Déterminant matrice 2 × 2 et 3 × 3 : formules, méthodes et propriétés
Déterminant matrice : le déterminant d'une matrice carrée est un nombre, noté det(A), qui se calcule à partir de ses coefficients : pour une matrice 2 × 2, c'est ad − bc ; pour une matrice 3 × 3, on applique la règle de Sarrus ou un développement selon une ligne. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est différent de 0.
Sommaire
Étapes de résolution
La méthode en bref
- Règle de Sarrus : on additionne les produits des trois « diagonales » descendantes et on retranche ceux des trois diagonales montantes
- On calcule chaque produit
- Vérification par développement selon la première ligne (signes + − +)
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversible
- Règle de Sarrus : on additionne les produits des trois « diagonales » descendantes et on retranche ceux des trois diagonales montantesdet(A) = 2 × 0 × 5 + (−3) × (−1) × 1 + 1 × 2 × 4 − 1 × 0 × 1 − 2 × (−1) × 4 − (−3) × 2 × 5
- On calcule chaque produitdet(A) = 0 + 3 + 8 − 0 + 8 + 30 = 49
- Vérification par développement selon la première ligne (signes + − +)det(A) = 2 × 0−145 − (−3) × 2−115 + 1 × 2014 = 2 × 4 − (−3) × 11 + 1 × 8 = 49
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversibledet(A) = 49 ≠ 0
det(A) = 49 ≠ 0 donc A est inversible
Saisissez la matrice ligne par ligne, coefficients séparés par des espaces et lignes par « ; » : 2 −3 1 ; 2 0 −1 ; 1 4 5. Le calculateur traite les matrices 2 × 2, 3 × 3 et 4 × 4 en valeurs exactes. Il applique la formule ad − bc, la règle de Sarrus avec une vérification par développement, ou un développement selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, puis conclut sur l'inversibilité.
Définition et notation
Le déterminant n'existe que pour une matrice carrée. On le note det(A), ou bien on écrit les coefficients entre deux barres verticales, sans parenthèses :
det(A) = abcd
Pour une matrice 1 × 1, le déterminant est le coefficient lui-même. Pour les tailles supérieures, on se ramène toujours, par développement, à des déterminants plus petits. Le calcul du déterminant est la porte d'entrée vers l'inverse d'une matrice et la résolution des systèmes linéaires.
Déterminant d'une matrice 2 × 2
abcd = ad − bc
On multiplie les coefficients de la diagonale principale (de haut à gauche vers bas à droite), puis on retranche le produit des coefficients de l'autre diagonale.
Exemple 1 : déterminant d’une matrice 2 × 2.
- Pour une matrice 2 × 2, det(A) = ad − bc (produit de la diagonale moins produit de l’autre diagonale)det(A) = 371−4 = 3 × (−4) − 7 × 1 = −12 − 7 = −19
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversibledet(A) = −19 ≠ 0
det(A) = −19 ≠ 0 donc A est inversible
Interprétation géométrique. Si les colonnes de la matrice sont les coordonnées de deux vecteurs u et v du plan, la valeur absolue du déterminant est l'aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs. Pour u(3 ; 1) et v(1 ; 2), le déterminant vaut 3 × 2 − 1 × 1 = 5 : le parallélogramme a une aire de 5 unités d'aire. Un déterminant nul signifie que les deux vecteurs sont colinéaires : avec u(2 ; 3) et v(4 ; 6), on trouve 2 × 6 − 4 × 3 = 0.
Déterminant d'une matrice 3 × 3
La règle de Sarrus
Recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice. Additionnez les produits des trois diagonales qui descendent vers la droite, puis retranchez les produits des trois diagonales qui montent vers la droite :
abcdefghi = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Exemple 2 : déterminant d’une matrice 3 × 3 (règle de Sarrus).
