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Simplifier une fraction : méthodes et fraction irréductible

Pour simplifier une fraction, divisez son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun ; si vous divisez par leur PGCD, vous obtenez directement la fraction irréductible. Saisissez une fraction ou un décimal : l'outil calcule le PGCD par l'algorithme d'Euclide et rédige toutes les étapes.

Sommaire
  1. Pourquoi une fraction se simplifie
  2. Méthode 1 : simplifier par étapes avec les critères de divisibilité
  3. Méthode 2 : diviser par le PGCD
  4. Méthode 3 : la décomposition en facteurs premiers
  5. Reconnaître une fraction irréductible
  6. Simplifier un nombre décimal ou une fraction de décimaux
  7. Simplifier pendant un calcul
  8. Simplifier une fraction avec des lettres
  9. Les erreurs fréquentes
  10. Questions fréquentes
Exemples

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On veut simplifier la fraction
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 42
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité
  5. PGCD(2 ; 3) = 1 : la fraction obtenue est irréductible
  6. Le quotient ne tombe pas juste : l’écriture décimale est illimitée
  1. On veut simplifier la fraction84126
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)126 = 84 × 1 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0le dernier reste non nul est 42, donc PGCD(84 ; 126) = 42 — par décomposition : 84 = 22 × 3 × 7 et 126 = 2 × 32 × 7
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 4284126 = 84 ÷ 42126 ÷ 42 = 23
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité84126 = 4263 = 1421 = 23même résultat : la fraction irréductible est unique
  5. PGCD(2 ; 3) = 1 : la fraction obtenue est irréductible23
  6. Le quotient ne tombe pas juste : l’écriture décimale est illimitée23 ≈ 0,666667

84126 = 23

Tapez la fraction avec une barre oblique, par exemple 84/126 ou -48/72, ou un nombre décimal comme 0,375. Le résultat donne la fraction irréductible, son écriture décimale et la simplification pas à pas avec les critères de divisibilité.

Pourquoi une fraction se simplifie

Une fraction garde la même valeur quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Les fractions 45/60, 15/20 et 3/4 représentent la même quantité : couper une unité en 60 parts et en prendre 45, c'est en prendre les trois quarts.

ab = a ÷ kb ÷ k   (k diviseur commun de a et b, k ≠ 0)

Simplifier ne change donc pas le nombre, seulement son écriture. Le but est la fraction irréductible : celle dont le numérateur et le dénominateur n'ont plus d'autre diviseur commun que 1. Elle est unique (avec un dénominateur positif), ce qui permet de comparer deux résultats sans ambiguïté. Ces règles font partie du cours général sur les fractions.

Méthode 1 : simplifier par étapes avec les critères de divisibilité

C'est la méthode du collège. On cherche un petit diviseur commun, on divise, et on recommence tant que c'est possible. Les critères suivants évitent de poser les divisions :

Un entier est divisible par…si…Exemple
2son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8)126
3la somme de ses chiffres est un multiple de 384 : 8 + 4 = 12
4le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 41 316 : 16
5il se termine par 0 ou 545
9la somme de ses chiffres est un multiple de 92 025 : 2 + 0 + 2 + 5 = 9
10il se termine par 060
11la somme alternée de ses chiffres est un multiple de 112 541 : 1 − 4 + 5 − 2 = 0

Exemple avec 120/36. Les deux nombres sont pairs : 120/36 = 60/18. Encore pairs : 60/18 = 30/9. 9 est impair, mais 3 + 0 = 3 et 9 sont des multiples de 3 : 30/9 = 10/3. Comme 10 = 2 × 5 et que 3 ne divise pas 10, la fraction 10/3 est irréductible.

Cette méthode est sûre mais peut être longue. Si l'on s'arrête trop tôt, la fraction n'est pas irréductible : vérifiez toujours qu'il ne reste aucun diviseur commun à la fin.

