Calcul de limite : règles, formes indéterminées et exemples
Le calcul de limite consiste à trouver vers quoi tend f(x) quand x s'approche d'un réel ou de l'infini. On applique d'abord les limites usuelles et les règles d'opérations ; si l'on tombe sur une forme indéterminée (∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ ou 0/0), on transforme l'expression pour lever l'indétermination.
Sommaire
Étapes de résolution
- On cherche la limitelimx → +∞ 2x2 + 1x2 − 3
- Une fonction rationnelle a la même limite en +∞ que le quotient de ses termes de plus haut degrélimx → +∞ 2x2 + 1x2 − 3 = limx → +∞ 2x2x2 = limx → +∞ 2 = 2
limx → +∞ f(x) = 2
Écrivez la fonction puis le point visé après « en » : (x^2 - 4)/(x - 2) en 2, e^x/x en +∞ (ou en +inf), x ln(x) en 0+ pour une limite à droite, en 1- pour une limite à gauche. Le calculateur de limite identifie la forme, nomme l'indétermination et rédige la technique qui la lève. Quand aucune méthode exacte ne s'applique, il le dit et affiche une estimation numérique.
Qu'est-ce qu'une limite ?
La limite décrit le comportement d'une fonction « au bord » : aux bornes de son ensemble de définition, en l'infini, ou près d'une valeur interdite. Trois situations se rencontrent.
- Limite finie en l'infini : f(x) devient aussi proche que l'on veut d'un réel ℓ dès que x est assez grand. On note limx → +∞ f(x) = ℓ. Exemple : 1/x tend vers 0.
- Limite infinie en l'infini : f(x) dépasse n'importe quel nombre dès que x est assez grand. Exemple : x2 tend vers +∞.
- Limite en un réel a : on regarde f(x) quand x se rapproche de a. Si la fonction n'est pas définie en a, on distingue souvent la limite à gauche (x → a−, avec x < a) et la limite à droite (x → a+).
Une fonction peut n'avoir aucune limite : sin x oscille entre −1 et 1 sans jamais se fixer quand x tend vers +∞.
Les limites usuelles
Tout calcul de limite repose sur ce tableau. Dans la colonne « en 0 », « à droite » signifie x → 0+.
| Fonction | en −∞ | en 0 | en +∞ |
|---|---|---|---|
| xn, n pair | +∞ | 0 | +∞ |
| xn, n impair | −∞ | 0 | +∞ |
| 1x | 0 | −∞ à gauche, +∞ à droite | 0 |
| 1x2 | 0 | +∞ | 0 |
| √x | — | 0 | +∞ |
| 1√x | — | +∞ à droite | 0 |
| ex | 0 | 1 | +∞ |
| ln x | — | −∞ à droite | +∞ |
Plus généralement, pour n entier supérieur ou égal à 1, 1/xn tend vers 0 en ±∞. Les deux dernières lignes sont démontrées dans les cours sur la fonction exponentielle et sur le logarithme.
Les opérations sur les limites
Pour une somme, un produit ou un quotient, on combine les limites des deux parties. Dans les tableaux, ℓ et ℓ′ sont des réels et « FI » signale une forme indéterminée.
Somme
| lim f | ℓ | ℓ | ℓ | +∞ | −∞ | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lim g | ℓ′ | +∞ | −∞ | +∞ | −∞ | −∞ |
| lim (f + g) | ℓ + ℓ′ | +∞ | −∞ | +∞ | −∞ | FI |
Produit
| lim f | ℓ | ℓ ≠ 0 | ∞ | 0 |
|---|---|---|---|---|
| lim g | ℓ′ | ∞ | ∞ | ∞ |
| lim (fg) | ℓℓ′ | ∞ | ∞ | FI |
Le signe de l'infini obtenu suit la règle des signes : (−3) × (+∞) = −∞, (−∞) × (−∞) = +∞.
