Factoriser une expression : la méthode pas à pas

Sommaire

1. Que veut dire factoriser ?
2. Méthode 1 : mettre en facteur un facteur commun
3. Méthode 2 : utiliser une identité remarquable
4. Méthode 3 : factoriser un trinôme du second degré
5. Au-delà du degré 2 : la racine évidente
6. Combiner les méthodes
7. La méthode à suivre dans l'ordre
8. Vérifier une factorisation
9. À quoi sert la forme factorisée ?
10. Les erreurs fréquentes
11. Questions fréquentes

Saisissez l'expression telle quelle, par exemple (x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 5), 4x^2 - 9 ou x^2 - 5x + 6. Ce factorisateur repère le facteur commun, reconnaît les identités remarquables, calcule le discriminant d'un trinôme et cherche une racine évidente pour le degré 3. Il termine en indiquant la forme développée obtenue en vérification.

Que veut dire factoriser ?

En mathématiques, factoriser signifie écrire une somme (ou une différence) sous la forme d'un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement, qui transforme un produit en somme. Les deux écritures sont égales pour toutes les valeurs de x ; seule leur forme change.

Pour savoir si une expression est une somme ou un produit, regardez la dernière opération à effectuer selon les priorités :

Le mot sert aussi pour les nombres : factoriser 60, c'est l'écrire 2² × 3 × 5, sa décomposition en facteurs premiers. L'idée est la même : remplacer une écriture par un produit qui révèle sa structure.

Méthode 1 : mettre en facteur un facteur commun

C'est la distributivité lue de droite à gauche. Si chaque terme contient le même facteur k, on l'écrit une seule fois devant la parenthèse :

ka + kb = k(a + b)   et   ka − kb = k(a − b)

Choisissez le plus grand facteur commun : le PGCD des coefficients et la plus petite puissance de x présente dans tous les termes. Pour 12x³ − 18x², c'est 6x², d'où 12x³ − 18x² = 6x²(2x − 3). Écrire 3x(4x² − 6x) n'est pas faux, mais incomplet : la parenthèse contient encore le facteur 2x.

Quand le facteur commun est un terme entier, il reste 1 à sa place : 3x² − x = x × 3x − x × 1 = x(3x − 1). Oublier ce 1 est une erreur fréquente.

Un facteur commun entre parenthèses

Le facteur commun peut être une expression entière, entre parenthèses. On la traite comme un bloc :

Trois situations demandent un peu d'attention :

• Le facteur caché par un 1. (x − 2) − 3x(x − 2) = (x − 2) × 1 − (x − 2) × 3x = (x − 2)(1 − 3x).
• Le facteur caché dans un carré. (x + 3)² = (x + 3)(x + 3), donc (x + 3)² + (x + 3)(2x − 1) = (x + 3)[(x + 3) + (2x − 1)] = (x + 3)(3x + 2).
• Les facteurs opposés. 3 − x = −(x − 3), donc (x − 3)(2x + 1) + (3 − x)(x + 4) = (x − 3)[(2x + 1) − (x + 4)] = (x − 3)(x − 3) = (x − 3)².

Dans les crochets, gardez les parenthèses tant que vous n'avez pas réduit : un signe moins devant une parenthèse change tous les signes qu'elle contient.

Méthode 2 : utiliser une identité remarquable

Sans facteur commun, cherchez une des trois identités, lues de droite à gauche :

a² + 2ab + b² = (a + b)²  ·  a² − 2ab + b² = (a − b)²  ·  a² − b² = (a − b)(a + b)

Deux carrés séparés par un signe moins donnent toujours un produit : 4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3). Avec trois termes, repérez les deux carrés, puis vérifiez le double produit : 4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = (2x − 3)². Le cas le plus riche est la différence de deux carrés d'expressions :

Les preuves, les illustrations géométriques et le calcul mental sont détaillés dans le cours sur les identités remarquables.

Méthode 3 : factoriser un trinôme du second degré

Quand ni le facteur commun ni une identité remarquable ne conviennent, un trinôme ax² + bx + c se factorise grâce à ses racines. On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac :

N'oubliez pas le coefficient a. Pour 2x² + 3x − 2, les racines sont −2 et 1/2 : la forme factorisée est 2(x + 2)(x − 1/2), que l'on peut écrire (x + 2)(2x − 1) en faisant entrer le 2 dans la seconde parenthèse. Écrire seulement (x + 2)(x − 1/2) donne seulement la moitié du trinôme.

Quand a = 1 et que les racines sont entières, on peut les trouver de tête. Pour x² − 5x + 6, on cherche deux nombres de somme 5 et de produit 6 : 2 et 3, d'où (x − 2)(x − 3). Ce raccourci repose sur les relations entre coefficients et racines, présentées dans le cours sur l'équation du second degré.

Au-delà du degré 2 : la racine évidente

Pour un polynôme de degré 3 ou plus, on cherche une racine simple en testant 0, 1, −1, 2, −2… Si a est une racine, le polynôme se factorise par (x − a). Par exemple, 1 est racine de x³ − 1, et x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1). Le second facteur a un discriminant égal à −3 : la factorisation dans ℝ s'arrête là. La recherche du second facteur, par identification ou division, est expliquée dans le cours sur les polynômes.