Méthode 2 : diviser par le PGCD

Le PGCD (plus grand commun diviseur) du numérateur et du dénominateur est le plus grand nombre par lequel on peut simplifier. En divisant par lui, on obtient la fraction irréductible en une seule étape. Pour le trouver, l'algorithme d'Euclide enchaîne des divisions euclidiennes : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite ; le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple : simplifier 84/126

La méthode en bref

  1. On veut simplifier la fraction
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 42
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité
  5. PGCD(2 ; 3) = 1 : la fraction obtenue est irréductible
  6. Le quotient ne tombe pas juste : l’écriture décimale est illimitée
  1. On veut simplifier la fraction84126
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)126 = 84 × 1 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0le dernier reste non nul est 42, donc PGCD(84 ; 126) = 42 — par décomposition : 84 = 22 × 3 × 7 et 126 = 2 × 32 × 7
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 4284126 = 84 ÷ 42126 ÷ 42 = 23
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité84126 = 4263 = 1421 = 23même résultat : la fraction irréductible est unique
  5. PGCD(2 ; 3) = 1 : la fraction obtenue est irréductible23
  6. Le quotient ne tombe pas juste : l’écriture décimale est illimitée23 ≈ 0,666667

84126 = 23

Le solveur montre les deux méthodes côte à côte : la division par le PGCD et la simplification par étapes donnent le même résultat, puisque la forme irréductible est unique.

Exemple : rendre 45/60 irréductible

La méthode en bref

  1. On veut simplifier la fraction
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 15
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité
  5. PGCD(3 ; 4) = 1 : la fraction obtenue est irréductible
  6. Écriture décimale (le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5)
  1. On veut simplifier la fraction4560
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)60 = 45 × 1 + 15 ; 45 = 15 × 3 + 0le dernier reste non nul est 15, donc PGCD(45 ; 60) = 15 — par décomposition : 45 = 32 × 5 et 60 = 22 × 3 × 5
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 154560 = 45 ÷ 1560 ÷ 15 = 34
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité4560 = 1520 = 34même résultat : la fraction irréductible est unique
  5. PGCD(3 ; 4) = 1 : la fraction obtenue est irréductible34
  6. Écriture décimale (le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5)34 = 0,75

4560 = 34

Méthode 3 : la décomposition en facteurs premiers

Pour de grands nombres, on écrit le numérateur et le dénominateur comme des produits de nombres premiers, puis on barre les facteurs communs. Avec 360/756 :

360756 = 23 × 32 × 522 × 33 × 7 = 2 × 53 × 7 = 1021

On a simplifié par 22 × 32 = 36, qui est le PGCD de 360 et 756. La méthode pour obtenir ces produits est détaillée sur la page de la décomposition en facteurs premiers ; elle utilise les puissances pour noter les facteurs répétés.

Reconnaître une fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1. Par exemple, 35/64 est irréductible : 35 = 5 × 7 et 64 = 26 n'ont aucun facteur premier commun.

Deux pièges reviennent souvent. Un numérateur premier ne garantit rien : 17 est premier, mais 51 = 3 × 17, donc 17/51 = 1/3. À l'inverse, deux nombres non premiers peuvent être premiers entre eux, comme 8 et 9. La liste des nombres premiers aide à tester rapidement les diviseurs possibles.

Simplifier un nombre décimal ou une fraction de décimaux

Un nombre décimal s'écrit comme une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000…, qu'on simplifie ensuite :

Exemple : écrire 0,375 sous forme de fraction irréductible

La méthode en bref

  1. On écrit le nombre sous forme de fraction
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 125
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité
  5. PGCD(3 ; 8) = 1 : la fraction obtenue est irréductible
  6. Écriture décimale (le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5)
  1. On écrit le nombre sous forme de fraction0,375 = 3751 000
  2. On cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur (algorithme d’Euclide)1 000 = 375 × 2 + 250 ; 375 = 250 × 1 + 125 ; 250 = 125 × 2 + 0le dernier reste non nul est 125, donc PGCD(375 ; 1 000) = 125 — par décomposition : 375 = 3 × 53 et 1 000 = 23 × 53
  3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD 1253751 000 = 375 ÷ 1251 000 ÷ 125 = 38
  4. On peut aussi simplifier par étapes, avec les critères de divisibilité3751 000 = 75200 = 1540 = 38même résultat : la fraction irréductible est unique
  5. PGCD(3 ; 8) = 1 : la fraction obtenue est irréductible38
  6. Écriture décimale (le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5)38 = 0,375

0,375 = 38

Si le numérateur ou le dénominateur est décimal, multipliez les deux par la même puissance de 10 : 1,5/4,5 = 15/45 = 1/3. Le signe se traite à part : −48/72 = −2/3, et une fraction dont les deux termes sont négatifs est positive.

