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Calculer une intégrale : calculateur en ligne et méthode pas à pas

Pour calculer une intégrale d'une fonction continue f entre a et b, on cherche une primitive F de f puis on calcule F(b) − F(a). Ce calculateur d'intégrale fait ce travail à votre place et rédige chaque étape : primitive, crochet, simplification, aire et courbe. Sans primitive usuelle, il donne une valeur approchée.

Intégrale de a à b de f(x) dx

Représentation graphique
−1−0,50,511,522,53−112345678910

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On calcule l’intégrale
  2. Une primitive de f est
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
  4. On simplifie
  5. f est positive sur [0 ; 2] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe
  1. On calcule l’intégrale∫02 (x2 + 1) dx
  2. Une primitive de f estF(x) = x33 + xune primitive de xn est xn+1n+1 (n ≠ −1) ; une primitive de k est kx
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)[x33 + x]02 = 143 − 0
  4. On simplifie∫02 (x2 + 1) dx = 143 ≈ 4,6667
  5. f est positive sur [0 ; 2] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe𝒜 = 143 ≈ 4,6667 u.a.u.a. : unité d’aire

∫02 f(x) dx = 143 ≈ 4,6667

Saisissez la fonction dans le premier champ (x^2 + 1, 3/x, e^(-x), cos(2x)…), puis les deux bornes. Les bornes acceptent les fractions (1/2), les racines (√2) et les constantes π, e ou ln 2. Le résultat est donné sous forme exacte, puis arrondi ; le domaine correspondant est coloré sur la courbe.

Calculer une intégrale avec une primitive

La méthode repose sur le théorème fondamental de l'analyse : si F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b, alors

∫ab f(x) dx = [F(x)]ab = F(b) − F(a)

  1. Vérifier la continuité. La fonction doit être définie et continue sur tout [a ; b]. Avec 1/x, les bornes doivent être du même signe.
  2. Trouver une primitive. Utilisez la linéarité et le tableau des primitives usuelles ; inutile d'ajouter la constante C, elle s'élimine.
  3. Écrire le crochet. [F(x)]ab se lit « F(x) pris entre a et b ».
  4. Calculer F(b) − F(a). Remplacez x par chaque borne, mettez F(a) entre parenthèses, puis simplifiez en gardant une valeur exacte.

Exemple : intégrale de x² + 1 entre 0 et 2

La méthode en bref

  1. On calcule l’intégrale
  2. Une primitive de f est
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
  4. On simplifie
  5. f est positive sur [0 ; 2] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe
  1. On calcule l’intégrale∫02 (x2 + 1) dx
  2. Une primitive de f estF(x) = x33 + xune primitive de xn est xn+1n+1 (n ≠ −1) ; une primitive de k est kx
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)[x33 + x]02 = 143 − 0
  4. On simplifie∫02 (x2 + 1) dx = 143 ≈ 4,6667
  5. f est positive sur [0 ; 2] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe𝒜 = 143 ≈ 4,6667 u.a.u.a. : unité d’aire

∫02 f(x) dx = 143 ≈ 4,6667

La fonction exponentielle est sa propre primitive, ce qui rend le calcul très court :

Exemple : intégrale de eˣ entre 0 et 1

La méthode en bref

  1. On calcule l’intégrale
  2. Une primitive de f est
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
  4. On simplifie
  5. f est positive sur [0 ; 1] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe
  1. On calcule l’intégrale∫01 ex dx
  2. Une primitive de f estF(x) = exune primitive de ex est ex
  3. On applique ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)[ex]01 = e − 1
  4. On simplifie∫01 ex dx = e − 1 ≈ 1,7183
  5. f est positive sur [0 ; 1] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe𝒜 = e − 1 ≈ 1,7183 u.a.u.a. : unité d’aire

∫01 f(x) dx = e − 1 ≈ 1,7183

Deux autres exemples rédigés à la main. Avec la forme u′/u : ∫01 2xx2 + 1 dx = [ln(x2 + 1)]01 = ln 2 − ln 1 = ln 2 ≈ 0,693. Avec un cosinus : ∫0π/4 cos(2x) dx = [sin(2x)/2]0π/4 = 1/2 − 0 = 1/2.

