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Polynôme : définition, degré, racines et factorisation

Un polynôme est une somme de termes de la forme axk, où a est un nombre et k un entier positif ou nul, comme P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6. Son degré est la plus grande puissance de x, ses racines les valeurs qui l'annulent. Saisissez un polynôme ci-dessous pour obtenir son degré, ses racines et sa forme factorisée.

Sommaire
  1. Définition et vocabulaire
  2. Forme réduite, degré et opérations
  3. Valeur d'un polynôme en un point
  4. Les racines d'un polynôme
  5. Factoriser un polynôme par (x − a)
  6. Les polynômes du second degré
  7. Fonctions polynômes de degré 3 et plus
  8. Les erreurs fréquentes
  9. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
0,511,522,533,54−5−4−3−2−112345123

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On écrit le polynôme
  2. Degré et coefficients
  3. On cherche une racine évidente de P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominant
  4. On divise P(x) par (x − 1) (méthode de Horner)
  5. Il reste le trinôme x2 − 5x + 6 : on cherche ses racines avec le discriminant
  6. On identifie les coefficients du trinôme
  7. On calcule le discriminant
  8. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  9. On remplace par les valeurs
  10. Factorisation dans ℝ
  1. On écrit le polynômeP(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
  2. Degré et coefficientsdeg P = 3 ; coefficient dominant 1 ; terme constant −6a3 = 1 ; a2 = −6 ; a1 = 11 ; a0 = −6
  3. On cherche une racine évidente de P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominantP(1) = 13 − 6 × 12 + 11 × 1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 01 est racine : P(x) est divisible par (x − 1)
  4. On divise P(x) par (x − 1) (méthode de Horner)
    1−611−6
    11−56
    1−560
    P(x) = (x − 1)(x2 − 5x + 6)    dernière ligne : coefficients du quotient, puis le reste 0
  5. Il reste le trinôme x2 − 5x + 6 : on cherche ses racines avec le discriminant
  6. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = −5 ; c = 6
  7. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
  8. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  9. On remplace par les valeursx1 = 5 − 12 = 2  ;  x2 = 5 + 12 = 3√1 = 1
  10. Factorisation dans ℝP(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

racines : 1 ; 2 ; 3

Tapez le polynôme avec ^ pour les puissances, par exemple x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Ajoutez ; x = 2 pour calculer aussi P(2). L'outil cherche les racines évidentes, factorise par division et termine avec le discriminant quand il reste un trinôme.

Définition et vocabulaire

Un polynôme de degré n s'écrit, une fois réduit et ordonné :

P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0   avec an ≠ 0

  • Les nombres a0, a1, …, an sont les coefficients.
  • Chaque terme akxk est un monôme.
  • an est le coefficient dominant et a0 le terme constant.
  • n, la plus grande puissance de coefficient non nul, est le degré, noté deg P.

Pour P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 1 : degré 3, coefficient dominant 2, terme constant 1. Un polynôme de degré 1 est une expression affine ax + b, un polynôme de degré 2 un trinôme ax2 + bx + c. Un nombre non nul est un polynôme de degré 0. Le polynôme nul, dont tous les coefficients sont nuls, n'a pas de degré (certains ouvrages lui attribuent par convention le degré −∞).

ExpressionPolynôme ?Pourquoi
5x4 − x + 7oui, degré 4puissances entières positives
(x + 1)2oui, degré 2se développe en x2 + 2x + 1
x/3 − √2oui, degré 1les coefficients peuvent être des fractions ou des irrationnels
1/x + xnon1/x = x−1, puissance négative
√x + 1nonracine de la variable

Forme réduite, degré et opérations

Un polynôme donné sous forme de produits ou de parenthèses se ramène toujours à sa forme réduite et ordonnée en le développant : (x + 1)(x − 2) + 3 = x2 − x + 1. Les règles sont celles du cours pour développer et réduire une expression. Deux polynômes sont égaux pour tout x si et seulement si leurs coefficients sont égaux un à un : c'est le principe de l'identification.

Le degré se calcule toujours après réduction : (x + 1)2 − x2 = 2x + 1 est de degré 1. Pour deux polynômes non nuls P et Q :

  • deg(PQ) = deg P + deg Q : (x2 + 1)(x − 3) est de degré 3 ;
  • deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q), avec une inégalité stricte possible quand les termes dominants s'annulent : (x2 + x) + (−x2 + 1) = x + 1.

