Fonction exponentielle : définition, propriétés et exemples

Sommaire

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Propriétés et formules de l'exponentielle
3. Dérivée, variations et courbe
4. Dérivée de eu et fonctions ekx
5. Équations et inéquations avec l'exponentielle
6. La croissance exponentielle
7. L'exponentielle complexe
8. Les erreurs fréquentes
9. Questions fréquentes

Saisissez une expression comme e^(2ln(3)) ou (e^2)^3 / e^4 : l'outil applique les règles de calcul une à une et donne la forme simplifiée. Il résout aussi les équations du type e^x = 5. Mettez l'exposant entre parenthèses dès qu'il contient plus d'un caractère : e^(−x), e^(2x + 1).

Définition de la fonction exponentielle

On admet qu'il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ vérifiant f′ = f et f(0) = 1 : c'est la fonction exponentielle. Elle est au programme de la spécialité mathématiques de première. La condition f′ = f signifie que la fonction croît d'autant plus vite qu'elle est grande : sa pente en chaque point est égale à sa valeur.

Cette propriété permet d'approcher la fonction pas à pas (méthode d'Euler) : pour un petit pas h, f(x + h) ≈ f(x) + h f(x) = (1 + h)f(x). Partant de f(0) = 1 avec h = 0,1, dix pas donnent f(1) ≈ 1,1¹⁰ ≈ 2,594 ; avec h = 0,01, 1,01¹⁰⁰ ≈ 2,705. Les approximations se rapprochent du nombre e.

Le nombre e : exponentielle de 1

Le nombre e = exp(1) ≈ 2,71828 est irrationnel. Les propriétés algébriques montrent que exp(n) = eⁿ pour tout entier n, ce qui justifie la notation e^x pour tout réel x. On l'obtient aussi comme limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n tend vers +∞.

Une fonction strictement positive

L'exponentielle ne s'annule jamais. En effet, la fonction x ↦ e^xe^−x a une dérivée nulle (e^xe^−x − e^xe^−x = 0) : elle est constante, égale à sa valeur en 0, soit 1. Donc e^x × e^−x = 1, et e^x ne peut pas être nul. Comme la fonction est continue, vaut 1 en 0 et ne s'annule pas, elle reste strictement positive : e^x > 0 pour tout réel x.

Propriétés et formules de l'exponentielle

Pour tous réels a et b et tout entier relatif n :

Ce sont les règles des puissances, étendues à des exposants réels. La propriété clé est la première : un exposant qui est une somme donne un produit.

e^{a + b} = e^a × e^b     e^−a = 1e^a

Trois pièges reviennent souvent : e^{a + b} n'est pas e^a + e^b ; e^ab n'est pas e^a × e^b ; e^−x n'est pas −e^x, qui est négatif.

Dérivée, variations et courbe

Par définition, (e^x)′ = e^x. Comme e^x > 0, la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa dérivée seconde est encore e^x > 0 : elle est convexe, et sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = x + 1. On en déduit e^x ≥ x + 1 pour tout réel x.

La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e). Elle est symétrique de celle du logarithme népérien par rapport à la droite y = x, puisque ln est la fonction réciproque de exp.

Limites et croissances comparées

lim_{x → −∞} e^x = 0     lim_{x → +∞} e^x = +∞

En −∞, l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe. En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x : e^x/xⁿ tend vers +∞ et xⁿe^x tend vers 0 en −∞. Enfin, (e^x − 1)/x tend vers 1 en 0, nombre dérivé de l'exponentielle en 0. Ces outils sont détaillés dans le cours de calcul de limites.

Dérivée de e^u et fonctions e^kx

Si u est dérivable, la composée e^u l'est aussi :

(e^u)′ = u′e^u

Ainsi, (e^{−2x + 1})′ = −2e^{−2x + 1} et (e^x2)′ = 2x e^x2. Puisque e^u > 0, la dérivée a le signe de u′ : e^u varie dans le même sens que u. En particulier, x ↦ e^kx est croissante si k > 0 et décroissante si k < 0, comme e^−x. Les autres formules sont réunies dans le cours sur les dérivées, et le calcul de dérivée en ligne les applique pas à pas.

La fonction y(x) = Ce^kx vérifie y′ = ky : ce sont exactement les solutions de cette équation différentielle. Dans l'autre sens, une primitive de e^{ax + b} (a ≠ 0) est e^{ax + b}/a.

Équations et inéquations avec l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante, d'où deux équivalences :

e^A = e^B ⇔ A = B     e^A < e^B ⇔ A < B

Pour e^A = k : si k > 0, on passe au logarithme, A = ln k ; si k ≤ 0, il n'y a aucune solution.

