Intégrale : définition, formules et calcul pas à pas

Sommaire

1. L'intégrale, une aire sous la courbe
2. Fonction de signe quelconque : l'aire algébrique
3. Intégrale et primitive : le théorème fondamental
4. Formulaire des intégrales usuelles
5. Les propriétés de l'intégrale
6. Valeur moyenne d'une fonction
7. Les méthodes de calcul d'une intégrale
8. Intégrales et équations différentielles
9. Les applications des intégrales
10. Les erreurs fréquentes
11. Les cours du dossier intégrales
12. Questions fréquentes

Tapez la fonction avec x comme variable, par exemple x^2 + 1, e^(2x), 1/x ou sin(x), puis les bornes : des nombres, des fractions comme 1/2, ou des constantes comme π, e ou ln 2. Le calcul est exact quand une primitive usuelle existe ; sinon, le solveur donne une valeur approchée par la méthode de Simpson.

L'intégrale, une aire sous la courbe

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], avec a < b. Le domaine situé sous sa courbe est délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b. Son aire, exprimée en unités d'aire, est l'intégrale de f de a à b.

L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les unités des deux axes. Si une unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées, alors 1 u.a. = 2 cm². Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, 1 u.a. = 1 cm².

Pour les fonctions les plus simples, la géométrie suffit. La fonction constante égale à 2 délimite entre 0 et 3 un rectangle de 3 sur 2 : ∫₀³ 2 dx = 6. La fonction x ↦ x délimite entre 0 et 4 un triangle rectangle de base 4 et de hauteur 4 : ∫₀⁴ x dx = 4 × 4 / 2 = 8. Pour une courbe, on approche l'aire par des rectangles de plus en plus fins : la limite de leur somme est l'intégrale. C'est l'idée qui fonde la définition, et c'est aussi ainsi qu'on calcule une valeur approchée.

Notation et vocabulaire

Dans ∫_a^b f(x) dx, on lit « intégrale de a à b de f(x) dx ». Les nombres a et b sont les bornes d'intégration, f est l'intégrande et dx indique la variable d'intégration. Cette variable est muette : ∫₀¹ x² dx = ∫₀¹ t² dt = 1/3, car le résultat ne dépend que de la fonction et des bornes. Le symbole ∫, un S allongé qui rappelle le mot « somme », a été introduit par Leibniz à la fin du XVII^e siècle.

On complète la définition par deux conventions : ∫_a^a f(x) dx = 0 et ∫_b^a f(x) dx = −∫_a^b f(x) dx. Échanger les bornes change donc le signe de l'intégrale.

Fonction de signe quelconque : l'aire algébrique

Si f est négative sur [a ; b], sa courbe est sous l'axe des abscisses et l'intégrale est l'opposé de l'aire du domaine. Si f change de signe, l'intégrale compte positivement les aires situées au-dessus de l'axe et négativement celles situées au-dessous : on parle d'aire algébrique.

Prenons f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2]. Cette fonction est négative sur [0 ; 1] et positive sur [1 ; 2]. Le solveur donne l'intégrale sur l'intervalle entier :

Ce résultat, 2/3, n'est pas l'aire du domaine coloré. Avec la primitive F(x) = x³/3 − x, on obtient ∫₀¹ (x² − 1) dx = 1/3 − 1 = −2/3 et ∫₁² (x² − 1) dx = 2/3 − (−2/3) = 4/3. L'intégrale vaut bien −2/3 + 4/3 = 2/3, mais l'aire géométrique est 2/3 + 4/3 = 2 u.a. Pour une aire, on découpe donc l'intervalle aux points où f s'annule, ce qui revient à intégrer |f|.

Une intégrale n'est une aire que si la fonction est positive et les bornes dans l'ordre croissant. Avant de conclure « l'aire vaut… », étudiez le signe de f sur l'intervalle, par exemple avec un tableau de signes.

Intégrale et primitive : le théorème fondamental

Calculer une aire par des sommes de rectangles serait long. Le théorème fondamental de l'analyse relie l'intégrale à la dérivation et donne une méthode de calcul exacte.

Théorème. Si f est continue sur un intervalle I et si a ∈ I, la fonction x ↦ ∫_a^x f(t) dt est dérivable sur I, de dérivée f. C'est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a.

