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Fonction affine : définition, formule et représentation graphique

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux réels : a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Sa représentation graphique est une droite, qui monte si a > 0 et descend si a < 0.

Sommaire
  1. Définition d'une fonction affine
  2. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
  3. Représentation graphique : tracer la droite
  4. Déterminer une fonction affine à partir de deux points
  5. Sens de variation d'une fonction affine
  6. Signe d'une fonction affine
  7. Droites parallèles et intersection
  8. Des situations modélisées par une fonction affine
  9. Les erreurs fréquentes
  10. Questions fréquentes

Fonction affine f(x) = ax + b

Représentation graphique
−1,5−1−0,50,511,522,533,54−22468−0,5AB

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On cherche f(x) = ax + b avec f(1) = 3 et f(3) = 7
  2. Coefficient directeur
  3. Ordonnée à l’origine : A appartient à la droite, donc yA = axA + b
  4. Vérification avec B
  5. Expression de la fonction
  6. Tableau de valeurs
  7. Sens de variation
  8. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)
  1. On cherche f(x) = ax + b avec f(1) = 3 et f(3) = 7A(1 ; 3)  et  B(3 ; 7)
  2. Coefficient directeura = yB − yAxB − xA = 7 − 33 − 1 = 42 = 2
  3. Ordonnée à l’origine : A appartient à la droite, donc yA = axA + bb = 3 − 2 × 1 = 1
  4. Vérification avec Bf(3) = 2 × 3 + 1 = 7
  5. Expression de la fonctionf(x) = 2x + 1
  6. Tableau de valeurs
    x−2−10123
    f(x)−3−11357
  7. Sens de variationf est strictement croissante sur ℝ (a > 0)
  8. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)2x + 1 = 0 ⇔ x = −12

f(x) = 2x + 1

Choisissez ce que vous connaissez : deux points de la droite, les coefficients a et b, ou un point et le coefficient directeur. L'outil calcule l'expression de f, la vérifie, dresse un tableau de valeurs, donne le sens de variation et la racine, puis trace la droite. Les nombres décimaux s'écrivent avec une virgule (0,5) et les fractions avec une barre (1/3).

Définition d'une fonction affine

Une fonction f définie sur ℝ est affine s'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, f(x) = ax + b. Pour reconnaître a et b, mettez l'expression sous cette forme, en lisant les signes avec soin :

ExpressionAffine ?ab
3x − 2Oui3−2
5 − 2xOui−25
x4 + 1Oui141
(x + 1)2 − x2Oui, car elle vaut 2x + 121
−7Oui (constante)0−7
x2 + 1Non——
3x + 1Non (x au dénominateur)——

Pour savoir si une fonction est affine, il faut donc développer et réduire son expression : les techniques sont celles du cours pour développer et réduire. Une expression qui contient x2, 1/x ou √x après réduction n'est pas affine.

Deux cas particuliers : fonction linéaire et fonction constante

Si b = 0, la fonction f(x) = ax est linéaire : elle modélise la proportionnalité, et sa droite passe par l'origine. Un prix de 2,40 € le kilo donne p(x) = 2,4x ; les calculs se font aussi par produit en croix. Si a = 0, la fonction f(x) = b est constante, et sa droite est parallèle à l'axe des abscisses. Toute fonction linéaire et toute fonction constante sont donc des fonctions affines.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

L'ordonnée à l'origine b est l'image de 0 : f(0) = a × 0 + b = b. La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).

Le coefficient directeur a mesure la pente. Pour deux réels distincts x1 et x2, f(x2) − f(x1) = a(x2 − x1) : les accroissements de f(x) sont proportionnels à ceux de x, avec le coefficient a. Quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue, si a est négatif). D'où la formule :

a = f(x2) − f(x1)x2 − x1 = yB − yAxB − xA

Sur un graphique, on lit a en partant d'un point de la droite : on avance d'une unité vers la droite, et le déplacement vertical nécessaire pour revenir sur la droite vaut a. Le coefficient directeur est aussi la dérivée de la fonction : f′(x) = a pour tout x, ce qui fait de la fonction affine la plus simple des fonctions étudiées dans le cours sur les dérivées. Toute tangente à une courbe est d'ailleurs la droite d'une fonction affine, de coefficient directeur égal au nombre dérivé.

