Statistiques : cours complet et analyse d'une série

Sommaire

1. Le vocabulaire de la statistique
2. Effectifs, fréquences et effectifs cumulés
3. Représenter une série statistique
4. Les indicateurs de position
5. Les indicateurs de dispersion
6. Exemple complet : une série de notes
7. Le diagramme en boîte
8. Moyenne ou médiane : quel indicateur choisir ?
9. Effet d'un changement d'unité ou de barème
10. Séries statistiques à deux variables
11. Des statistiques aux probabilités
12. Les cours du dossier statistiques et probabilités
13. Les erreurs fréquentes
14. Questions fréquentes

Saisissez les valeurs séparées par « ; » avec la virgule décimale, par exemple 12 ; 15 ; 9,5 ; 15. Si vos données sont déjà regroupées dans un tableau, choisissez « Valeurs et effectifs » et tapez les valeurs sur une ligne, les effectifs sur l'autre. Le solveur range la série, calcule les effectifs cumulés, la médiane et les quartiles, la moyenne, la variance, l'écart type et le mode, puis trace le diagramme en boîte.

Le vocabulaire de la statistique

Une étude statistique porte sur une population, un ensemble d'individus (des élèves, des familles, des ampoules…). On observe sur chaque individu un caractère, aussi appelé variable : la note obtenue, le nombre d'enfants, la durée de vie. La liste des résultats forme une série statistique.

Moyenne, médiane et écart type n'ont de sens que pour un caractère quantitatif. Pour un caractère qualitatif, on se limite aux effectifs, aux fréquences et au mode.

Effectifs, fréquences et effectifs cumulés

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la prennent ; l'effectif total N est le nombre d'individus de la population. La fréquence d'une valeur est la part de la population qui la prend :

f_i = n_iN

Une fréquence est comprise entre 0 et 1 et s'écrit souvent en pourcentage ; la somme des fréquences vaut 1. Les effectifs cumulés croissants (ECC) additionnent les effectifs de la plus petite valeur jusqu'à la valeur considérée : ils servent à trouver la médiane et les quartiles sans réécrire toute la série.

Exemple : on a demandé aux 25 élèves d'une classe combien ils ont de frères et sœurs.

Lecture : 11 élèves ont au plus un frère ou une sœur ; 36 % des élèves en ont exactement deux. Le passage d'une fréquence à un pourcentage est détaillé dans le cours sur le calcul de pourcentage.

Pour un caractère continu, on regroupe les valeurs en classes, par exemple [0 ; 10[, [10 ; 20[, [20 ; 40[. Chaque classe est alors représentée par son centre (5, 15 et 30 ici) dans les calculs de moyenne : le résultat n'est qu'une estimation, puisque l'on ne connaît plus les valeurs exactes.

Représenter une série statistique

• Diagramme en bâtons : pour un caractère discret, un bâton par valeur, de hauteur proportionnelle à l'effectif.
• Histogramme : pour un caractère continu, un rectangle par classe ; c'est l'aire du rectangle, et non sa hauteur, qui est proportionnelle à l'effectif quand les classes n'ont pas la même largeur.
• Diagramme circulaire : chaque secteur a un angle égal à la fréquence multipliée par 360°. Dans l'exemple, la valeur 2 occupe 0,36 × 360° = 129,6°.
• Diagramme en boîte : il résume la série en cinq nombres (minimum, Q₁, médiane, Q₃, maximum) et permet de comparer plusieurs séries d'un coup d'œil.

Les indicateurs de position

La moyenne

La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Quand les valeurs sont données avec leurs effectifs, chaque valeur compte autant de fois que son effectif :

x̄ = n₁x₁ + n₂x₂ + … + n_px_pN

Pour la classe ci-dessus : 0 × 4 + 1 × 7 + 2 × 9 + 3 × 3 + 4 × 2 = 42, donc x̄ = 42/25 = 1,68. En moyenne, un élève a 1,68 frère ou sœur : la moyenne n'est pas forcément une valeur possible du caractère. Les cas avec coefficients, notes et classes sont traités dans le cours de calcul de moyenne.

La médiane

La médiane Me partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Avec N = 25 (impair), c'est la valeur de rang (25 + 1)/2 = 13. Les ECC valent 11 pour la valeur 1 et 20 pour la valeur 2 : la 13^e valeur est donc 2, et Me = 2. Si N est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales. La méthode complète, avec les cas particuliers, figure dans le cours sur la médiane et les quartiles.

