0,50,511,52−2−1,5−1−0,50,511,52M

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 2 + i
  3. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1
  4. Au dénominateur : (a + bi)(a − bi) = a2 + b2
  5. On sépare partie réelle et partie imaginaire
  6. Forme algébrique
  7. Conjugué : on change le signe de la partie imaginaire
  8. Module : |z| = √(a2 + b2)
  9. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|
  10. Forme trigonométrique et forme exponentielle
  1. On part du calculz = 1 + i2 − i
  2. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 2 + i1 + i2 − i = (1 + i)(2 + i)(2 − i)(2 + i)
  3. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1(1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i2 = 2 + i + 2i − 1 = 1 + 3i
  4. Au dénominateur : (a + bi)(a − bi) = a2 + b2(2 − i)(2 + i) = 22 + (−1)2 = 5
  5. On sépare partie réelle et partie imaginaire1 + 3i5 = 15 + 35i
  6. Forme algébriquez = 15 + 35iRe(z) = 15 ; Im(z) = 35
  7. Conjugué : on change le signe de la partie imaginairez̄ = 15 − 35i
  8. Module : |z| = √(a2 + b2)|z| = √(15)2 + (35)2 = √25 = √105 ≈ 0,632
  9. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|cos θ = √1010 ; sin θ = 3√1010 donc θ ≈ 1,249 rad (≈ 71,6°)
  10. Forme trigonométrique et forme exponentiellez = √105(cos(1,249) + i sin(1,249)) = √105ei1,249argument approché

z = 15 + 35i

Tapez un calcul avec la lettre i : (2 + 3i)(1 - i), (1 + i)/(2 - i), (1 + i)^4 (puissance entière) ou 1 + i*sqrt(3). Le solveur donne la forme algébrique, le conjugué, le module, l'argument, la forme exponentielle et place le point dans le plan. Il résout aussi une équation en z, comme z^2 - 2z + 5 = 0.

Pourquoi les nombres complexes ?

Dans ℝ, l'équation x2 = −1 n'a pas de solution, car un carré n'est jamais négatif. On construit donc un ensemble plus grand, noté ℂ, qui contient les réels et un nombre i vérifiant i2 = −1. Dans ℂ, on garde toutes les règles de calcul habituelles : distributivité, identités remarquables, fractions. En revanche, on ne compare pas deux complexes : les symboles < et > n'y ont pas de sens.

Ces nombres sont apparus au XVIe siècle chez des algébristes italiens, qui résolvaient les équations du troisième degré. Ils sont aujourd'hui un outil courant en physique, en électricité (où l'on note souvent j au lieu de i, pour ne pas confondre avec l'intensité) et en traitement du signal. Ils complètent la famille des nombres présentée dans le dossier fractions et nombres.

Forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire

Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z = a + ib avec a et b réels : c'est sa forme algébrique. Le réel a est la partie réelle, notée Re(z) ; le réel b est la partie imaginaire, notée Im(z). Attention : la partie imaginaire est b, pas ib.

zRe(z)Im(z)Nature
3 − 2i3−2complexe quelconque
5i05imaginaire pur
−4−40réel
(1 + i√3)/21/2√3/2complexe quelconque

Deux complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. Cette propriété permet d'identifier les coefficients : a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0.

Les puissances de i se répètent tous les quatre exposants : i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, puis i5 = i. Pour i2026, on divise 2026 par 4 : 2026 = 4 × 506 + 2, donc i2026 = i2 = −1.

