Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente et exemples

Sommaire

1. Repérer les côtés : hypoténuse, opposé, adjacent
2. Cosinus, sinus et tangente : SOH CAH TOA
3. Calculer une longueur
4. Calculer un angle
5. Les valeurs remarquables
6. Les relations entre cosinus, sinus et tangente
7. Au-delà du triangle rectangle
8. La trigonométrie dans le cercle
9. Rédiger sur une copie (type brevet)
10. Les erreurs fréquentes
11. Questions fréquentes

Le triangle ABC est rectangle en A. Pour une longueur, indiquez l'angle connu (en B ou en C) et sa mesure en degrés, le côté connu et sa longueur, puis le côté cherché. Pour un angle, entrez deux longueurs et laissez la troisième vide. Le calculateur choisit le bon rapport, justifie ce choix et donne la valeur exacte quand l'angle est remarquable.

Repérer les côtés : hypoténuse, opposé, adjacent

Tout commence par le nom des côtés, qui dépend de l'angle que l'on regarde. Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle ABC (de sommet B) :

• l'hypoténuse est [BC], le côté opposé à l'angle droit, le plus long ;
• le côté adjacent est [AB], le côté de l'angle droit qui touche l'angle B ;
• le côté opposé est [AC], le côté en face de l'angle B.

Pour l'autre angle aigu, ACB, les rôles s'échangent : [AC] devient adjacent et [AB] opposé. L'hypoténuse, elle, ne change jamais. Sur un brouillon, marquez l'angle étudié puis écrivez « H », « A » et « O » à côté des trois côtés : la plupart des erreurs viennent de cette étape.

Cosinus, sinus et tangente : SOH CAH TOA

cos B = ABBC    sin B = ACBC    tan B = ACAB

Ces rapports ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu sont des agrandissements l'un de l'autre, et leurs côtés sont proportionnels, comme dans le théorème de Thalès. Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus sont toujours compris strictement entre 0 et 1, puisque l'hypoténuse est le plus grand côté ; la tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive.

Calculer une longueur

1. Repérer l'angle connu, le côté connu et le côté cherché, et les nommer (H, A ou O).
2. Choisir le rapport qui contient ces deux côtés.
3. Écrire l'égalité et remplacer par les valeurs connues.
4. Isoler la longueur par un produit en croix, puis arrondir à la fin.

Si la longueur cherchée est au dénominateur, comme l'hypoténuse dans un sinus, on divise au lieu de multiplier : de sin 28° = 6/BC, on tire BC = 6 ÷ sin 28°.

Calculer un angle

Quand on connaît deux côtés, on calcule le rapport qui les relie, puis on retrouve l'angle avec la fonction réciproque de la calculatrice : arccos, arcsin ou arctan, notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹ (ou Acs, Asn, Atn). La calculatrice doit être en mode degré.

Une fois un angle aigu connu, l'autre s'en déduit sans calcul trigonométrique : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, leur somme vaut 90°. Ici, ACB ≈ 90° − 51,3° = 38,7°.

Application. Une route qui monte de 10 m pour 100 m parcourus à l'horizontale a une pente de 10 % : tan α = 10/100 = 0,1, d'où α = arctan 0,1 ≈ 5,7°. Dans l'autre sens, à 20 m d'un immeuble, on vise son sommet sous un angle de 35° : sa hauteur au-dessus de l'œil vaut 20 × tan 35° ≈ 14,0 m.

Les valeurs remarquables

Pour cinq angles, les valeurs sont exactes et se retiennent : elles viennent du demi-carré (45°) et du demi-triangle équilatéral (30° et 60°), calculés avec le théorème de Pythagore.

Astuce : la ligne des sinus se lit √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, et celle des cosinus dans l'ordre inverse. Quand l'angle est remarquable, le calculateur garde la valeur exacte :

Les relations entre cosinus, sinus et tangente

Trois relations, valables pour tout angle aigu x, permettent de passer d'un rapport à l'autre :

cos² x + sin² x = 1     tan x = sin xcos x

La première est le théorème de Pythagore divisé par le carré de l'hypoténuse : (AB/BC)² + (AC/BC)² = (AB² + AC²)/BC² = 1. Exemple : si cos x = 0,6 pour un angle aigu, alors sin² x = 1 − 0,36 = 0,64, donc sin x = 0,8 et tan x = 0,8/0,6 = 4/3.