Quotient
| lim f | ℓ | ℓ | ∞ | ℓ ≠ 0 ou ∞ | 0 | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| lim g | ℓ′ ≠ 0 | ∞ | ℓ′ ≠ 0 | 0 (avec un signe) | 0 | ∞ |
| lim (f/g) | ℓ/ℓ′ | 0 | ∞ | ∞ | FI | FI |
Diviser par un dénominateur qui tend vers 0 donne l'infini, à condition de connaître son signe : on note 0+ ou 0−. Si le signe change de part et d'autre du point, on calcule séparément la limite à gauche et la limite à droite.
Composition
Pour une fonction composée, on enchaîne les limites de l'intérieur vers l'extérieur. Quand x tend vers +∞, −x2 tend vers −∞, et eX tend vers 0 quand X tend vers −∞ : donc e−x2 tend vers 0.
Lever une forme indéterminée
Les quatre formes « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 » ne disent rien du résultat : x2 − x et x − x2 sont toutes deux de la forme « ∞ − ∞ » en +∞, mais la première tend vers +∞ et la seconde vers −∞. Il faut transformer l'écriture. Voici les techniques, de la plus fréquente à la plus spécifique.
Factoriser par le terme de plus haut degré
En ±∞, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Pour x2 − 3x en +∞, on écrit x2(1 − 3/x) : la parenthèse tend vers 1, le tout vers +∞. Pour une fraction rationnelle, on garde le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Fonction rationnelle en +∞ : termes de plus haut degré
- On cherche la limitelimx → +∞ 2x2 + 1x2 − 3
- Une fonction rationnelle a la même limite en +∞ que le quotient de ses termes de plus haut degrélimx → +∞ 2x2 + 1x2 − 3 = limx → +∞ 2x2x2 = limx → +∞ 2 = 2
limx → +∞ f(x) = 2
Trois cas se présentent : si le degré du numérateur est le plus petit, la limite en ±∞ est 0 ((3x + 1)/(x2 + 2) tend vers 0) ; si les degrés sont égaux, c'est le quotient des coefficients dominants ; si le numérateur l'emporte, la limite est infinie. Cette règle ne vaut qu'en l'infini : en 0, (2x2 + 1)/(x2 − 3) vaut simplement 1/(−3) = −1/3.
Factoriser et simplifier une forme 0/0
En un réel a, si numérateur et dénominateur polynomiaux s'annulent tous deux, ils sont tous deux divisibles par (x − a). On factorise, on simplifie pour x ≠ a, puis on remplace.
Forme indéterminée 0/0 : on factorise
La méthode en bref
- On cherche la limite
- Numérateur et dénominateur s’annulent en 2 : forme indéterminée « 0/0 »
- On factorise par (x − 2) le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie (pour x ≠ 2)
- On remplace x par 2 dans l’expression simplifiée
- On cherche la limitelimx → 2 x2 − 4x − 2
- Numérateur et dénominateur s’annulent en 2 : forme indéterminée « 0/0 »N(2) = 0 et D(2) = 0
- On factorise par (x − 2) le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie (pour x ≠ 2)f(x) = x + 2
- On remplace x par 2 dans l’expression simplifiéelimx → 2 x2 − 4x − 2 = 4
limx → 2 f(x) = 4
Multiplier par la quantité conjuguée
Une différence de racines se lève par l'identité (A − B)(A + B) = A2 − B2. En +∞, √x2 + 1 − x est de la forme « ∞ − ∞ ». En multipliant et divisant par √x2 + 1 + x, on obtient :
√x2 + 1 − x = (x2 + 1) − x2√x2 + 1 + x = 1√x2 + 1 + x
Le dénominateur tend vers +∞, donc la limite vaut 0.