Simplifier pendant un calcul

Dans un produit, simplifiez avant de multiplier : 4/15 × 25/8 se simplifie par 4 et par 5 pour donner directement 5/6. Dans une somme, on ne peut simplifier qu'à la fin, une fois le dénominateur commun utilisé : 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1. La calculatrice de fractions applique ces règles et rend toujours un résultat irréductible.

Une racine au dénominateur se traite autrement : on ne « simplifie » pas 1/√2, on rend son dénominateur rationnel en multipliant en haut et en bas par √2, ce qui donne √2/2. Le cours sur la racine carrée détaille cette technique.

Simplifier une fraction avec des lettres

Au lycée, on simplifie aussi des fractions rationnelles. La règle reste la même : on ne simplifie que des facteurs, donc il faut d'abord factoriser le numérateur et le dénominateur.

  • (x2 + 3x)/(x2 + 5x) = x(x + 3)/(x(x + 5)) = (x + 3)/(x + 5), pour x ≠ 0 et x ≠ −5.
  • (x2 − 9)/(x2 + 5x + 6) = (x − 3)(x + 3)/((x + 2)(x + 3)) = (x − 3)/(x + 2), pour x ≠ −3 et x ≠ −2.

Les valeurs interdites de la fraction de départ restent interdites après simplification : c'est pourquoi on les précise.

Les erreurs fréquentes

  • Barrer des termes d'une somme : (2 + 5)/(2 + 7) vaut 7/9, pas 5/7.
  • Diviser un seul des deux termes : on divise toujours le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
  • S'arrêter trop tôt : 42/63 n'est pas irréductible (on peut encore diviser par 21).
  • Croire qu'un numérateur premier rend la fraction irréductible : 17/51 = 1/3.
  • Simplifier 0/b ou b/0 : 0/7 = 0, mais 7/0 n'existe pas.

Pour vérifier une simplification, effectuez le produit en croix : 84/126 = 2/3 car 84 × 3 = 252 et 126 × 2 = 252. Vous pouvez aussi saisir la fraction dans le solveur de maths et comparer chaque étape.

Pour vous entraîner, la fiche d'exercices « Simplifier des fractions » propose des fractions de difficulté croissante, avec corrigé détaillé.

Questions fréquentes

Comment simplifier une fraction rapidement ?

Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : vous obtenez la fraction irréductible en une seule étape. Si vous ne voyez pas le PGCD, simplifiez par étapes avec les critères de divisibilité (par 2 si les deux nombres sont pairs, par 3 si, pour chacun, la somme des chiffres est un multiple de 3, par 5 s'ils finissent par 0 ou 5), jusqu'à ce qu'aucun diviseur commun ne reste.

Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?

C'est une fraction qu'on ne peut plus simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun positif que 1. On dit qu'ils sont premiers entre eux. Chaque fraction a une seule forme irréductible à dénominateur positif : 84/126, 42/63 et 14/21 aboutissent toutes à 2/3.

Comment savoir si une fraction est simplifiable ?

Calculez le PGCD du numérateur et du dénominateur. S'il vaut 1, la fraction est irréductible ; sinon, elle se simplifie par ce PGCD. En pratique, testez d'abord les petits diviseurs premiers 2, 3, 5, 7 et 11. Méfiez-vous des numérateurs premiers : 17/51 se simplifie, car 51 = 3 × 17, et vaut 1/3.

Comment simplifier une fraction avec des nombres décimaux ?

Multipliez le numérateur et le dénominateur par une même puissance de 10 pour obtenir des entiers, puis simplifiez normalement. Par exemple, 1,5/4,5 = 15/45 = 1/3. Pour un nombre décimal seul, écrivez-le comme une fraction décimale : 0,375 = 375/1000 = 3/8.

Peut-on simplifier une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des sommes ?

Pas terme à terme. Dans (2 + 4)/(2 + 6), on ne barre pas les 2 : on calcule d'abord 6/8, puis on simplifie en 3/4. On ne simplifie que des facteurs communs. Avec des lettres, il faut donc d'abord factoriser le numérateur et le dénominateur.

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Mis à jour le 6 octobre 2026