Le mode

Le mode est la valeur de plus grand effectif : ici 2, avec un effectif de 9. Une série peut avoir plusieurs modes, ou aucun si toutes les valeurs ont le même effectif. Pour un caractère qualitatif, c'est le seul indicateur de position disponible.

Les quartiles

Au lycée, en France, le premier quartile Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile Q₃ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. On calcule N/4 et 3N/4, puis on arrondit à l'entier supérieur pour obtenir le rang.

Ici, 25/4 = 6,25 donne le rang 7, et la 7^e valeur est 1 : Q₁ = 1. Puis 75/4 = 18,75 donne le rang 19, et la 19^e valeur est 2 : Q₃ = 2. L'exemple corrigé reprend toute l'analyse de cette série.

Les indicateurs de dispersion

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et être très différentes : les notes 10 ; 10 ; 10 ; 10 et 0 ; 10 ; 10 ; 20 ont toutes deux une moyenne de 10. Les indicateurs de dispersion mesurent cet écart.

L'étendue est simple mais ne dépend que des deux valeurs extrêmes. L'écart interquartile mesure l'étalement de la moitié centrale des données, sans être influencé par les valeurs extrêmes. La variance et l'écart type tiennent compte de toutes les valeurs :

V = Σ n_i(x_i − x̄)²N   et   σ = √V

On peut aussi utiliser la formule de König-Huygens, V = (Σ n_ix_i²)/N − x̄², souvent plus rapide à la main. Pour la classe : Σ n_ix_i² = 0 + 7 + 36 + 27 + 32 = 102, donc V = 102/25 − 1,68² = 4,08 − 2,8224 = 1,2576, et σ ≈ 1,12. L'interprétation de σ, la différence entre population et échantillon et les pièges de calcul sont expliqués dans le cours sur l'écart type.

Exemple complet : une série de notes

Voici les 9 notes d'un élève sur un trimestre : 12 ; 15 ; 9 ; 15 ; 7 ; 11 ; 18 ; 10 ; 15. L'analyseur produit la fiche complète.

Interprétation : la moyenne (≈ 12,44) dépasse légèrement la médiane (12), car le 18 tire la moyenne vers le haut. Au moins la moitié des notes sont comprises entre 10 et 15, et la note la plus fréquente est 15. Un écart type d'environ 3,3 points indique des résultats assez irréguliers.

Le diagramme en boîte

Le diagramme en boîte, ou boîte à moustaches, se trace au-dessus d'un axe gradué. La boîte va de Q₁ à Q₃, un trait vertical y marque la médiane, et deux « moustaches » relient la boîte au minimum et au maximum. Pour la série de notes : moustache de 7 à 10, boîte de 10 à 15 coupée à 12, moustache de 15 à 18.

Il se lit ainsi : environ un quart des valeurs dans chaque moustache, environ la moitié dans la boîte. Une boîte étroite signale une série homogène autour de sa médiane ; une moustache très longue, des valeurs extrêmes isolées. Pour comparer deux classes, on trace les deux boîtes sur le même axe et l'on compare d'abord les médianes, puis les largeurs des boîtes.

Moyenne ou médiane : quel indicateur choisir ?

La moyenne utilise toutes les valeurs, ce qui la rend sensible aux valeurs extrêmes. Dans une entreprise de cinq salariés payés 1 800 €, 1 900 €, 2 000 €, 2 100 € et 12 000 € par mois, la moyenne vaut 19 800 / 5 = 3 960 €, alors que quatre salariés sur cinq gagnent moins de 2 200 €. La médiane, 2 000 €, décrit mieux le salaire typique.

On choisit donc la médiane (avec l'écart interquartile) pour des données asymétriques ou comportant des valeurs aberrantes : salaires, prix de l'immobilier, temps d'attente. On choisit la moyenne (avec l'écart type) quand les valeurs sont réparties de façon assez symétrique, ou quand le total a un sens : une moyenne de notes multipliée par le nombre de notes redonne la somme des points.

Effet d'un changement d'unité ou de barème

Si l'on ajoute un même nombre b à toutes les valeurs, la moyenne, la médiane et les quartiles augmentent de b, mais l'étendue, l'écart interquartile et l'écart type ne changent pas : toute la série se décale sans s'étaler. Si l'on multiplie toutes les valeurs par un nombre a positif, tous les indicateurs sont multipliés par a, sauf la variance, multipliée par a². Ainsi, des notes sur 10 ramenées sur 20 voient leur moyenne et leur écart type doubler.