Valeur d'un polynôme en un point

Pour calculer P(a), on remplace x par a en respectant les priorités. Avec P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 1, on trouve P(2) = 16 − 4 − 4 + 1 = 9. Le schéma de Horner donne le même résultat avec moins de calculs, en écrivant P(x) = ((2x − 1)x − 2)x + 1 : 2 × 2 − 1 = 3, puis 3 × 2 − 2 = 4, puis 4 × 2 + 1 = 9.

Exemple 3 : valeur en un point et racine fractionnaire

La méthode en bref

  1. On écrit le polynôme
  2. Degré et coefficients
  3. Valeur en x = 2 : on remplace x par 2
  4. On cherche une racine évidente de P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 1 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominant
  5. On divise P(x) par (x + 1) (méthode de Horner)
  6. Il reste le trinôme 2x2 − 3x + 1 : on cherche ses racines avec le discriminant
  7. On identifie les coefficients du trinôme
  8. On calcule le discriminant
  9. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  10. On remplace par les valeurs
  11. Factorisation dans ℝ
  1. On écrit le polynômeP(x) = 2x3 − x2 − 2x + 1
  2. Degré et coefficientsdeg P = 3 ; coefficient dominant 2 ; terme constant 1a3 = 2 ; a2 = −1 ; a1 = −2 ; a0 = 1
  3. Valeur en x = 2 : on remplace x par 2P(2) = 2 × 23 − 22 − 2 × 2 + 1 = 16 − 4 − 4 + 1 = 9
  4. On cherche une racine évidente de P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 1 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominantP(−1) = 2 × (−1)3 − (−1)2 − 2 × (−1) + 1 = −2 − 1 + 2 + 1 = 0−1 est racine : P(x) est divisible par (x + 1)
  5. On divise P(x) par (x + 1) (méthode de Horner)
    2−1−21
    −1−23−1
    2−310
    P(x) = (x + 1)(2x2 − 3x + 1)    dernière ligne : coefficients du quotient, puis le reste 0
  6. Il reste le trinôme 2x2 − 3x + 1 : on cherche ses racines avec le discriminant
  7. On identifie les coefficients du trinômea = 2 ; b = −3 ; c = 1
  8. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 × 2 × 1 = 9 − 8 = 1
  9. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  10. On remplace par les valeursx1 = 3 − 14 = 12  ;  x2 = 3 + 14 = 1√1 = 1
  11. Factorisation dans ℝP(x) = (x + 1)(2x − 1)(x − 1)

P(x) = (x + 1)(2x − 1)(x − 1)

Les racines d'un polynôme

Un nombre a est une racine de P si P(a) = 0. Les racines sont donc les solutions de l'équation P(x) = 0, et les abscisses des points où la courbe de P coupe l'axe des abscisses. Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines réelles ; il peut n'en avoir aucune, comme x2 + 1.

Pour trouver une racine sans formule, on teste des valeurs simples : 0, 1, −1, 2, −2. Quand les coefficients sont entiers, une racine rationnelle p/q (fraction irréductible) a forcément un numérateur p qui divise le terme constant et un dénominateur q qui divise le coefficient dominant. Pour 2x3 − x2 − 2x + 1, les seules candidates sont ±1 et ±1/2 : trois d'entre elles, −1, 1/2 et 1, sont racines.

Factoriser un polynôme par (x − a)

Le résultat central est le suivant : a est racine de P si et seulement si P se factorise par (x − a).

P(a) = 0 ⇔ P(x) = (x − a)Q(x), avec deg Q = deg P − 1

Plus généralement, la division euclidienne de P par (x − a) donne P(x) = (x − a)Q(x) + R, où le reste R est un nombre égal à P(a). Le reste est nul exactement quand a est racine.

Trouver Q par identification

Pour P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6, on a P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0. On cherche donc Q(x) = x2 + bx + c tel que P(x) = (x − 1)(x2 + bx + c). En développant, (x − 1)(x2 + bx + c) = x3 + (b − 1)x2 + (c − b)x − c. On identifie : b − 1 = −6 donne b = −5, et −c = −6 donne c = 6 ; on contrôle avec c − b = 11. Donc P(x) = (x − 1)(x2 − 5x + 6).

