Décomposition en produit de facteurs premiers : méthode et exemples

Sommaire

1. Qu'est-ce qu'un produit de facteurs premiers ?
2. La méthode des divisions successives
3. L'arbre de décomposition
4. L'unicité : le théorème fondamental de l'arithmétique
5. À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
6. Les erreurs fréquentes
7. Questions fréquentes

Saisissez un entier supérieur ou égal à 2, avec ou sans espaces : 360, 2 310 ou 123 456. Le tableau des divisions se lit de haut en bas, comme sur une copie.

Qu'est-ce qu'un produit de facteurs premiers ?

Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13… Un produit de facteurs premiers est une multiplication dont tous les facteurs sont premiers. Ainsi :

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

L'écriture 60 = 4 × 15 est correcte, mais ce n'est pas une décomposition en facteurs premiers : 4 = 2 × 2 et 15 = 3 × 5 peuvent encore être décomposés. On regroupe les facteurs égaux avec des puissances et on les range par ordre croissant, ce qui rend les décompositions faciles à comparer.

La méthode des divisions successives

1. Diviser par le plus petit nombre premier possible. On commence par 2 tant que le nombre est pair, puis on passe à 3, 5, 7, 11… Les critères de divisibilité évitent de poser des divisions inutiles.
2. Recommencer avec le quotient. On note chaque diviseur premier dans une colonne, chaque quotient dans l'autre.
3. S'arrêter au quotient 1. Les diviseurs notés, multipliés entre eux, forment la décomposition.
4. Regrouper avec des puissances et vérifier en refaisant le produit.

Autre exemple, 1 260. Il est pair : 1 260 ÷ 2 = 630, encore pair : 630 ÷ 2 = 315. 315 est impair, mais 3 + 1 + 5 = 9 : 315 ÷ 3 = 105, puis 105 ÷ 3 = 35. 35 se termine par 5 : 35 ÷ 5 = 7, et 7 ÷ 7 = 1. Donc :

1 260 = 2² × 3² × 5 × 7

Vérification : 4 × 9 = 36, 36 × 5 = 180, 180 × 7 = 1 260.

Quand le quotient est un grand nombre premier

Il est inutile de tester tous les nombres premiers jusqu'au quotient. Dès que le carré du nombre premier testé dépasse le quotient restant, ce quotient est premier et la décomposition est finie. Pour 123 456, on divise six fois par 2 puis une fois par 3 et l'on obtient 643. Comme √643 ≈ 25,4, il suffit de tester 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 (643 est impair) : aucun ne divise 643, qui est donc premier, et 123 456 = 2⁶ × 3 × 643. Le test de primalité est expliqué dans le cours sur les nombres premiers.

L'arbre de décomposition

On peut aussi partir de n'importe quelle factorisation et la poursuivre jusqu'aux nombres premiers, en dessinant un arbre. Pour 360 : 360 = 36 × 10, puis 36 = 4 × 9 = 2 × 2 × 3 × 3 et 10 = 2 × 5. On rassemble les feuilles de l'arbre : 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. On retrouve exactement la décomposition obtenue par divisions successives.

Cette méthode est rapide quand on voit une factorisation évidente (un nombre qui se termine par 0 est divisible par 10), mais elle exige de bien vérifier que chaque feuille est un nombre premier.

L'unicité : le théorème fondamental de l'arithmétique

Que l'on passe par l'arbre ou par les divisions, le résultat est le même. Ce n'est pas un hasard : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique.

Théorème. Tout entier n ≥ 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

Cette unicité explique pourquoi 1 n'est pas considéré comme premier : sinon, on pourrait ajouter autant de facteurs 1 que l'on veut. Elle a une conséquence pratique : deux nombres sont égaux si et seulement s'ils ont la même décomposition, et un nombre premier qui divise un produit divise forcément l'un des facteurs.