Opérations : somme, produit, quotient

On additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles : (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i. Pour multiplier, on développe par double distributivité, puis on remplace i2 par −1 :

(a + ib)(a′ + ib′) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b)

Exemple 1 : produit de deux complexes

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1
  3. Forme algébrique
  4. Conjugué : on change le signe de la partie imaginaire
  5. Module : |z| = √(a2 + b2)
  6. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|
  7. Forme trigonométrique et forme exponentielle
  1. On part du calculz = (2 + 3i)(1 − i)
  2. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i2 = 2 − 2i + 3i + 3 = 5 + i
  3. Forme algébriquez = 5 + iRe(z) = 5 ; Im(z) = 1
  4. Conjugué : on change le signe de la partie imaginairez̄ = 5 − i
  5. Module : |z| = √(a2 + b2)|z| = √52 + 12 = √26 ≈ 5,099
  6. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|cos θ = 5√2626 ; sin θ = √2626 donc θ ≈ 0,197 rad (≈ 11,3°)
  7. Forme trigonométrique et forme exponentiellez = √26(cos(0,197) + i sin(0,197)) = √26ei0,197argument approché

z = 5 + i

Les identités remarquables restent valables, avec un piège : (a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab, car (ib)2 = −b2. Par exemple, (1 + i)2 = 1 + 2i − 1 = 2i.

Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. C'est la même idée que pour supprimer une racine carrée au dénominateur : le produit (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 est un réel. Il reste ensuite des fractions ordinaires, à simplifier si possible.

Exemple 2 : quotient (conjugué du dénominateur)

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 2 + i
  3. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1
  4. Au dénominateur : (a + bi)(a − bi) = a2 + b2
  5. On sépare partie réelle et partie imaginaire
  6. Forme algébrique
  7. Conjugué : on change le signe de la partie imaginaire
  8. Module : |z| = √(a2 + b2)
  9. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|
  10. Forme trigonométrique et forme exponentielle
  1. On part du calculz = 1 + i2 − i
  2. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, 2 + i1 + i2 − i = (1 + i)(2 + i)(2 − i)(2 + i)
  3. On développe (double distributivité) en utilisant i2 = −1(1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i2 = 2 + i + 2i − 1 = 1 + 3i
  4. Au dénominateur : (a + bi)(a − bi) = a2 + b2(2 − i)(2 + i) = 22 + (−1)2 = 5
  5. On sépare partie réelle et partie imaginaire1 + 3i5 = 15 + 35i
  6. Forme algébriquez = 15 + 35iRe(z) = 15 ; Im(z) = 35
  7. Conjugué : on change le signe de la partie imaginairez̄ = 15 − 35i
  8. Module : |z| = √(a2 + b2)|z| = √(15)2 + (35)2 = √25 = √105 ≈ 0,632
  9. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|cos θ = √1010 ; sin θ = 3√1010 donc θ ≈ 1,249 rad (≈ 71,6°)
  10. Forme trigonométrique et forme exponentiellez = √105(cos(1,249) + i sin(1,249)) = √105ei1,249argument approché

z = 15 + 35i

Le conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib : on change le signe de la partie imaginaire. Dans le plan, le point d'affixe z̄ est le symétrique du point d'affixe z par rapport à l'axe des abscisses.

  • z + z̄ = 2 Re(z) et z − z̄ = 2i Im(z) ;
  • z × z̄ = a2 + b2, un réel positif ou nul ;
  • le conjugué d'une somme, d'un produit ou d'un quotient est la somme, le produit ou le quotient des conjugués ;
  • z est réel si et seulement si z̄ = z ; z est imaginaire pur si et seulement si z̄ = −z.

Le plan complexe et le module

Dans un repère orthonormé, on associe au complexe z = a + ib le point M(a ; b) : on dit que z est l'affixe de M, ou du vecteur OM. L'axe des abscisses porte les réels, l'axe des ordonnées les imaginaires purs.

Le module de z est la distance OM. Le théorème de Pythagore donne :

|z| = √a2 + b2 = √z z̄

Par exemple, |3 − 4i| = √9 + 16 = 5. Pour un réel, le module est sa valeur absolue, d'où la même notation. Le module est multiplicatif : |zz′| = |z| × |z′| et |z/z′| = |z|/|z′|. Il n'est pas additif : on a seulement l'inégalité triangulaire |z + z′| ≤ |z| + |z′|. En géométrie, si A et B ont pour affixes zA et zB, alors AB = |zB − zA|.