La méthode en bref
- Règle de Sarrus : on additionne les produits des trois « diagonales » descendantes et on retranche ceux des trois diagonales montantes
- On calcule chaque produit
- Vérification par développement selon la première ligne (signes + − +)
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversible
- Règle de Sarrus : on additionne les produits des trois « diagonales » descendantes et on retranche ceux des trois diagonales montantesdet(A) = 1 × 5 × 10 + 2 × 6 × 7 + 3 × 4 × 8 − 3 × 5 × 7 − 1 × 6 × 8 − 2 × 4 × 10
- On calcule chaque produitdet(A) = 50 + 84 + 96 − 105 − 48 − 80 = −3
- Vérification par développement selon la première ligne (signes + − +)det(A) = 1 × 56810 − 2 × 46710 + 3 × 4578 = 1 × 2 − 2 × (−2) + 3 × (−3) = −3
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversibledet(A) = −3 ≠ 0
det(A) = −3 ≠ 0 donc A est inversible
La règle de Sarrus ne vaut que pour les matrices 3 × 3. L'appliquer à une matrice 4 × 4 donne un résultat faux : un déterminant 4 × 4 comporte 24 produits, et non 8.
Le développement selon une ligne ou une colonne
On choisit une ligne (ou une colonne). Chaque coefficient aij de cette ligne est multiplié par son cofacteur (−1)i+jMij, où le mineur Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j. On additionne les résultats. Les signes (−1)i+j alternent en damier :
+−+−+−+−+
Exemple avec la matrice proposée par défaut dans le calculateur, développée selon la deuxième ligne, qui contient un zéro (signes − + −) :
det = −2 × −3145 + 0 × (…) − (−1) × 2−314 = −2 × (−19) + 11 = 49
avec (−3) × 5 − 1 × 4 = −19 et 2 × 4 − (−3) × 1 = 11. Le terme en 0 disparaît : c'est pour cela qu'on choisit toujours la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros. La règle de Sarrus donne bien le même résultat : 0 + 3 + 8 − 0 + 8 + 30 = 49.
Déterminant d'une matrice 4 × 4 ou plus
Le développement selon une ligne ou une colonne fonctionne pour toutes les tailles : un déterminant 4 × 4 se ramène à quatre déterminants 3 × 3, moins s'il y a des zéros.
Exemple 3 : déterminant d’une matrice 4 × 4 (développement selon une colonne).
La méthode en bref
- On développe selon la colonne 2, qui contient 3 zéros (moins de calculs) : det(A) = Σ (−1)i+j aij × Mij, où Mij est le déterminant 3 × 3 obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j
- Terme a32 = 1 (signe −)
- On additionne les termes
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversible
- On développe selon la colonne 2, qui contient 3 zéros (moins de calculs) : det(A) = Σ (−1)i+j aij × Mij, où Mij est le déterminant 3 × 3 obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j
- Terme a32 = 1 (signe −)M32 = 12−1305150 = 0 + 10 − 15 − 0 − 25 − 0 = −30déterminant 3 × 3 calculé par la règle de Sarrus
- On additionne les termesdet(A) = −1 × (−30) = 30
- det(A) ≠ 0 : la matrice A est inversibledet(A) = 30 ≠ 0
det(A) = 30 ≠ 0 donc A est inversible
Pour les grandes matrices, on préfère la méthode du pivot de Gauss. On fait apparaître des zéros sous la diagonale par des opérations du type Li ← Li − kLj, qui ne changent pas le déterminant, puis on multiplie les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire obtenue. Avec la matrice de l'exemple 2 : L2 ← L2 − 4L1 et L3 ← L3 − 7L1 donnent les lignes (0 −3 −6) et (0 −6 −11), puis L3 ← L3 − 2L2 donne (0 0 1). Le déterminant vaut 1 × (−3) × 1 = −3, comme par Sarrus.
Les propriétés du déterminant
Ces propriétés évitent bien des calculs. A et B sont des matrices carrées de taille n, et k un réel.
| Propriété | Formule ou effet |
|---|---|
| Matrice identité | det(In) = 1 |
| Matrice triangulaire ou diagonale | Produit des coefficients diagonaux |
| Transposée | det(tA) = det(A) |
| Produit | det(AB) = det(A) × det(B) |
| Produit par un réel | det(kA) = kn det(A) |
| Inverse | det(A−1) = 1/det(A) |
| Échange de deux lignes | Le déterminant change de signe |
| Ligne multipliée par k | Le déterminant est multiplié par k |
| Ajout à une ligne d'un multiple d'une autre | Le déterminant ne change pas |
| Ligne nulle, ou deux lignes proportionnelles | Le déterminant est nul |
Comme det(tA) = det(A), tout ce qui vaut pour les lignes vaut aussi pour les colonnes. Vérifions la règle du produit avec A = 1234 et B = 5678 : det(A) = 4 − 6 = −2, det(B) = 40 − 42 = −2, et AB = 19224350 a pour déterminant 950 − 946 = 4 = (−2) × (−2).