Reconnaître un nombre dérivé
Un quotient de la forme (f(x) − f(a))/(x − a) tend vers f′(a) quand f est dérivable en a. On en tire trois limites de référence en 0 :
limx → 0 ex − 1x = 1 limx → 0 ln(1 + x)x = 1 limx → 0 sin xx = 1
Ce sont les nombres dérivés en 0 de ex, de ln(1 + x) et de sin x. Le lien entre taux de variation et nombre dérivé est expliqué dans le cours sur les dérivées.
Les croissances comparées
Quand une exponentielle, une puissance et un logarithme s'affrontent, l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme. Pour tout entier n ≥ 1 :
| Limite | Résultat |
|---|---|
| limx → +∞ ex/xn | +∞ |
| limx → −∞ xnex | 0 |
| limx → +∞ ln x/xn | 0 |
| limx → 0+ xn ln x | 0 |
Croissances comparées : eˣ/x en +∞
La méthode en bref
- On cherche la limite
- On détermine la limite de chaque partie
- Forme indéterminée « ∞/∞ » : on lève l’indétermination par croissances comparées (l’exponentielle l’emporte sur les puissances, qui l’emportent sur le logarithme)
- On cherche la limitelimx → +∞ exx
- On détermine la limite de chaque partielimx → +∞ ex = +∞
limx → +∞ x = +∞ - Forme indéterminée « ∞/∞ » : on lève l’indétermination par croissances comparées (l’exponentielle l’emporte sur les puissances, qui l’emportent sur le logarithme)limx→+∞ exxn = +∞
limx → +∞ exx = +∞
limx → +∞ f(x) = +∞
Limites à gauche, à droite et asymptotes
Près d'une valeur interdite, le signe du dénominateur décide de l'infini obtenu. On étudie ce signe de chaque côté.
Limites à gauche et à droite : asymptote verticale
La méthode en bref
- On cherche la limite
- Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers 0 : on étudie le signe du dénominateur près de 1
- Les limites à gauche et à droite sont différentes : f n’a pas de limite en 1
- On cherche la limitelimx → 1 1x − 1
- Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers 0 : on étudie le signe du dénominateur près de 1D(x) = x − 1 : pour x < 1, D(x) → 0− donc f(x) → −∞
pour x > 1, D(x) → 0+ donc f(x) → +∞règle des signes : « 1 / 0± » donne ±∞ - Les limites à gauche et à droite sont différentes : f n’a pas de limite en 1limx → 1− f(x) = −∞ et limx → 1+ f(x) = +∞la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale
limx → 1− f(x) = −∞ et limx → 1+ f(x) = +∞
Les limites se traduisent par des asymptotes, droites dont la courbe se rapproche indéfiniment :
- asymptote verticale d'équation x = a quand f(x) tend vers ±∞ en a (à gauche ou à droite) ;
- asymptote horizontale d'équation y = ℓ quand f(x) tend vers ℓ en +∞ ou en −∞ ;
- asymptote oblique d'équation y = ax + b quand f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l'infini.
Ainsi, la courbe de (2x2 + 1)/(x2 − 3) a une asymptote horizontale y = 2 en +∞ et en −∞, et deux asymptotes verticales, x = −√3 et x = √3, où le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule. Pour une asymptote oblique : (x2 + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1), et 2/(x − 1) tend vers 0 en ±∞ : la droite y = x + 1 est asymptote oblique. Ces limites complètent le tableau de variation de la fonction.
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Quand l'expression résiste au calcul direct, on l'encadre. Si f(x) ≥ g(x) pour x assez grand et que g tend vers +∞, alors f tend vers +∞. Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et que g et h ont la même limite ℓ, alors f tend aussi vers ℓ : c'est le théorème des gendarmes.
Exemple : pour x > 0, −1 ≤ sin x ≤ 1 donne −1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x. Les deux bornes tendent vers 0 en +∞, donc sin x/x aussi.