• Deux exponentielles : e^{2x − 1} = e^{x + 3} équivaut à 2x − 1 = x + 3, donc S = {4}.
• Une inéquation : e^3x > e^{x + 4} équivaut à 3x > x + 4, soit x > 2 : S = ]2 ; +∞[. De même, e^x ≤ 5 donne S = ]−∞ ; ln 5].
• Toujours vraie : e^x > −2 pour tout réel, donc S = ℝ ; et e^x = −2 n'a aucune solution.
• Changement d'inconnue : dans e^2x − 3e^x + 2 = 0, on pose X = e^x (avec X > 0), car e^2x = X². L'équation du second degré X² − 3X + 2 = 0 a pour solutions 1 et 2, d'où x = 0 ou x = ln 2.

La croissance exponentielle

Une grandeur a une croissance exponentielle quand elle est multipliée par le même facteur sur des durées égales, au lieu d'augmenter de la même quantité. La différence avec la croissance linéaire d'une fonction affine est spectaculaire à long terme : ajouter 100 € par an à 1 000 € donne 4 000 € en 30 ans, alors qu'un placement à 5 % par an, de facteur 1,05, donne 1 000 × 1,05³⁰ ≈ 4 322 €, puis 11 467 € au bout de 50 ans contre 6 000 €.

En temps discret, une hausse de t % par période donne une suite géométrique de raison 1 + t/100. En temps continu, on écrit N(t) = N₀e^kt. Le temps de doublement T vérifie e^kT = 2, soit :

T = ln 2k

Avec k = 0,05 par an, T ≈ 0,693/0,05 ≈ 13,9 ans. Dans l'autre sens, la décroissance radioactive suit N(t) = N₀e^−λt, et la demi-vie vaut ln 2/λ. Celle du carbone 14 est d'environ 5 730 ans : au bout de trois demi-vies, soit environ 17 000 ans, il reste un huitième des noyaux initiaux.

Plus généralement, pour a > 0, la fonction x ↦ a^x se définit par a^x = e^{x ln a} : elle est croissante si a > 1, décroissante si 0 < a < 1.

L'exponentielle complexe

Avec les nombres complexes, on pose e^iθ = cos θ + i sin θ. Tout complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle z = re^iθ, avec r son module et θ un argument, et la règle e^iθe^iθ′ = e^{i(θ + θ′)} reste vraie.

Les erreurs fréquentes

• Additionner les exponentielles : e² + e³ ne vaut pas e⁵ ; c'est le produit qui vaut e⁵.
• Oublier u′ : la dérivée de e^5x est 5e^5x, pas e^5x.
• Chercher une solution à e^x = 0 ou à une valeur négative : il n'y en a pas.
• Croire que e^−x est négatif : il est positif, égal à 1/e^x.
• Diviser par une exponentielle sans le dire : c'est permis (elle n'est jamais nulle), mais la justification « car e^x > 0 » est attendue sur une copie.

Dans une étude de signe, un facteur e^u se raye : il est toujours strictement positif. Le signe de (1 − x)e^−x est celui de 1 − x, ce qui simplifie le tableau de variation. Pour vérifier vos calculs, comparez-les au solveur mathématique.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la fonction exponentielle ?

C'est l'unique fonction dérivable sur ℝ égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 : f′ = f et f(0) = 1. On la note exp ou x ↦ e^x. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ, et transforme les sommes en produits : e^{a + b} = e^a × e^b.

Combien vaut exponentielle de 1 ?

exp(1) = e, un nombre irrationnel qui vaut environ 2,71828. C'est la base de l'exponentielle : pour tout entier n, exp(n) = eⁿ. On peut aussi l'obtenir comme limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n tend vers +∞.

Quelle est la dérivée de e^u ?

(e^u)′ = u′e^u : on recopie l'exponentielle et on la multiplie par la dérivée de l'exposant. Par exemple, la dérivée de e^3x est 3e^3x, celle de e^x2 est 2x e^x2. Le signe de cette dérivée est celui de u′, puisque e^u > 0.

Comment résoudre une équation avec une exponentielle ?

Si l'équation s'écrit e^A = e^B, résolvez A = B. Si elle s'écrit e^A = k, appliquez le logarithme : A = ln k lorsque k > 0, et aucune solution lorsque k ≤ 0. Si plusieurs exponentielles apparaissent, posez X = e^x pour vous ramener à une équation polynomiale.

Quel est le domaine de définition de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle est définie sur tout ℝ : on peut calculer e^x pour n'importe quel réel x, positif ou négatif. En revanche, ses valeurs sont toujours strictement positives : son ensemble image est ]0 ; +∞[. C'est l'ensemble de définition de sa réciproque, le logarithme népérien.

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Mis à jour le 6 octobre 2026