Trouver Q avec le tableau de Horner

On écrit les coefficients de P, on abaisse le premier, puis on multiplie par la racine 1 et on ajoute au coefficient suivant :

x3x2xconstante
Coefficients de P1−611−6
Produits par 11−56
Sommes1−560 (reste)

La dernière ligne donne les coefficients de Q(x) = x2 − 5x + 6 et le reste 0. Ce trinôme a pour racines 2 et 3, d'où la factorisation complète :

Exemple 1 : racines évidentes et factorisation

La méthode en bref

  1. On écrit le polynôme
  2. Degré et coefficients
  3. On cherche une racine évidente de P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominant
  4. On divise P(x) par (x − 1) (méthode de Horner)
  5. Il reste le trinôme x2 − 5x + 6 : on cherche ses racines avec le discriminant
  6. On identifie les coefficients du trinôme
  7. On calcule le discriminant
  8. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  9. On remplace par les valeurs
  10. Factorisation dans ℝ
  1. On écrit le polynômeP(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6
  2. Degré et coefficientsdeg P = 3 ; coefficient dominant 1 ; terme constant −6a3 = 1 ; a2 = −6 ; a1 = 11 ; a0 = −6
  3. On cherche une racine évidente de P(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 parmi les quotients des diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominantP(1) = 13 − 6 × 12 + 11 × 1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 01 est racine : P(x) est divisible par (x − 1)
  4. On divise P(x) par (x − 1) (méthode de Horner)
    1−611−6
    11−56
    1−560
    P(x) = (x − 1)(x2 − 5x + 6)    dernière ligne : coefficients du quotient, puis le reste 0
  5. Il reste le trinôme x2 − 5x + 6 : on cherche ses racines avec le discriminant
  6. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = −5 ; c = 6
  7. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1
  8. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  9. On remplace par les valeursx1 = 5 − 12 = 2  ;  x2 = 5 + 12 = 3√1 = 1
  10. Factorisation dans ℝP(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Les racines ne sont pas toujours entières. Quand il reste un trinôme de discriminant positif mais non carré, elles s'écrivent avec une racine carrée :

Exemple 2 : racines irrationnelles

La méthode en bref

  1. On écrit le polynôme
  2. Degré et coefficients
  3. Le terme constant est nul : on factorise par x
  4. Il reste le trinôme x2 − 2 : on cherche ses racines avec le discriminant
  5. On identifie les coefficients du trinôme
  6. On calcule le discriminant
  7. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réelles
  8. On simplifie la racine du discriminant
  9. On remplace et on simplifie
  10. Factorisation dans ℝ
  1. On écrit le polynômeP(x) = x3 − 2x
  2. Degré et coefficientsdeg P = 3 ; coefficient dominant 1 ; terme constant 0a3 = 1 ; a2 = 0 ; a1 = −2 ; a0 = 0
  3. Le terme constant est nul : on factorise par xP(x) = x(x2 − 2)x = 0 est donc racine
  4. Il reste le trinôme x2 − 2 : on cherche ses racines avec le discriminant
  5. On identifie les coefficients du trinômea = 1 ; b = 0 ; c = −2
  6. On calcule le discriminantΔ = b2 − 4ac = 02 − 4 × 1 × (−2) = 0 + 8 = 8
  7. Δ > 0 : l’équation admet deux solutions réellesx1 = −b − √Δ2a  et  x2 = −b + √Δ2a
  8. On simplifie la racine du discriminant√Δ = √8 = 2√28 = 4 × 2
  9. On remplace et on simplifiex1 = −√2 ≈ −1,414  ;  x2 = √2 ≈ 1,414
  10. Factorisation dans ℝP(x) = x(x + √2)(x − √2)

P(x) = x(x + √2)(x − √2)

Pour les expressions qui ne sont pas encore sous forme de polynôme réduit, les autres méthodes (facteur commun, identités) sont dans le cours pour factoriser une expression. Les identités remarquables de degré 3 donnent aussi des factorisations directes, comme x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).

Les polynômes du second degré

Le cas P(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) se traite entièrement par le calcul du discriminant Δ = b2 − 4ac : deux racines si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, aucune racine réelle si Δ < 0. La résolution complète, la forme canonique et les cas particuliers sont expliqués dans le cours sur l'équation du second degré.