Les pièges du crochet

  • L'ordre est toujours borne du haut moins borne du bas. Échanger les bornes change le signe du résultat.
  • Les parenthèses autour de F(a) sont indispensables : ∫−22 (4 − x2) dx = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16/3 + 8 − 8/3 = 32/3. Le signe moins s'applique à tous les termes de F(a) : en oubliant de changer le signe de 8/3, on trouverait 16.
  • Les angles sont en radians : la borne est π/2, pas 90.
  • Pour une fonction définie par morceaux ou avec une valeur absolue, on découpe avec la relation de Chasles : ∫−12 |x| dx = ∫−10 (−x) dx + ∫02 x dx = 1/2 + 2 = 5/2.

Quand la fonction est un produit, comme x ex ou x sin x, aucune primitive ne se lit directement : on passe par l'intégration par parties.

Calculer l'aire entre deux courbes

Si f(x) ≥ g(x) pour tout x de [a ; b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites x = a et x = b vaut :

𝒜 = ∫ab (f(x) − g(x)) dx  u.a.

Exemple. Calculons l'aire comprise entre la droite y = x et la parabole y = x2. Les courbes se coupent quand x = x2, soit x(x − 1) = 0 : en 0 et en 1. Sur [0 ; 1], x − x2 = x(1 − x) ≥ 0, donc la droite est au-dessus. L'aire vaut ∫01 (x − x2) dx = [x2/2 − x3/3]01 = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a. Le calculateur retrouve ce résultat si vous saisissez x - x^2 entre 0 et 1.

Si les courbes se croisent à l'intérieur de l'intervalle, la fonction du dessus change : découpez [a ; b] à chaque point d'intersection et intégrez à chaque fois « dessus moins dessous ». Pour repérer ces points et la position des courbes, tracez-les avec la calculatrice graphique.

Convertir des unités d'aire en cm²

Le résultat est en unités d'aire. Si l'unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées, 1 u.a. = 2 cm2. Une intégrale de 14/3 correspond alors à une aire de 28/3 cm2, soit environ 9,33 cm2.

Valeur approchée : rectangles, trapèzes et Simpson

Certaines fonctions continues, comme e−x2, sin(x)/x ou √1 + x3, n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On découpe alors [a ; b] en n intervalles de même largeur h = (b − a)/n, de bornes xk = a + kh pour k allant de 0 à n, et l'on additionne des aires simples.

MéthodeFormuleErreur (fonction régulière)
Rectangles à gaucheh [f(x0) + f(x1) + … + f(xn−1)]proportionnelle à 1/n
Rectangles à droiteh [f(x1) + f(x2) + … + f(xn)]proportionnelle à 1/n
Point milieuh [f(a + h/2) + f(a + 3h/2) + … ], valeurs au milieu de chaque intervalleproportionnelle à 1/n2
Trapèzesh [f(x0) + f(xn)2 + f(x1) + … + f(xn−1)]proportionnelle à 1/n2
Simpson (n pair)h3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 2f(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)]proportionnelle à 1/n4

Les rectangles remplacent la courbe par une fonction en escalier, les trapèzes par une ligne brisée, la méthode de Simpson par des arcs de parabole passant par trois points consécutifs. Doubler n divise environ l'erreur par 2 avec les rectangles, par 4 avec les trapèzes et par 16 avec Simpson. La méthode des trapèzes revient à faire la moyenne des rectangles à gauche et à droite.

Comparaison sur ∫01 e−x2 dx avec n = 4 (h = 0,25). Les valeurs de la fonction sont, arrondies : f(0) = 1, f(0,25) ≈ 0,939413, f(0,5) ≈ 0,778801, f(0,75) ≈ 0,569783 et f(1) ≈ 0,367879.

