Produit en croix et règle de trois : méthode et exemples

Sommaire

1. Proportionnalité : quand deux grandeurs varient ensemble
2. La règle du produit en croix
3. La règle de trois : le retour à l'unité
4. Exemples d'utilisation
5. Quand ne pas utiliser le produit en croix
6. Le produit en croix dans les équations
7. Les erreurs fréquentes
8. Questions fréquentes

Choisissez le produit en croix, la règle de trois avec retour à l'unité, ou la vérification d'un tableau. Les noms des grandeurs (« Masse (kg) », « Prix (€) ») sont facultatifs mais rendent le tableau plus lisible. Pour vérifier un tableau, tapez chaque ligne avec des points-virgules : 2 ; 3 ; 5.

Proportionnalité : quand deux grandeurs varient ensemble

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Le prix payé est proportionnel à la masse achetée : avec un prix au kilo de 1,50 €, 2 kg coûtent 3 €, 4 kg coûtent 6 €, et ainsi de suite. On range ces valeurs dans un tableau de proportionnalité.

Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on calcule les quotients de chaque colonne : ils doivent tous être égaux.

Graphiquement, une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l'origine du repère : c'est une fonction linéaire, cas particulier de la fonction affine où l'ordonnée à l'origine est nulle.

La règle du produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité, les produits « en croix » de deux colonnes sont égaux. Pour un tableau dont la première colonne contient a et b, et la seconde c et x :

a × x = b × c   donc   x = b × ca   (a ≠ 0)

Cette égalité vient des fractions égales : les quotients b/a et x/c valent tous deux le coefficient de proportionnalité, et deux fractions sont égales exactement quand leurs produits en croix le sont. Le nombre x s'appelle la quatrième proportionnelle.

Où que se trouve l'inconnue dans le tableau, la règle reste la même : on multiplie les deux nombres de la diagonale complète, puis on divise par le nombre situé en face de x, sur l'autre diagonale.

La règle de trois : le retour à l'unité

La règle de trois (ou règle de 3) aboutit au même résultat en deux temps : on calcule d'abord la valeur pour une unité, puis on multiplie par la quantité voulue. Elle est souvent plus parlante, car l'étape intermédiaire a un sens concret : le prix d'un cahier, la distance parcourue en une heure.

Le produit en croix donne directement 12 × 8 ÷ 5 = 19,2, soit 19,20 €. Quand la valeur pour une unité tombe mal (12 ÷ 7, par exemple), le produit en croix évite un arrondi intermédiaire : on multiplie d'abord, on divise à la fin.

Exemples d'utilisation

Adapter une recette

Une recette demande 250 g de farine pour 6 personnes. Pour 4 personnes, il faut 250 × 4 ÷ 6 ≈ 166,7 g, soit environ 167 g. Toutes les quantités de la recette suivent le même coefficient, 4/6 = 2/3.

Vitesse, distance et durée

À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée. Une voiture parcourt 150 km en 2 h : en 45 min, elle parcourt 150 × 45 ÷ 120 = 56,25 km. Les durées doivent être dans la même unité : ici, 2 h = 120 min.

Conversions d'unités

Un pouce mesure 2,54 cm. Un écran de 15,6 pouces de diagonale mesure donc 15,6 × 2,54 ≈ 39,6 cm. Une voiture qui consomme 6,5 L aux 100 km utilise 6,5 × 340 ÷ 100 = 22,1 L pour 340 km.

Échelles de cartes et de plans

Sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m. Une distance de 4 cm sur la carte vaut 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km. Inversement, 3,5 km (350 000 cm) se représentent par 350 000 ÷ 25 000 = 14 cm.

Pourcentages

Un pourcentage est une proportion sur 100 : 18 élèves sur 24 représentent 18 × 100 ÷ 24 = 75 %. C'est la base du calcul de pourcentage, et le taux d'une hausse se calcule de la même façon, en comparant l'écart à la valeur de départ, comme pour un pourcentage d'augmentation ou de diminution.