Toute autre primitive F de f ne diffère de celle-ci que d'une constante. On en déduit la formule utilisée dans tous les calculs :

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

Le choix de la primitive n'a pas d'importance : avec F + C, la constante disparaît dans la différence, puisque (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Calculer une intégrale revient donc à trouver une primitive : les règles sont détaillées dans le cours sur les primitives d'une fonction, qui inverse celui sur les dérivées.

Formulaire des intégrales usuelles

Le tableau associe à chaque fonction usuelle une primitive et un exemple d'intégrale calculé avec la formule F(b) − F(a). Chaque ligne est valable sur un intervalle où la fonction est continue.

Les formes composées (u′uⁿ, u′/u, u′e^u, u′/√u) complètent ce formulaire ; elles figurent dans le tableau complet des primitives. Les calculs trigonométriques se font toujours en radians.

Les propriétés de l'intégrale

Pour des fonctions f et g continues sur un intervalle contenant a, b et c, et des réels α et β :

La relation d'ordre donne l'inégalité de la moyenne : si m ≤ f(x) ≤ M sur [a ; b], alors m(b − a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b − a). Par exemple, la fonction x ↦ e^−x2 décroît sur [0 ; 1] de 1 à e⁻¹ ≈ 0,368 : son intégrale sur [0 ; 1] est comprise entre 0,367 et 1. Sa valeur approchée, 0,7468, respecte bien cet encadrement.

La symétrie aide aussi. Si f est paire, ∫_−a^a f = 2∫₀^a f ; si elle est impaire, ∫_−a^a f = 0. Ainsi ∫₋₁¹ x³ dx = 0 sans aucun calcul.

Il n'existe en revanche aucune règle pour un produit : ∫₀¹ x × x dx = 1/3, alors que (∫₀¹ x dx)² = 1/4. Pour intégrer un produit, on utilise l'intégration par parties ou l'on reconnaît une forme composée.

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de f sur [a ; b], avec a < b, est le nombre :

μ = 1b − a ∫_a^b f(x) dx

Pour une fonction positive, c'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne de sinus sur [0 ; π] vaut 2/π ≈ 0,637, puisque l'intégrale vaut 2. Celle de x ↦ x² sur [0 ; 2] vaut (1/2) × (8/3) = 4/3.

En physique, si un mobile a pour vitesse v(t) = 2t + 1 (en m/s), la distance parcourue entre 0 et 4 s est ∫₀⁴ (2t + 1) dt = [t² + t]₀⁴ = 20 m, et sa vitesse moyenne vaut 20/4 = 5 m/s. Cette moyenne n'est pas la moyenne des vitesses extrêmes en général ; elle l'est ici seulement parce que v est affine.

Les méthodes de calcul d'une intégrale

Face à une intégrale, trois méthodes couvrent l'essentiel des cas, de la plus simple à la plus générale :

1. Trouver directement une primitive. On reconnaît une fonction du formulaire ou une forme composée, puis on applique F(b) − F(a). La méthode, l'aire entre deux courbes et les pièges du crochet sont détaillés dans le cours pour calculer une intégrale.
2. Intégrer par parties. Pour un produit comme x e^x ou x sin x, ou pour ln x, on utilise ∫_a^b uv′ = [uv]_a^b − ∫_a^b u′v. Le choix de u et de v′ est expliqué dans le cours sur l'intégration par parties.
3. Calculer une valeur approchée. Certaines fonctions continues, comme e^−x2, ont des primitives qui ne s'écrivent pas avec les fonctions usuelles. On approche alors l'intégrale par des sommes de rectangles, de trapèzes ou d'arcs de parabole (méthode de Simpson).

Dans le supérieur s'ajoute le changement de variable, qui transforme l'intégrale en une autre plus simple. Avant tout calcul, vérifiez que la fonction est continue sur tout l'intervalle : ∫₋₁¹ 1/x² dx n'a pas de sens au lycée, car la fonction n'est pas définie en 0. Appliquer la formule à l'aveugle donnerait [−1/x]₋₁¹ = −2, un résultat négatif pour une fonction positive, donc absurde.