Méthode (n = 4)Valeur approchéeÉcart à la valeur 0,746824
Rectangles à gauche0,8220+0,075
Rectangles à droite0,6640−0,083
Point milieu0,7487+0,0019
Trapèzes0,7430−0,0038
Simpson0,7469+0,00003

Avec seulement cinq valeurs de la fonction, la méthode de Simpson approche déjà l'intégrale à 10−4 près (écart de 0,00003). Comme cette fonction est décroissante sur [0 ; 1], les rectangles à gauche donnent une valeur par excès et ceux de droite une valeur par défaut : l'intégrale est encadrée entre 0,6640 et 0,8220. Le calculateur applique la méthode de Simpson avec 2 000 subdivisions :

Sans primitive usuelle : valeur approchée

La méthode en bref

  1. On calcule l’intégrale
  2. Pas de primitive exacte avec les formules usuelles : valeur approchée par la méthode de Simpson (2 000 subdivisions)
  3. f est positive sur [0 ; 1] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe
  1. On calcule l’intégrale∫01 e−x2 dx
  2. Pas de primitive exacte avec les formules usuelles : valeur approchée par la méthode de Simpson (2 000 subdivisions)∫01 e−x2 dx ≈ 0,746824valeur approchée
  3. f est positive sur [0 ; 1] : l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe𝒜 ≈ 0,7468 u.a.u.a. : unité d’aire

∫01 f(x) dx ≈ 0,746824

Simplifier avant de calculer

Les propriétés de l'intégrale évitent bien des calculs. La linéarité permet de sortir les constantes et d'intégrer terme à terme. La relation de Chasles découpe l'intervalle. La parité est un gain de temps : si f est impaire, son intégrale entre −a et a est nulle, comme ∫−11 x3 dx = 0 ; si elle est paire, elle vaut deux fois l'intégrale entre 0 et a. Ces propriétés, la notion d'aire algébrique et la valeur moyenne sont présentées dans le cours sur les intégrales.

Après le baccalauréat s'ajoute le changement de variable, qui transforme une intégrale en une autre plus simple en posant par exemple t = x2. Au lycée, les formes composées du tableau des primitives (u′un, u′eu…) jouent ce rôle. Les intégrales servent enfin à résoudre les équations différentielles les plus simples, de la forme y′ = f(x).

Vérifier un calcul d'intégrale

  • Le signe : une fonction positive sur [a ; b], avec a < b, a une intégrale positive.
  • L'ordre de grandeur : si m ≤ f ≤ M sur l'intervalle, l'intégrale est comprise entre m(b − a) et M(b − a).
  • La primitive : dérivez-la, vous devez retrouver la fonction de départ.
  • La valeur décimale : comparez votre résultat exact, une fois arrondi, à celle du calculateur.

Pour reprendre un exercice entier, du calcul de la primitive à la conclusion, le solveur de maths en ligne rédige la correction comme sur une copie.

Questions fréquentes

Comment calculer une intégrale ?

Vérifiez que la fonction est continue sur [a ; b], cherchez une primitive F, écrivez le crochet [F(x)]ab, puis calculez F(b) − F(a). Par exemple, ∫02 (x2 + 1) dx = [x3/3 + x]02 = 8/3 + 2 = 14/3.

Comment calculer une intégrale sans primitive ?

Quand aucune primitive ne s'écrit avec les fonctions usuelles, comme pour e−x2, on calcule une valeur approchée : on découpe [a ; b] en n morceaux et l'on additionne des aires de rectangles, de trapèzes ou d'arcs de parabole (méthode de Simpson). Plus n est grand, plus la valeur est précise ; la méthode de Simpson converge de loin le plus vite.

Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

Cherchez les abscisses des points d'intersection en résolvant f(x) = g(x), étudiez le signe de f − g, puis intégrez la fonction du dessus moins la fonction du dessous : si f ≥ g sur [a ; b], l'aire vaut ∫ab (f(x) − g(x)) dx unités d'aire. Si les courbes se croisent, découpez l'intervalle à chaque croisement.

Le calculateur d'intégrale donne-t-il une valeur exacte ?

Oui, dès qu'une primitive usuelle existe : le résultat s'affiche sous forme exacte (fraction, π, e, ln 2…) avec sa valeur décimale. Sinon, le calculateur l'indique et donne une valeur approchée à six décimales par la méthode de Simpson avec 2 000 subdivisions.

Pourquoi mon intégrale est-elle négative ?

Parce que la fonction est négative sur tout ou partie de l'intervalle, ou parce que la borne du bas est plus grande que celle du haut. Une intégrale est une aire algébrique : les parties de la courbe situées sous l'axe des abscisses comptent négativement. Pour une aire géométrique, découpez l'intervalle là où la fonction change de signe.

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