Représentation graphique : tracer la droite

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite non verticale, d'équation y = ax + b. Deux points suffisent pour la tracer. Pour f(x) = 2x + 1 : f(0) = 1 et f(2) = 5, on place (0 ; 1) et (2 ; 5) et on les relie. Un troisième point, (−1 ; −1), sert de contrôle.

Choisissez des abscisses qui donnent des calculs simples et des points assez éloignés l'un de l'autre, pour un tracé précis. Une droite verticale, d'équation x = c, ne représente aucune fonction : à l'abscisse c correspondraient une infinité d'images.

Étude de f(x) = −2x + 3

La méthode en bref

  1. Fonction affine de coefficient directeur a = −2 et d’ordonnée à l’origine b = 3
  2. Tableau de valeurs
  3. Sens de variation
  4. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)
  1. Fonction affine de coefficient directeur a = −2 et d’ordonnée à l’origine b = 3f(x) = −2x + 3
  2. Tableau de valeurs
    x−2−10123
    f(x)7531−1−3
  3. Sens de variationf est strictement décroissante sur ℝ (a < 0)
  4. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)−2x + 3 = 0 ⇔ x = 32

f(x) = −2x + 3

Déterminer une fonction affine à partir de deux points

C'est l'exercice le plus fréquent : on connaît deux points A et B de la droite, d'abscisses différentes, et l'on cherche a et b.

  1. Calculer a. a = (yB − yA)/(xB − xA), en gardant le même ordre en haut et en bas.
  2. Calculer b. A appartient à la droite, donc yA = axA + b, d'où b = yA − axA.
  3. Vérifier avec B. On doit retrouver f(xB) = yB.

Fonction affine passant par A(1 ; 3) et B(3 ; 7)

La méthode en bref

  1. On cherche f(x) = ax + b avec f(1) = 3 et f(3) = 7
  2. Coefficient directeur
  3. Ordonnée à l’origine : A appartient à la droite, donc yA = axA + b
  4. Vérification avec B
  5. Expression de la fonction
  6. Tableau de valeurs
  7. Sens de variation
  8. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)
  1. On cherche f(x) = ax + b avec f(1) = 3 et f(3) = 7A(1 ; 3)  et  B(3 ; 7)
  2. Coefficient directeura = yB − yAxB − xA = 7 − 33 − 1 = 42 = 2
  3. Ordonnée à l’origine : A appartient à la droite, donc yA = axA + bb = 3 − 2 × 1 = 1
  4. Vérification avec Bf(3) = 2 × 3 + 1 = 7
  5. Expression de la fonctionf(x) = 2x + 1
  6. Tableau de valeurs
    x−2−10123
    f(x)−3−11357
  7. Sens de variationf est strictement croissante sur ℝ (a > 0)
  8. Racine (intersection avec l’axe des abscisses)2x + 1 = 0 ⇔ x = −12

f(x) = 2x + 1

Autre exemple, avec des signes : pour A(−2 ; 7) et B(4 ; −2), a = (−2 − 7)/(4 − (−2)) = −9/6 = −3/2. Ensuite, b = 7 − (−3/2) × (−2) = 7 − 3 = 4. Donc f(x) = −1,5x + 4, et l'on vérifie que f(4) = −6 + 4 = −2. Avec un point et le coefficient directeur, seule la deuxième étape est nécessaire : pour a = 0,5 et A(2 ; 4), b = 4 − 0,5 × 2 = 3.

Sens de variation d'une fonction affine

Pour x1 < x2, la différence f(x2) − f(x1) = a(x2 − x1) a le signe de a. Donc :

  • si a > 0, f est strictement croissante sur ℝ ;
  • si a < 0, f est strictement décroissante sur ℝ ;
  • si a = 0, f est constante.

Pour a ≠ 0, le tableau de variation d'une fonction affine se réduit donc à une seule flèche, montante ou descendante, de −∞ à +∞ ou de +∞ à −∞.

Signe d'une fonction affine

Si a ≠ 0, ax + b s'annule pour x = −b/a, la solution d'une équation du premier degré. Elle est du signe de a à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche :

x−∞−b/a+∞
ax + bsigne de −a0signe de a

Pour −2x + 3, la racine est 3/2 et a = −2 < 0 : l'expression est positive sur ]−∞ ; 3/2[ et négative sur ]3/2 ; +∞[. Cette règle est la brique de base de tout tableau de signes et de la résolution des inéquations.