Intégrales et équations différentielles

Chercher une fonction y telle que y′ = f est la plus simple des équations différentielles : ses solutions sont les primitives de f, et la solution qui vaut y₀ en a s'écrit y(x) = y₀ + ∫_a^x f(t) dt. Les équations plus riches, comme y′ = ay + b ou celles du second ordre, décrivent la décroissance radioactive, le refroidissement d'un corps ou la charge d'un condensateur ; elles sont résolues pas à pas dans le cours sur les équations différentielles.

Les applications des intégrales

• Aire entre deux courbes : si f ≥ g sur [a ; b], l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx. Entre la droite y = x et la parabole y = x² sur [0 ; 1], on trouve 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.
• Volume : en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la courbe d'une fonction f sur [a ; b], on obtient un solide de volume π∫_a^b f(x)² dx. Avec f(x) = r sur [0 ; h], on retrouve le volume du cylindre, πr²h.
• Probabilités : pour une variable aléatoire à densité f, la probabilité que la valeur tombe dans [a ; b] est ∫_a^b f(x) dx, et l'intégrale de la densité sur tout son domaine vaut 1. Les bases sont rappelées dans le cours de probabilités.
• Physique : la distance est l'intégrale de la vitesse, la charge électrique celle de l'intensité, le travail d'une force variable celle de la force le long du déplacement.

Les erreurs fréquentes

• Confondre intégrale et aire quand la fonction change de signe : découpez l'intervalle avec la relation de Chasles.
• Inverser le crochet : c'est F(b) − F(a), borne du haut moins borne du bas, et F(a) se met entre parenthèses quand il est négatif.
• Oublier le facteur 1/a : une primitive de e^3x est e^3x/3, pas 3e^3x.
• Calculer en degrés : avec cos et sin, les bornes sont en radians (π/2 et non 90).
• Intégrer un produit facteur par facteur : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
• Ignorer une valeur interdite entre les bornes : la fonction doit être continue sur tout [a ; b].

Pour contrôler un résultat, dérivez la primitive trouvée, comparez avec une valeur approchée ou soumettez le calcul au solveur mathématique, qui détaille chaque étape. Des énoncés pour s'entraîner sont proposés dans les exercices de maths corrigés.

Les cours du dossier intégrales

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une intégrale en mathématiques ?

L'intégrale d'une fonction continue f entre deux réels a et b, notée ∫_a^b f(x) dx, est un nombre. Si f est positive et a < b, c'est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b, exprimée en unités d'aire. Dans le cas général, c'est une aire algébrique : les parties situées sous l'axe comptent négativement.

Quelle est la différence entre une intégrale et une primitive ?

Une primitive de f est une fonction F dont la dérivée est f ; il en existe une infinité, qui diffèrent d'une constante. Une intégrale entre a et b est un nombre. Le lien entre les deux est la formule ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), valable pour n'importe quelle primitive F de f.

Comment calculer une intégrale ?

Cherchez une primitive F de la fonction à l'aide du tableau des primitives usuelles, écrivez le crochet [F(x)]_a^b, puis calculez F(b) − F(a). Si la fonction est un produit, une intégration par parties est souvent nécessaire. Si aucune primitive ne s'exprime avec les fonctions usuelles, on calcule une valeur approchée (méthode des rectangles, des trapèzes ou de Simpson).

Une intégrale peut-elle être négative ?

Oui. Si f est négative sur [a ; b], son intégrale est négative : c'est l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe. Si f change de signe, l'intégrale est la différence entre les aires situées au-dessus et au-dessous de l'axe ; elle peut alors être positive, négative ou nulle, comme ∫₋₁¹ x dx = 0. L'intégrale change aussi de signe quand on échange les bornes.

À quoi sert une intégrale ?

À calculer des aires et des volumes, des valeurs moyennes, des distances parcourues à partir d'une vitesse, des probabilités avec une densité, ou encore le travail d'une force en physique. Plus généralement, une intégrale additionne une grandeur qui varie continûment.

En quelle classe étudie-t-on les intégrales ?

Le calcul intégral (intégrale d'une fonction continue, lien avec les primitives, intégration par parties, valeur moyenne) est au programme de la spécialité mathématiques de terminale. Il est approfondi ensuite dans l'enseignement supérieur, avec notamment le changement de variable et les intégrales généralisées.

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Mis à jour le 6 octobre 2026