Séries statistiques à deux variables

Quand on observe deux caractères sur chaque individu (la taille et la masse, le temps de révision et la note), on représente chaque individu par un point de coordonnées (x_i ; y_i) : c'est le nuage de points. Son point moyen G a pour coordonnées (x̄ ; ȳ). Si le nuage a une forme allongée, on peut l'ajuster par une droite, en général la droite des moindres carrés, qui passe par G, puis l'utiliser pour faire des estimations. Une corrélation entre deux caractères ne prouve pas que l'un est la cause de l'autre.

Des statistiques aux probabilités

Lancez un dé 600 fois et comptez les 6 : vous obtiendrez une fréquence proche de 1/6, mais rarement exactement 1/6. Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence observée a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique : c'est la loi des grands nombres. Les statistiques décrivent ce qui a été observé, les probabilités modélisent ce qui peut arriver.

Les deux domaines partagent les mêmes outils. L'espérance d'une variable aléatoire est l'équivalent de la moyenne, avec des probabilités à la place des fréquences ; sa variance et son écart type se définissent de la même façon. La loi binomiale, par exemple, a pour espérance np : sur 600 lancers, on attend en moyenne 600 × 1/6 = 100 six.

Les cours du dossier statistiques et probabilités

Les erreurs fréquentes

• Oublier de ranger la série avant de chercher la médiane ou les quartiles : la valeur du milieu de la liste brute ne veut rien dire.
• Confondre rang et valeur : « la médiane est la 13^e valeur » ne donne pas la médiane, il faut lire cette valeur dans la série.
• Ignorer les effectifs : avec un tableau, la moyenne de 0, 1, 2, 3 et 4 n'est pas 2, car chaque valeur pèse son effectif.
• Faire la moyenne de deux moyennes de groupes de tailles différentes : il faut pondérer par les effectifs des groupes.
• Arrondir trop tôt la moyenne avant de calculer la variance : gardez des valeurs exactes jusqu'au bout.
• Comparer des quartiles obtenus par des méthodes différentes : certains tableurs et calculatrices utilisent une autre définition, avec interpolation, et peuvent donner des valeurs différentes de la convention du lycée.

Pour contrôler un devoir de statistiques, refaites le calcul dans le solveur mathématique et comparez chaque étape : rangement, rangs de la médiane et des quartiles, puis moyenne et écart type.

Pour vous entraîner, les fiches d'exercices de maths corrigés proposent des séries à analyser, avec un corrigé détaillé à imprimer.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la statistique ?

La statistique est la branche des mathématiques qui recueille, organise, résume et interprète des données. La statistique descriptive résume une série par des tableaux, des graphiques et des indicateurs (moyenne, médiane, écart type) ; la statistique inférentielle utilise un échantillon pour estimer ce qui se passe dans une population entière. Au pluriel, « des statistiques » désigne aussi les données chiffrées elles-mêmes.

Quelle est la différence entre statistiques et probabilités ?

Les statistiques partent de données observées et les décrivent : on calcule par exemple la fréquence des 6 sur 600 lancers réels. Les probabilités partent d'un modèle et prévoient : avec un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 6 vaut 1/6. Les deux se rejoignent quand on répète l'expérience un grand nombre de fois : la fréquence observée se rapproche alors de la probabilité.

Comment calculer une fréquence en statistique ?

La fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total : f = n/N. C'est un nombre entre 0 et 1, que l'on peut écrire en pourcentage en le multipliant par 100. Si 9 élèves sur 25 ont deux frères et sœurs, la fréquence vaut 9/25 = 0,36, soit 36 %. La somme de toutes les fréquences vaut 1.

Quels sont les indicateurs de position et de dispersion ?

Les indicateurs de position situent les valeurs : moyenne, médiane, mode et quartiles. Les indicateurs de dispersion mesurent leur étalement : étendue (maximum moins minimum), écart interquartile (Q₃ − Q₁), variance et écart type. On associe en général la moyenne à l'écart type, et la médiane à l'écart interquartile.

Comment faire l'analyse statistique d'une série ?

Rangez les valeurs dans l'ordre croissant, comptez l'effectif total, puis calculez les indicateurs de position (moyenne, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type). Représentez la série par un diagramme adapté, puis concluez par une phrase : niveau général, homogénéité, valeurs extrêmes. L'analyseur de cette page fait tous ces calculs et trace le diagramme en boîte.

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Mis à jour le 6 octobre 2026