Quand ne pas utiliser le produit en croix

Le produit en croix n'est valable que si les grandeurs sont proportionnelles. Appliqué ailleurs, il donne un résultat faux sans prévenir. Méfiez-vous en particulier de ces situations :

• Une part fixe : un taxi facture 4 € de prise en charge plus 1,50 € par km. 10 km coûtent 19 €, mais 20 km coûtent 34 €, pas 38 €. C'est une fonction affine, pas linéaire.
• Une proportionnalité inverse : si 4 ouvriers font un travail en 6 jours, 3 ouvriers mettront 8 jours (car 4 × 6 = 24 jours de travail), et non 4,5 jours.
• Des températures : 20 °C valent 68 °F, mais 40 °C valent 104 °F, pas 136 °F, car F = 1,8 × C + 32.
• Des aires à l'échelle : sur un plan au 1/100, les longueurs sont divisées par 100, mais les aires par 10 000.
• Des grandeurs simplement liées : l'âge et la taille d'un enfant augmentent ensemble sans être proportionnels.

Avant de faire un produit en croix, demandez-vous : « si je double la première grandeur, la seconde double-t-elle aussi ? ». Si la réponse est non, la situation n'est pas proportionnelle.

Le produit en croix dans les équations

Le produit en croix sert aussi à résoudre une équation de la forme x/a = b/c. Avec x/4 = 3/5, on obtient 5x = 12, donc x = 12/5 = 2,4. C'est une équation du premier degré qu'on résout en une étape. On le retrouve en géométrie avec le théorème de Thalès, dont les rapports de longueurs égaux forment un tableau de proportionnalité.

Les erreurs fréquentes

• Se tromper de diagonale : on multiplie les deux nombres qui se font face en diagonale sans x, puis on divise par le troisième.
• Mélanger les unités : des heures dans une colonne et des minutes dans l'autre faussent tout le calcul.
• Arrondir trop tôt : multipliez avant de diviser pour garder un résultat exact.
• Appliquer la méthode hors proportionnalité : tarifs avec abonnement, températures, proportionnalité inverse.

Le produit en croix fait partie du dossier sur le calcul de pourcentage et la proportionnalité. Pour un problème plus complexe qui se ramène à une équation, le solveur de maths rédige la résolution complète.

Questions fréquentes

Comment faire un produit en croix ?

Placez les quatre valeurs dans un tableau de proportionnalité, l'inconnue x à la place de la valeur manquante. Multipliez les deux nombres situés en diagonale l'un de l'autre (celle qui ne contient pas x), puis divisez par le nombre restant, qui est en face de x. Si 3 kg coûtent 4,50 €, 7 kg coûtent 4,50 × 7 ÷ 3 = 10,50 €.

Quelle est la différence entre le produit en croix et la règle de trois ?

Les deux méthodes donnent le même résultat dans une situation de proportionnalité. La règle de trois passe par l'unité : 5 cahiers coûtent 12 €, donc 1 cahier coûte 12 ÷ 5 = 2,40 €, et 8 cahiers coûtent 2,40 × 8 = 19,20 €. Le produit en croix fait le calcul en une ligne : 12 × 8 ÷ 5 = 19,20 €.

Comment savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité ?

Divisez chaque nombre de la deuxième ligne par le nombre correspondant de la première. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est proportionnel et ce quotient est le coefficient de proportionnalité. Vous pouvez aussi vérifier que les produits en croix sont égaux pour chaque paire de colonnes.

Peut-on utiliser le produit en croix pour calculer un pourcentage ?

Oui, car un pourcentage est une proportion rapportée à 100. Pour savoir quel pourcentage représentent 18 élèves sur 24, on écrit le tableau 18 → 24 et x → 100 : x = 18 × 100 ÷ 24 = 75 %. Pour une évolution successive en revanche, il faut multiplier les coefficients.

Quand ne faut-il pas utiliser le produit en croix ?

Dès que les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles : un tarif avec une part fixe (abonnement, prise en charge d'un taxi), une conversion de degrés Celsius en Fahrenheit, l'âge et la taille d'un enfant, ou une situation où une grandeur diminue quand l'autre augmente, comme le nombre d'ouvriers et la durée d'un chantier.

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Mis à jour le 6 octobre 2026