Limites de suites
Les mêmes règles s'appliquent aux suites, avec n qui tend vers +∞. La suite un = (2n + 1)/(n + 3) tend vers 2, quotient des termes de plus haut degré. Pour une suite géométrique, tout dépend de la raison q :
| Raison | −1 < q < 1 | q = 1 | q > 1 | q ≤ −1 |
|---|---|---|---|---|
| lim qn | 0 | 1 | +∞ | pas de limite |
Ce résultat sert à étudier les suites arithmétiques et géométriques et leurs sommes.
La méthode en cinq étapes
- Remplacer. Calculez la limite de chaque morceau de l'expression avec le tableau des limites usuelles.
- Combiner. Appliquez les règles de somme, de produit, de quotient et de composition. Si le résultat est déterminé, c'est fini.
- Nommer l'indétermination. Écrivez-la sur la copie : « forme indéterminée du type ∞/∞ ».
- Transformer. Choisissez la technique adaptée : terme dominant, factorisation par (x − a), quantité conjuguée, nombre dérivé, croissances comparées.
- Conclure et interpréter. Donnez la limite, puis l'asymptote éventuelle.
Les erreurs fréquentes
- « ∞ − ∞ = 0 » : faux, c'est une forme indéterminée. De même, « 0 × ∞ » ne vaut pas 0 et « ∞/∞ » ne vaut pas 1.
- « 1/0 = ∞ » sans signe : il faut savoir si le dénominateur tend vers 0+ ou 0−.
- La règle du terme dominant en un réel : elle ne vaut qu'en ±∞.
- Oublier la limite à gauche : une seule limite calculée ne suffit pas quand le dénominateur change de signe.
- Écrire « lim » sans le point : lim f(x) = 2 n'a pas de sens si l'on ne précise pas vers quoi tend x.
Pour vérifier une limite, calculez f(x) pour des valeurs de plus en plus proches du point (10, 100, 1 000 pour +∞ ; 2,1 puis 2,01 puis 2,001 pour 2). Cette estimation ne démontre rien, mais elle détecte une erreur de signe. Le solveur mathématique rédige la démonstration complète pour comparer avec votre copie, et le calcul de dérivée complète l'étude des variations.
Questions fréquentes
Comment calculer une limite ?
Remplacez d'abord x par la valeur visée (ou raisonnez sur l'infini) et appliquez les règles d'opérations sur les limites. Si vous obtenez un résultat déterminé, c'est la limite. Si vous tombez sur une forme indéterminée, transformez l'expression : factorisation par le terme dominant, simplification d'une fraction, quantité conjuguée, croissances comparées ou nombre dérivé.
Quelles sont les formes indéterminées ?
Il y en a quatre au lycée : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 ». Elles sont dites indéterminées parce que les règles d'opérations ne permettent pas de conclure : selon les fonctions, le résultat peut être 0, un réel quelconque, +∞, −∞, ou ne pas exister. Il faut transformer l'expression pour trouver la limite.
Comment lever une forme indéterminée ?
Pour un polynôme ou une fraction rationnelle en l'infini, factorisez par le terme de plus haut degré. Pour « 0/0 » en un réel a, factorisez par (x − a) et simplifiez. Avec une racine carrée, multipliez par la quantité conjuguée. Avec une exponentielle ou un logarithme, utilisez les croissances comparées. Enfin, reconnaissez un taux de variation quand c'est possible : sa limite est un nombre dérivé.
Comment calculer une limite en l'infini ?
Pour un polynôme, la limite en ±∞ est celle de son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle, c'est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Pour les autres fonctions, combinez les limites usuelles (ex, ln x, √x, 1/x) avec les règles d'opérations et les croissances comparées.
Qu'est-ce qu'une asymptote ?
C'est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. Si f(x) tend vers un réel ℓ en +∞ ou −∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale. Si f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers un réel a, la droite x = a est asymptote verticale. Si f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l'infini, la droite y = ax + b est asymptote oblique.
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Mis à jour le 6 octobre 2026