Matrice : cours complet sur les matrices et calculateur
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et en colonnes. On peut additionner des matrices, les multiplier entre elles, calculer leur déterminant et, si celui-ci est non nul, leur inverse : ces opérations servent à résoudre des systèmes d'équations, à étudier des suites et à modéliser des évolutions.
Sommaire
Étapes de résolution
La méthode en bref
- A est de taille 2 × 3 et B de taille 3 × 2 : le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, donc AB existe et sa taille est 2 × 2. Chaque coefficient est le produit d’une ligne de A par une colonne de B
- Ligne 1 de AB (ligne 1 de A multipliée par chaque colonne de B)
- Ligne 2 de AB (ligne 2 de A multipliée par chaque colonne de B)
- Le produit des matrices n’est pas commutatif : on calcule BA (ligne de B par colonne de A) et on compare
- A est de taille 2 × 3 et B de taille 3 × 2 : le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B, donc AB existe et sa taille est 2 × 2. Chaque coefficient est le produit d’une ligne de A par une colonne de Bcij = ai1b1j + … + ainbnj
- Ligne 1 de AB (ligne 1 de A multipliée par chaque colonne de B)c11 = 1 × 1 + 2 × 0 + 3 × 1 = 4
c12 = 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 1 = 5 - Ligne 2 de AB (ligne 2 de A multipliée par chaque colonne de B)c21 = 4 × 1 + 5 × 0 + 6 × 1 = 10
c22 = 4 × 0 + 5 × 1 + 6 × 1 = 11 - Le produit des matrices n’est pas commutatif : on calcule BA (ligne de B par colonne de A) et on compareBA = 123456579 ≠ AB
AB = 451011
Saisissez une matrice ligne par ligne : les coefficients séparés par des espaces, les lignes par « ; ». Ainsi 1 2 3 ; 4 5 6 désigne une matrice à 2 lignes et 3 colonnes. Fractions (1/3), décimaux (0,5) et nombres négatifs sont acceptés. Le calculateur effectue produit, puissance et transposée en valeurs exactes, jusqu'à la taille 4 × 4, et rédige chaque coefficient.
Définition d'une matrice
Une matrice de taille (ou de dimension) n × p est un tableau de n × p nombres disposés en n lignes et p colonnes, écrit entre parenthèses. Le nombre situé à la ligne i et à la colonne j est le coefficient aij : on donne toujours la ligne en premier.
A = 123456 taille 2 × 3, a12 = 2, a21 = 4
Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et les mêmes coefficients aux mêmes places. L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note ℳn,p(ℝ), et ℳn(ℝ) pour les matrices carrées de taille n.
Les matrices sont étudiées en terminale dans l'option mathématiques expertes, puis en algèbre linéaire dans l'enseignement supérieur. L'idée de départ est simple : ranger des données dans un tableau et calculer directement sur ces tableaux.
Les matrices particulières
| Nom | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Matrice carrée | Autant de lignes que de colonnes | 2−103 |
| Matrice ligne | Une seule ligne (taille 1 × p) | 40−2 |
| Matrice colonne | Une seule colonne (taille n × 1) | 5−1 |
| Matrice nulle | Tous les coefficients valent 0 | 0000 |
| Matrice diagonale | Carrée, coefficients nuls hors de la diagonale principale | 200−3 |
| Matrice identité In | Diagonale, avec des 1 sur la diagonale | 100010001 |
| Matrice triangulaire supérieure | Carrée, coefficients nuls sous la diagonale | 1402 |
| Matrice symétrique | Égale à sa transposée : aij = aji | 1773 |
La diagonale principale d'une matrice carrée est formée des coefficients a11, a22, …, ann. La matrice identité joue pour le produit le rôle du nombre 1, et la matrice nulle joue pour l'addition le rôle du nombre 0.
Les opérations sur les matrices
Somme, différence et produit par un réel
On additionne (ou soustrait) deux matrices de même taille coefficient par coefficient. On multiplie une matrice par un réel k en multipliant chacun de ses coefficients par k :
1−203 + 42−11/2 = 50−17/2 et 3 × 1−201/3 = 3−601
Ces opérations ont les mêmes propriétés qu'avec les nombres : la somme est commutative et associative, et k(A + B) = kA + kB.