Combiner les méthodes

Une factorisation complète enchaîne souvent plusieurs méthodes. On commence toujours par le facteur commun, puis on regarde ce qui reste dans la parenthèse :

• 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2) ;
• x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2) ;
• 3x³ − 12x² + 12x = 3x(x² − 4x + 4) = 3x(x − 2)².

La méthode à suivre dans l'ordre

1. Chercher un facteur commun à tous les termes : nombre, puissance de x ou parenthèse entière, éventuellement cachée (1, carré, facteur opposé).
2. Chercher une identité remarquable : deux carrés séparés par un moins, ou trois termes avec deux carrés et un double produit.
3. Pour un trinôme du second degré, calculer Δ et utiliser les racines.
4. Pour un degré supérieur, chercher une racine évidente et factoriser par (x − a).
5. Recommencer sur chaque facteur jusqu'à ce qu'aucun ne se factorise plus.
6. Vérifier en redéveloppant ou avec une valeur test.

Vérifier une factorisation

Une factorisation se contrôle toujours. La méthode sûre consiste à redévelopper le résultat avec la double distributivité : (x + 1)(3x + 2) = 3x² + 2x + 3x + 2 = 3x² + 5x + 2, ce qui est bien la forme développée de l'expression de départ. Les règles de ce calcul sont rappelées dans le cours pour développer et réduire.

La méthode rapide consiste à remplacer x par une valeur simple dans les deux écritures. Pour x = 1 : (1 + 1)(2 − 3) + (1 + 1)(1 + 5) = −2 + 12 = 10 et (1 + 1)(3 + 2) = 10. Si les deux nombres diffèrent, il y a forcément une erreur. Vous pouvez aussi comparer votre copie au solveur de maths en ligne, qui rédige toutes les étapes.

À quoi sert la forme factorisée ?

Résoudre une équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. L'équation (x + 4)(3x − 2) = 0 équivaut donc à x + 4 = 0 ou 3x − 2 = 0, soit S = {−4 ; 2/3}. Sous forme développée, 3x² + 10x − 8 = 0, la même équation demanderait le discriminant.

Étudier un signe

Le signe d'un produit se déduit du signe de chaque facteur, présenté dans un tableau de signes. C'est la méthode pour résoudre une inéquation comme (x + 4)(3x − 2) < 0, dont les solutions forment l'intervalle ]−4 ; 2/3[.

Simplifier une fraction

On ne simplifie que des facteurs. Pour (x² − 9)/(x − 3), on factorise le numérateur, (x − 3)(x + 3), puis on simplifie par x − 3 : le quotient vaut x + 3 pour tout x ≠ 3.

Les erreurs fréquentes

• Une forme qui n'est pas un produit : x(x + 2) + 3 reste une somme.
• Le 1 oublié : 3x² + 3x = 3x(x) ; la forme juste est 3x(x + 1).
• Le signe dans les crochets : dans (x + 1)(2x + 3) − (x + 1)(x − 4), le crochet vaut (2x + 3) − (x − 4) = x + 7, pas x − 1.
• La factorisation incomplète : 2(x² − 4) doit devenir 2(x − 2)(x + 2).
• Le coefficient a oublié devant (x − x₁)(x − x₂).
• Une somme de carrés « factorisée » : x² + 4 ne se factorise pas dans ℝ.

La factorisation est l'une des quatre techniques du calcul littéral, avec la réduction, le développement et les identités remarquables. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices de factorisation corrigés.

Questions fréquentes

Que veut dire factoriser en mathématiques ?

Factoriser, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit de facteurs. Par exemple, 6x² − 9x = 3x(2x − 3) : à gauche une différence de deux termes, à droite le produit de 3x par (2x − 3). Pour un nombre entier, factoriser signifie l'écrire comme un produit, par exemple 60 = 2² × 3 × 5.

Pourquoi factoriser une expression ?

Parce qu'un produit est plus facile à exploiter qu'une somme. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : la forme factorisée permet de résoudre une équation comme x² − 9 = 0. Elle permet aussi d'étudier un signe avec un tableau de signes et de simplifier une fraction.

Comment factoriser x² + 2x + 3 ?

On ne peut pas, dans les nombres réels. Il n'y a ni facteur commun ni identité remarquable, et le discriminant vaut Δ = 2² − 4 × 1 × 3 = 4 − 12 = −8. Comme Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle : il ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels.

Quel est le contraire de factoriser ?

C'est développer. Développer transforme un produit en somme, 3x(2x − 3) = 6x² − 9x ; factoriser fait le chemin inverse. C'est pourquoi on vérifie une factorisation en la redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ.

Comment savoir si une expression est complètement factorisée ?

L'expression doit être un produit, et aucun de ses facteurs ne doit pouvoir se factoriser à nouveau. 2(x² − 4) est un produit, mais pas une factorisation complète, car x² − 4 = (x − 2)(x + 2). La forme complète est 2(x − 2)(x + 2).

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Mis à jour le 6 octobre 2026