L'argument d'un nombre complexe

Pour z ≠ 0, un argument de z est une mesure θ de l'angle orienté entre l'axe des abscisses et le vecteur OM. Il est défini à un multiple de 2π près : on écrit arg(z) = θ [2π]. Le nombre 0 n'a pas d'argument. Un argument se calcule à partir du module :

cos θ = a|z|   et   sin θ = b|z|

On reconnaît ensuite l'angle grâce aux valeurs remarquables du cercle trigonométrique. Les deux conditions sont nécessaires : le cosinus seul ne distingue pas θ de −θ.

zModuleArgument (à 2π près)
110
i1π/2
−11π
−i1−π/2
1 + i√2π/4
−1 + i√23π/4
√3 + i2π/6
1 + i√32π/3

Méfiez-vous de la formule θ = arctan(b/a) : elle ne vaut que si a > 0. Pour −1 + i, elle donnerait −π/4, alors que le point est dans le deuxième quadrant et que l'argument est 3π/4. Les arguments transforment les produits en sommes : arg(zz′) = arg(z) + arg(z′), arg(zn) = n arg(z), arg(1/z) = −arg(z) et arg(z̄) = −arg(z), toujours à 2π près.

Forme trigonométrique et forme exponentielle

Avec r = |z| et θ un argument, on a a = r cos θ et b = r sin θ. D'où la forme trigonométrique, puis la forme exponentielle, qui repose sur la notation eiθ = cos θ + i sin θ :

z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ

Exemple 3 : module, argument et forme exponentielle

La méthode en bref

  1. On part du calcul
  2. Forme algébrique
  3. Conjugué : on change le signe de la partie imaginaire
  4. Module : |z| = √(a2 + b2)
  5. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|
  6. Forme trigonométrique et forme exponentielle
  1. On part du calculz = 1 + i √3
  2. Forme algébriquez = 1 + i√3Re(z) = 1 ; Im(z) = √3
  3. Conjugué : on change le signe de la partie imaginairez̄ = 1 − i√3
  4. Module : |z| = √(a2 + b2)|z| = √12 + (√3)2 = √4 = 2
  5. Argument θ : cos θ = a|z| et sin θ = b|z|cos θ = 12 ; sin θ = √32 donc θ = π3 [2π]
  6. Forme trigonométrique et forme exponentiellez = 2(cos(π3) + i sin(π3)) = 2eiπ/3

z = 1 + i√3

La forme exponentielle rend les produits et les puissances très simples, car elle suit les règles de la fonction exponentielle : reiθ × r′eiθ′ = rr′ei(θ + θ′). Ainsi, 1 + i = √2eiπ/4, donc (1 + i)4 = 4eiπ = −4. De même, (1 + i√3)6 = 26e2iπ = 64.

FormuleÉnoncé
Moivre(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Eulercos θ = (eiθ + e−iθ)/2 et sin θ = (eiθ − e−iθ)/(2i)
Cas particuliereiπ = −1, soit eiπ + 1 = 0

Les formules d'Euler servent à linéariser cos2 θ ou sin3 θ ; la formule de Moivre donne cos(2θ) et sin(2θ), comme en trigonométrie.

Équations du second degré quand Δ est négatif

Pour une équation du second degré az2 + bz + c = 0 à coefficients réels, on calcule le discriminant Δ = b2 − 4ac. Si Δ < 0, il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées :

z1 = −b − i√−Δ2a   et   z2 = −b + i√−Δ2a

Exemple 4 : équation du second degré dans ℂ

La méthode en bref

  1. On part de l’équation
  2. On identifie les coefficients
  3. On calcule le discriminant
  4. Δ < 0 : pas de solution réelle
  5. Dans ℂ : deux solutions complexes conjuguées
  6. On calcule √(−Δ) = √16 = 4 et on remplace
  1. On part de l’équationz2 − 2z + 5 = 0
  2. On identifie les coefficientsa = 1 ; b = −2 ; c = 5
  3. On calcule le discriminantΔ = (−2)2 − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
  4. Δ < 0 : pas de solution réellez2 − 2z + 5 ne s’annule pour aucun réel z
  5. Dans ℂ : deux solutions complexes conjuguéesz1 = −b − i√(−Δ)2a  et  z2 = −b + i√(−Δ)2a
  6. On calcule √(−Δ) = √16 = 4 et on remplacez1 = 2 − 4i2 = 1 − 2i  ;  z2 = 2 + 4i2 = 1 + 2i