La fonction polynôme de degré 2 f(x) = ax2 + bx + c a pour courbe une parabole de sommet (α ; β), avec α = −b/(2a) et β = f(α). Pour f(x) = 2x2 − 4x − 6 : α = 4/4 = 1 et β = 2 − 4 − 6 = −8. Comme a = 2 > 0, le tableau de variation est :

x−∞1+∞
f(x)↘ décroissante−8 (minimum)↗ croissante

Si a < 0, les flèches s'inversent et β est un maximum.

Fonctions polynômes de degré 3 et plus

Une fonction polynôme est définie, continue et dérivable sur ℝ. Sa dérivée se calcule terme à terme avec (xn)′ = nxn−1 et, pour un polynôme non constant, c'est un polynôme de degré inférieur d'une unité. Pour f(x) = x3 − 3x, on obtient f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée est positive en dehors de [−1 ; 1] et négative entre −1 et 1 : f croît jusqu'à f(−1) = 2, décroît jusqu'à f(1) = −2, puis croît de nouveau. La méthode générale est détaillée dans le cours sur le tableau de variation.

En l'infini, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré : −2x3 + x tend vers −∞ quand x tend vers +∞, comme −2x3.

Les erreurs fréquentes

  • Lire le degré avant de réduire : (x + 1)2 − x2 est de degré 1, pas 2.
  • Confondre racine et terme constant : P(0) est le terme constant ; une racine est une valeur où P s'annule.
  • Oublier le coefficient dominant dans la forme factorisée : 2x3 − x2 − 2x + 1 = 2(x + 1)(x − 1/2)(x − 1) = (x + 1)(2x − 1)(x − 1), et non (x + 1)(x − 1/2)(x − 1).
  • Se tromper de signe dans le facteur : la racine −1 donne le facteur (x + 1), pas (x − 1).
  • Oublier un coefficient nul dans le tableau de Horner : pour x3 − 1, il faut écrire 1, 0, 0, −1.

Pour vérifier une factorisation, développez-la ou calculez la valeur des deux écritures en un point. Vous pouvez aussi comparer votre copie avec le solveur de maths en ligne, qui rédige chaque étape.

Les polynômes prolongent le calcul littéral : toutes les expressions que l'on développe au collège en sont. Ils servent ensuite à résoudre des équations, à étudier des fonctions et à calculer des primitives, puisqu'une primitive de xn est xn+1/(n + 1).

Questions fréquentes

C'est quoi un polynôme ?

Un polynôme est une expression formée d'une somme de puissances entières positives d'une variable, chacune multipliée par un nombre : par exemple 3x2 − 5x + 2 ou x3 − 1. Les nombres sont les coefficients ; la plus grande puissance dont le coefficient n'est pas nul est le degré.

Comment trouver le degré d'un polynôme ?

Développez et réduisez d'abord l'expression, puis repérez la plus grande puissance de x dont le coefficient n'est pas nul. Attention : (x + 1)2 − x2 semble de degré 2, mais elle se réduit en 2x + 1, de degré 1. Le degré d'un produit est la somme des degrés des facteurs.

Quel est l'ensemble de définition d'une fonction polynôme ?

Une fonction polynôme est définie sur ℝ tout entier : on peut calculer P(x) pour n'importe quel réel, puisqu'on n'effectue que des additions et des multiplications. Elle est aussi continue et dérivable sur ℝ, et sa dérivée est encore une fonction polynôme.

Comment faire le tableau de variation d'une fonction polynôme de degré 2 ?

Pour f(x) = ax2 + bx + c, calculez α = −b/(2a) et β = f(α). Si a > 0, f est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[, avec un minimum β. Si a < 0, c'est l'inverse, avec un maximum β. Le point (α ; β) est le sommet de la parabole.

Quelle est la primitive d'un polynôme ?

On intègre terme à terme : une primitive de xn est xn+1/(n + 1). Par exemple, une primitive de 3x2 − 4x + 5 est x3 − 2x2 + 5x, et toutes les autres s'obtiennent en ajoutant une constante. Une primitive d'un polynôme de degré n est un polynôme de degré n + 1.

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Mis à jour le 6 octobre 2026