Droites parallèles et intersection

Deux droites d'équations y = ax + b et y = a′x + b′ sont parallèles si et seulement si a = a′. Sinon, elles se coupent en un point unique, que l'on trouve en résolvant f(x) = g(x). Pour f(x) = 2x + 1 et g(x) = −x + 7 : 3x = 6, donc x = 2 et y = 5. Le point d'intersection est (2 ; 5), solution du système d'équations formé par les deux droites.

Des situations modélisées par une fonction affine

Une fonction affine apparaît dès qu'une grandeur se compose d'une partie fixe et d'une partie proportionnelle.

Un tarif avec frais fixes. Une course de taxi coûte 4 € de prise en charge plus 1,50 € par kilomètre : f(x) = 1,5x + 4. Un trajet de 12 km coûte 1,5 × 12 + 4 = 22 €.

Comparer deux formules. Un cinéma propose la séance à 9 €, ou un abonnement de 30 € avec des séances à 5 €. Les coûts pour x séances sont A(x) = 9x (linéaire) et B(x) = 5x + 30 (affine). L'égalité 9x = 5x + 30 donne x = 7,5 : l'abonnement devient avantageux à partir de 8 séances (70 € contre 72 €).

Une conversion. La température en degrés Fahrenheit se calcule à partir des degrés Celsius par F = 1,8C + 32 : 100 °C correspondent à 212 °F.

La croissance affine ajoute la même quantité à chaque étape, comme une suite arithmétique ; la croissance d'une fonction exponentielle multiplie par le même facteur, ce qui la rend bien plus rapide à long terme.

Les erreurs fréquentes

  • Lire a et b dans le désordre : dans 5 − 2x, le coefficient directeur est −2, pas 5.
  • Inverser le quotient : a se calcule « différence des y sur différence des x », jamais l'inverse.
  • Mélanger l'ordre des points : (yB − yA)/(xA − xB) donne l'opposé du bon coefficient.
  • Croire qu'une fonction constante n'est pas affine : f(x) = 3 est affine, avec a = 0.
  • Confondre affine et linéaire : une fonction affine n'est proportionnelle que si b = 0.

Après avoir trouvé a et b, vérifiez toujours que les deux points donnés vérifient l'équation : c'est rapide et cela détecte presque toutes les erreurs de signe. Le solveur mathématique fait cette vérification à chaque calcul, et le calcul de dérivée confirme que la dérivée d'une fonction affine est constante.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une fonction affine ?

C'est une fonction définie sur ℝ par une formule du type f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres réels fixés. Le nombre a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine. Sa courbe est une droite. Exemples : f(x) = 3x − 2, g(x) = 5 − x, et même h(x) = 4 (cas a = 0).

Comment trouver une fonction affine avec deux points ?

Avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB), calculez d'abord a = (yB − yA)/(xB − xA). Remplacez ensuite les coordonnées de A dans yA = axA + b pour trouver b. Vérifiez enfin avec B. Pour A(1 ; 3) et B(3 ; 7) : a = 4/2 = 2, puis b = 3 − 2 = 1, donc f(x) = 2x + 1.

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière, d'ordonnée à l'origine nulle : f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité et sa droite passe par l'origine du repère. Une fonction affine quelconque, f(x) = ax + b avec b ≠ 0, n'est pas proportionnelle : sa droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; b).

Comment savoir si une fonction est affine ?

Développez et réduisez son expression : si elle s'écrit ax + b, la fonction est affine. Par exemple, (x + 1)2 − x2 = 2x + 1 est affine, alors que x2 + 1 et 1/x ne le sont pas. Graphiquement, la courbe doit être une droite non verticale. Dans un tableau de valeurs, des écarts égaux sur x donnent des écarts égaux sur f(x).

Comment tracer la représentation graphique d'une fonction affine ?

Une droite est déterminée par deux points. Calculez deux images, par exemple f(0) = b et f(2), placez les deux points et tracez la droite qui les relie. Pour contrôler, calculez une troisième image : le point doit être aligné avec les deux autres. On peut aussi partir de (0 ; b), avancer d'une unité vers la droite et monter de a unités.

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Mis à jour le 6 octobre 2026