La transposée
La transposée de A, notée tA, s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes : la ligne i de A devient la colonne i de tA. Une matrice de taille n × p a une transposée de taille p × n.
Exemple 2 : transposée d’une matrice 2 × 3.
- La transposée s’obtient en échangeant lignes et colonnes : la ligne i de A devient la colonne i de tA(tA)ij = aji
- A est de taille 2 × 3, donc tA est de taille 3 × 2tA = 142536
tA = 142536
Le produit de deux matrices
Le produit AB n'existe que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est de taille n × p et B de taille p × q, alors AB est de taille n × q. Chaque coefficient est le produit d'une ligne de A par une colonne de B :
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Par exemple, 1234 × 5678 = 19224350, car 1 × 5 + 2 × 7 = 19, 1 × 6 + 2 × 8 = 22, 3 × 5 + 4 × 7 = 43 et 3 × 6 + 4 × 8 = 50. La méthode détaillée, avec des matrices rectangulaires, est expliquée dans le cours de calcul des matrices.
Le produit n'est pas commutatif. Dans l'autre sens, 5678 × 1234 = 23343146 : AB ≠ BA. En revanche, le produit est associatif, (AB)C = A(BC), distributif sur l'addition, et AI = IA = A.
Autre différence avec les nombres : un produit de matrices non nulles peut être nul. Avec A = 0100, on trouve A2 = 0000. Et les identités remarquables ne s'appliquent plus telles quelles : (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2, qui ne vaut A2 + 2AB + B2 que si AB = BA.
Les puissances d'une matrice carrée
Pour une matrice carrée A, on note A2 = A × A, A3 = A2 × A, et par convention A0 = I. Les puissances d'une matrice diagonale se calculent directement : 2003n = 2n003n. Pour d'autres matrices, on conjecture une formule sur les premières puissances puis on la démontre par récurrence : par exemple 1101n = 1n01.
Exemple 1 : carré d’une matrice de transition (graphe probabiliste).
La méthode en bref
- On calcule les puissances successives : Ak+1 = Ak × A
- A2 = A × A : chaque coefficient est le produit d’une ligne de A par une colonne de A
- D’où
- On calcule les puissances successives : Ak+1 = Ak × AA1 = A = 12121545
- A2 = A × A : chaque coefficient est le produit d’une ligne de A par une colonne de Ac11 = 12 × 12 + 12 × 15 = 720 ; c12 = 12 × 12 + 12 × 45 = 1320
c21 = 15 × 12 + 45 × 15 = 1350 ; c22 = 15 × 12 + 45 × 45 = 3750 - D’oùA2 = 12121545 × 12121545 = 720132013503750
A2 = 720132013503750
Le déterminant d'une matrice carrée
Le déterminant est un nombre associé à toute matrice carrée. Pour une matrice 2 × 2, c'est le produit de la diagonale principale moins le produit de l'autre diagonale :
det abcd = abcd = ad − bc
Pour 371−4, on obtient 3 × (−4) − 7 × 1 = −19. Pour une matrice 3 × 3, on utilise la règle de Sarrus ou un développement selon une ligne. Sa propriété essentielle : une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Les méthodes et les propriétés sont détaillées dans le cours sur le déterminant d'une matrice.
L'inverse d'une matrice
Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice, notée A−1, telle que AA−1 = A−1A = I. Pour une matrice 2 × 2 de déterminant non nul :
A−1 = 1ad − bc d−b−ca
Avec A = 4726, le déterminant vaut 24 − 14 = 10, donc A−1 = 1106−7−24. En revanche, 1224 n'est pas inversible : son déterminant vaut 4 − 4 = 0, et sa deuxième ligne est le double de la première. L'inversion d'une matrice 3 × 3 (comatrice, méthode de Gauss-Jordan) est traitée dans le cours sur la matrice inverse.
À quoi servent les matrices ?
Résoudre un système d'équations linéaires
Le système 2x + y = 7 et x − y = −1 s'écrit AX = B avec
A = 211−1, X = xy, B = 7−1.
Comme det(A) = −2 − 1 = −3 ≠ 0, A est inversible et X = A−1B, avec A−1 = 1/31/31/3−2/3. On obtient x = 7/3 − 1/3 = 2 et y = 7/3 + 2/3 = 3. Vérification : 2 × 2 + 3 = 7 et 2 − 3 = −1. Pour deux inconnues, la substitution ou la combinaison vont souvent plus vite, comme le montre le cours sur les systèmes d'équations ; l'écriture matricielle devient indispensable dès qu'il y a beaucoup d'inconnues.