S = {1 − 2i ; 1 + 2i}

En détail : Δ = −16, donc √−Δ = 4 et z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i. On vérifie que la somme des solutions vaut −b/a = 2 et leur produit (1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5 = c/a. Le trinôme se factorise alors dans ℂ : z2 − 2z + 5 = (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i). Plus simplement, z2 = −9 a pour solutions 3i et −3i. Pour un polynôme à coefficients réels, les racines non réelles vont toujours par paires conjuguées.

Au programme de terminale

En voie générale, les nombres complexes sont étudiés dans l'option mathématiques expertes de terminale. On y voit la forme algébrique, le conjugué, le module, l'argument, les formes trigonométrique et exponentielle, la résolution des équations du second degré à coefficients réels et des applications à la géométrie. Le solveur suit cette notation : arg(z) = θ [2π], conjugué z̄, forme reiθ. Vérifiez auprès de votre professeur les attendus précis de votre classe.

Les erreurs fréquentes

  • Écrire Im(z) = ib : la partie imaginaire est le réel b.
  • Oublier que i2 = −1 en développant : 3i × (−i) = −3i2 = 3.
  • Additionner les modules : |3 + 4i| = 5, pas 7, et en général |z + z′| ≠ |z| + |z′|.
  • Calculer l'argument avec le cosinus seul ou avec arctan(b/a) quand a est négatif.
  • Écrire √−4 : le symbole √ est réservé aux réels positifs. On dit plutôt que −4 a deux racines carrées complexes, 2i et −2i. La règle √a × √b = √ab ne s'étend pas aux négatifs.
  • Comparer deux complexes avec < ou > : seuls leurs modules se comparent.

Pour vérifier un calcul, contrôlez le module : |zz′| doit valoir |z| × |z′|. Vous pouvez aussi comparer chaque étape avec le solveur mathématique, et refaire les calculs de fractions avec la calculatrice de fractions.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib, où a et b sont des réels et i un nombre tel que i2 = −1. Le réel a est sa partie réelle, le réel b sa partie imaginaire. L'ensemble des nombres complexes se note ℂ ; il contient tous les nombres réels (cas b = 0).

Comment calculer l'argument d'un nombre complexe ?

Pour z = a + ib non nul, calculez d'abord le module |z| = √(a2 + b2). Un argument θ vérifie cos θ = a/|z| et sin θ = b/|z| : on reconnaît l'angle sur le cercle trigonométrique. Pour 1 + i√3, |z| = 2, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc arg(z) = π/3 à 2π près.

Comment calculer le module d'un nombre complexe ?

Le module de z = a + ib est |z| = √(a2 + b2). C'est la distance entre l'origine et le point d'affixe z. Par exemple, |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5. On a aussi |z|2 = z × z̄.

Comment diviser deux nombres complexes ?

Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le dénominateur devient le réel a2 + b2, et il ne reste qu'à séparer partie réelle et partie imaginaire. Ainsi, (1 + i)/(2 − i) = (1 + i)(2 + i)/5 = 1/5 + (3/5)i.

Quelles formules retenir sur les nombres complexes ?

Les essentielles : i2 = −1 ; conjugué de a + ib égal à a − ib ; module √(a2 + b2) ; z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ ; |zz′| = |z||z′| et arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) à 2π près ; solutions (−b ± i√(−Δ))/(2a) quand Δ < 0.

En quelle classe étudie-t-on les nombres complexes ?

En voie générale, ils sont au programme de l'option mathématiques expertes de terminale : forme algébrique, conjugué, module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, équations du second degré à coefficients réels. Ils sont ensuite très utilisés dans l'enseignement supérieur scientifique.

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Mis à jour le 6 octobre 2026