La décomposition de 1 001 explique une curiosité : multiplier un nombre de trois chiffres par 1 001 le répète, par exemple 123 × 1 001 = 123 123. Tout nombre de la forme abcabc est donc divisible par 7, par 11 et par 13. Un nombre premier, lui, est sa propre décomposition :

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

Trouver et compter les diviseurs

Les diviseurs d'un nombre s'obtiennent en choisissant, pour chaque facteur premier, un exposant entre 0 et son exposant dans la décomposition. Si n = p^a × q^b × r^c, le nombre de diviseurs vaut :

(a + 1) × (b + 1) × (c + 1)

Pour 72 = 2³ × 3², il y a (3 + 1) × (2 + 1) = 12 diviseurs. Un tableau les donne tous, en croisant les puissances de 2 et de 3 :

Calculer un PGCD et un PPCM

Avec 360 = 2³ × 3² × 5 et 756 = 2² × 3³ × 7 :

• le PGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant : 2² × 3² = 36 ;
• le PPCM garde tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2³ × 3³ × 5 × 7 = 7 560.

On vérifie que 36 × 7 560 = 272 160 = 360 × 756.

Simplifier une fraction

On décompose numérateur et dénominateur, puis on barre les facteurs communs :

360756 = 2³ × 3² × 52² × 3³ × 7 = 2 × 53 × 7 = 1021

La fraction obtenue est irréductible, puisqu'il ne reste aucun facteur premier commun. La méthode est reprise sur la page pour simplifier une fraction.

Simplifier une racine, reconnaître un carré

Un entier est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition sont pairs : 2 025 = 3⁴ × 5², donc √2 025 = 3² × 5 = 45. De même, 1 728 = 2⁶ × 3³ est un cube, celui de 2² × 3 = 12, car ses exposants sont des multiples de 3.

Quand les exposants ne sont pas tous pairs, on sort les carrés de la racine carrée : 360 = 2² × 3² × 10, donc √360 = 2 × 3 × √10 = 6√10. Et pour obtenir un carré à partir de 360, le plus petit multiplicateur est 2 × 5 = 10 : 3 600 = 60².

Les erreurs fréquentes

• Laisser un facteur non premier : 360 = 2³ × 9 × 5 n'est pas fini, car 9 = 3².
• Écrire 1 dans la décomposition : 1 n'est pas premier, il n'y figure jamais.
• S'arrêter trop tôt : 91 semble premier, mais 91 = 7 × 13.
• Additionner au lieu de multiplier les exposants dans le nombre de diviseurs : pour 72, c'est (3 + 1) × (2 + 1) = 12, pas 3 + 2.
• Oublier un facteur en recopiant : refaites toujours le produit final pour retrouver le nombre de départ.

Pour aller vite, appliquez les critères de divisibilité avant chaque division : chiffre des unités pair pour 2, somme des chiffres pour 3 et 9, dernier chiffre 0 ou 5 pour 5. Ils sont rassemblés dans le cours d'arithmétique.

Le solveur mathématique gratuit permet de vérifier les calculs de fractions et d'équations qui s'appuient sur une décomposition.

Questions fréquentes

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

Divisez le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise (2, sinon 3, sinon 5, 7, 11…), puis recommencez avec le quotient, jusqu'à obtenir 1. Les diviseurs utilisés, multipliés entre eux, forment la décomposition. On regroupe les facteurs égaux avec des puissances : 360 = 2³ × 3² × 5.

Qu'est-ce qu'un produit de facteurs premiers ?

C'est une multiplication dont tous les facteurs sont des nombres premiers, comme 2 × 2 × 3 × 5, que l'on écrit 2² × 3 × 5. L'écriture 60 = 4 × 15 est un produit, mais pas un produit de facteurs premiers, car 4 et 15 ne sont pas premiers.

Que dit le théorème fondamental de l'arithmétique ?

Tout entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. Quelle que soit la méthode suivie, on obtient donc toujours la même décomposition.

Comment savoir quand la décomposition est terminée ?

Elle est terminée quand le dernier quotient vaut 1, ou dès que le quotient restant est un nombre premier. Pour le vérifier, il suffit de tester les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas ce quotient : si aucun ne le divise, il est premier.

Pourquoi 1 n'apparaît-il pas dans la décomposition ?

Parce que 1 n'est pas un nombre premier. S'il l'était, la décomposition ne serait plus unique : on pourrait écrire 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3, et ainsi de suite. Par ailleurs, 0 et 1 n'ont pas de décomposition en facteurs premiers.

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Mis à jour le 6 octobre 2026