Étudier des suites et des évolutions
Quand deux suites dépendent l'une de l'autre, on les regroupe dans une matrice colonne Un et l'on écrit Un+1 = AUn, d'où Un = AnU0. Même la suite de Fibonacci s'écrit ainsi : Fn+1Fn = 1110FnFn−1. Le calcul de An remplace alors n itérations ; les rappels utiles sont dans le cours sur les suites numériques.
Dans un graphe probabiliste, la matrice de transition M = 0,50,50,20,8 donne les probabilités de passer d'un état à l'autre. Avec la convention usuelle d'un état écrit en matrice ligne, Pn+1 = PnM. Partant de P0 = (1 0), on obtient P2 = P0M2 = (0,35 0,65), la première ligne de M2. L'état stable P = (a b) vérifie P = PM et a + b = 1, soit a = 2/7 et b = 5/7.
Transformations géométriques et informatique
En géométrie, la rotation de centre O et d'angle θ envoie le point de coordonnées (x ; y) sur le point obtenu en multipliant la colonne xy par cos θ−sin θsin θcos θ. Enchaîner deux transformations revient à multiplier leurs matrices, ce qui explique l'usage intensif des matrices en infographie. Une image numérique en niveaux de gris est elle-même un tableau de nombres, donc une matrice.
Les cours du dossier matrices
Les erreurs fréquentes
- Multiplier coefficient par coefficient : le produit matriciel se fait ligne par colonne.
- Inverser l'ordre des facteurs : AB et BA sont en général différents, et l'un des deux peut ne pas exister.
- Additionner des matrices de tailles différentes : l'opération n'est pas définie.
- Élever chaque coefficient au carré pour calculer A2 : 12342 = 7101522, pas 14916.
- Écrire 1/A : on ne divise pas par une matrice, on multiplie par son inverse, du bon côté.
- Confondre a12 et a21 : le premier indice est toujours celui de la ligne.
Les calculs matriciels sont longs et une erreur de signe se propage partout. Faites-les contrôler par le solveur mathématique, qui rédige chaque coefficient en valeur exacte.
Les matrices prolongent les méthodes de résolution des équations et utilisent sans cesse le calcul sur les fractions. Pour s'entraîner sur les bases du calcul, les fiches d'exercices corrigés sont un bon point de départ.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une matrice en maths ?
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, rangés en n lignes et p colonnes ; on dit qu'elle est de taille n × p. Le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j se note aij. Les matrices servent à écrire et résoudre des systèmes d'équations, à décrire des transformations géométriques ou des évolutions entre plusieurs états.
Comment multiplier deux matrices ?
Le produit AB existe si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le coefficient de la ligne i et de la colonne j de AB s'obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B, terme à terme, puis en additionnant. Une matrice 2 × 3 multipliée par une matrice 3 × 2 donne une matrice 2 × 2.
Quand une matrice est-elle inversible ?
Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I, la matrice identité. C'est le cas si et seulement si son déterminant est non nul. Une matrice qui n'est pas carrée n'est jamais inversible.
Qu'est-ce qu'une matrice nulle ?
C'est une matrice dont tous les coefficients sont égaux à 0. Elle joue pour l'addition le rôle du nombre 0 : A + 0 = A. Attention, un produit de deux matrices non nulles peut être la matrice nulle, ce qui n'arrive jamais avec des nombres réels.
Le produit de matrices est-il commutatif ?
Non, en général AB ≠ BA. Avec A = (1 2 ; 3 4) et B = (5 6 ; 7 8), on trouve AB = (19 22 ; 43 50) mais BA = (23 34 ; 31 46). Parfois BA n'existe même pas alors que AB existe. L'ordre des facteurs doit donc toujours être respecté.
Comment calculer le déterminant d'une matrice 2 × 2 ?
Pour A = (a b ; c d), det(A) = ad − bc : produit de la diagonale principale moins produit de l'autre diagonale. Pour (3 7 ; 1 −4), det = 3 × (−4) − 7 × 1 = −19.
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Mis à jour le 6 octobre 2026