La troisième relie les deux angles aigus : cos(90° − x) = sin x et sin(90° − x) = cos x. C'est pourquoi les lignes du cosinus et du sinus du tableau sont inversées.

Au-delà du triangle rectangle

Dans un triangle quelconque ABC, de côtés a = BC, b = AC et c = AB, deux formules prennent le relais :

• la formule d'Al-Kashi, qui généralise Pythagore : a² = b² + c² − 2bc cos A ;
• la loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C.

Si l'angle A est droit, cos A = 0 et Al-Kashi redonne exactement Pythagore. L'aire d'un triangle s'écrit aussi ½ bc sin A, une formule utile pour calculer une aire sans hauteur.

La trigonométrie dans le cercle

Au lycée, le cosinus et le sinus sont définis pour tous les nombres réels, et non plus seulement pour les angles aigus. On utilise pour cela le cercle trigonométrique, de rayon 1 : à chaque réel x correspond un point M du cercle, dont l'abscisse est cos x et l'ordonnée sin x. Les angles se mesurent alors en radians (180° = π rad), et cosinus et sinus peuvent devenir négatifs. Les formules d'addition, comme cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, prolongent ce cours. Le produit scalaire des vecteurs utilise lui aussi le cosinus de l'angle entre deux directions.

Rédiger sur une copie (type brevet)

La trigonométrie dans le triangle rectangle est au programme de 3^e. Une rédaction complète suit toujours le même ordre :

1. Citer l'hypothèse. « Dans le triangle ABC rectangle en A, [BC] est l'hypoténuse et [AB] le côté adjacent à l'angle ABC. »
2. Écrire la formule. « cos ABC = AB / BC. »
3. Remplacer. « cos 35° = AB / 9. »
4. Isoler et conclure. « AB = 9 × cos 35° ≈ 7,4 cm (arrondi au dixième). »

Précisez toujours l'arrondi demandé et gardez les valeurs exactes dans les calculs intermédiaires.

Les erreurs fréquentes

• Calculatrice en radians : vérifiez le mode degré avant tout calcul.
• Inverser opposé et adjacent : ils dépendent de l'angle choisi ; refaites le repérage pour chaque angle.
• Utiliser SOH CAH TOA hors d'un triangle rectangle.
• Confondre cos⁻¹ et 1/cos : cos⁻¹ désigne l'arccosinus, qui renvoie un angle.
• Arrondir le cosinus avant de chercher l'angle : gardez la fraction 5/8, pas 0,6.
• Trouver un cosinus ou un sinus supérieur à 1 : c'est le signe que l'hypoténuse a été mal placée.

Pour contrôler vos calculs, le solveur de maths gratuit rédige chaque étape, et la calculatrice scientifique en ligne donne les valeurs de cos, sin et tan. Ce cours fait partie du dossier géométrie et trigonométrie.

Questions fréquentes

Comment retenir les formules de trigonométrie ?

Avec le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA, que l'on prononce souvent « CAH SOH TOA » (« casse-toi ») : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Sinus = Opposé / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent. Les côtés opposé et adjacent se repèrent toujours par rapport à l'angle étudié.

Comment calculer un angle avec le cosinus ?

Calculez le quotient côté adjacent / hypoténuse, puis utilisez la touche arccos (notée cos⁻¹ ou Acs) de la calculatrice, réglée en degrés. Si l'adjacent mesure 5 cm et l'hypoténuse 8 cm, cos = 0,625 et l'angle mesure environ 51,3°.

Quand utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente ?

Repérez les deux côtés en jeu : celui que l'on connaît et celui que l'on cherche (ou les deux côtés connus si l'on cherche l'angle). Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente.

Peut-on utiliser la trigonométrie dans un triangle quelconque ?

Les formules SOH CAH TOA ne valent que dans un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, on utilise la formule d'Al-Kashi, a² = b² + c² − 2bc cos A, ou la loi des sinus, a/sin A = b/sin B = c/sin C. On peut aussi tracer une hauteur pour faire apparaître deux triangles rectangles.

Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat faux en trigonométrie ?

Le plus souvent, elle est en mode radian alors que l'angle est en degrés : cos(60) vaut alors environ −0,95 au lieu de 0,5. Vérifiez l'indicateur D ou DEG à l'écran. Au collège, les angles sont en degrés ; au lycée, avec le cercle trigonométrique, on travaille souvent en radians.

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Mis à jour le 6 octobre 2026