Attention : le déterminant n'est pas additif, det(A + B) ≠ det(A) + det(B) en général, et pour une matrice 3 × 3, det(2A) = 8 det(A), pas 2 det(A).
Exemple d'utilisation : 123456789 = 0 sans calcul, car L3 − L2 = L2 − L1 = (3 3 3) : les lignes sont liées. Sarrus le confirme, 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0. Il suffit de remplacer le 9 par 10 pour obtenir un déterminant de −3.
Déterminant et inversibilité
Le résultat central est le suivant : une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ≠ 0. Dans ce cas, le système AX = B a une solution unique, X = A−1B. Si det(A) = 0, le système a soit aucune solution, soit une infinité.
Pour un système 2 × 2, les formules de Cramer donnent directement la solution. Pour 2x + y = 7 et x − y = −1, le déterminant du système vaut 2 × (−1) − 1 × 1 = −3. On remplace la colonne des x par le second membre pour obtenir x = 71−1−1/(−3) = −6/(−3) = 2, puis la colonne des y : y = 271−1/(−3) = −9/(−3) = 3. D'autres méthodes sont présentées dans le cours sur les systèmes d'équations.
Le déterminant intervient aussi dans la formule de l'inverse : A−1 = (1/det(A)) tCom(A), où Com(A) est la matrice des cofacteurs. On comprend pourquoi un déterminant nul empêche l'inversion : on ne peut pas diviser par 0.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer Sarrus à une matrice 4 × 4 : la règle n'est valable qu'en taille 3.
- Oublier les signes des cofacteurs : le damier + − + commence toujours par + en haut à gauche.
- Calculer ab − cd au lieu de ad − bc pour une matrice 2 × 2.
- Écrire det(kA) = k det(A) : c'est kn det(A).
- Perdre un signe moins dans un produit comme (−3) × 2 × 5 : écrivez les nombres négatifs entre parenthèses.
Un déterminant 3 × 3 compte six produits : une seule erreur de signe suffit à tout fausser. Pour vérifier, saisissez la matrice dans le solveur mathématique, qui calcule par Sarrus puis contrôle par développement.
Ce cours fait partie du dossier sur les matrices, qui présente aussi le calcul matriciel (somme, produit, puissance).
Questions fréquentes
Comment calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 ?
Utilisez la règle de Sarrus : recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice, additionnez les produits des trois diagonales descendantes et retranchez ceux des trois diagonales montantes. Pour (a b c ; d e f ; g h i), det = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi. On peut aussi développer selon une ligne ou une colonne.
Comment calculer le déterminant d'une matrice 2 × 2 ?
Pour la matrice (a b ; c d), le déterminant vaut ad − bc : produit de la diagonale principale moins produit de l'autre diagonale. Par exemple, pour (3 7 ; 1 −4), det = 3 × (−4) − 7 × 1 = −12 − 7 = −19.
À quoi sert le déterminant d'une matrice ?
Il indique si une matrice carrée est inversible (déterminant non nul) et donc si le système linéaire associé a une solution unique. Il mesure aussi un facteur d'aire ou de volume : la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs du plan est l'aire du parallélogramme qu'ils forment. Il intervient enfin dans les formules de l'inverse et de Cramer.
Que signifie un déterminant nul ?
Un déterminant nul signifie que la matrice n'est pas inversible : ses lignes (et ses colonnes) sont liées, par exemple l'une est combinaison des autres. Le système AX = B associé n'a alors pas de solution unique : il n'en a aucune ou une infinité.
Peut-on calculer le déterminant d'une matrice non carrée ?
Non, le déterminant n'est défini que pour les matrices carrées (2 × 2, 3 × 3, 4 × 4…). Pour une matrice rectangulaire, on étudie d'autres notions, comme le rang.
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Mis à jour le 6 octobre 2026