Théorème de Thalès : formule, configurations et exemples

Sommaire

1. L'énoncé du théorème de Thalès
2. Les deux configurations : triangle et papillon
3. Calculer une longueur avec Thalès
4. La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles
5. Rédiger sur une copie (type brevet)
6. Thalès, Pythagore et les autres outils
7. Les erreurs fréquentes
8. Questions fréquentes

Choisissez la configuration (triangle ou papillon), entrez les longueurs connues et laissez vides celles que vous cherchez, par exemple AN et MN. Le calculateur écrit l'égalité des rapports, effectue les produits en croix et dessine la figure. Le mode « réciproque » compare les rapports et conclut sur le parallélisme.

L'énoncé du théorème de Thalès

Théorème. Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A. Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :

AMAB = ANAC = MNBC

Il faut donc trois conditions : A, M, B alignés ; A, N, C alignés ; (MN) parallèle à (BC). Les deux triangles AMN et ABC ont alors des côtés proportionnels : AMN est une réduction (ou un agrandissement) de ABC, de coefficient k = AM/AB.

Pour ne pas se tromper de rapport, écrivez en haut les côtés du triangle AMN et en bas les côtés correspondants du triangle ABC, dans le même ordre. Un tableau de proportionnalité aide à le visualiser :

Le nom vient de Thalès de Milet, savant grec du VI^e siècle avant notre ère. Cette appellation est surtout française : en anglais, on parle d'intercept theorem, et ailleurs le « théorème de Thalès » désigne un autre résultat, celui du triangle inscrit dans un demi-cercle.

Les deux configurations : triangle et papillon

Configuration triangle

M est sur la demi-droite [AB) et N sur la demi-droite [AC) : le petit triangle AMN est « emboîté » dans le grand triangle ABC. Le plus souvent, M est sur le segment [AB] et N sur [AC]. Le théorème reste vrai si M et N sont au-delà de B et C : AMN est alors le grand triangle, et les rapports sont supérieurs à 1.

Configuration papillon

A est entre M et B, et entre N et C : les deux triangles sont opposés par le sommet A et forment un « nœud papillon ». Les rapports s'écrivent exactement de la même façon, avec les longueurs mesurées depuis A.

Dans les deux cas, repérez le point commun A aux deux droites sécantes : toutes les longueurs des deux premiers rapports partent de A. Les côtés parallèles MN et BC forment le troisième rapport.

Calculer une longueur avec Thalès

La méthode : vérifier les hypothèses, écrire l'égalité des trois rapports, remplacer par les longueurs connues, choisir les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et une seule inconnue, puis conclure par un produit en croix.

En configuration papillon, le calcul est identique. Ici, les rapports valent 3/4,5 = 2/3 : le triangle AMN est une réduction de ABC de coefficient 2/3.

Le calcul de MN utilise toujours le rapport MN/BC, celui des côtés parallèles. En revanche, MB, NC ou toute autre longueur qui ne part pas de A ne figure dans aucun rapport : si l'énoncé donne MB, calculez d'abord AB = AM + MB (en configuration triangle).

Un problème concret : la hauteur d'un arbre

Un bâton vertical de 1,5 m est planté de sorte que l'extrémité de son ombre coïncide avec celle de l'ombre d'un arbre. L'ombre du bâton mesure 2 m et celle de l'arbre 12 m. Les rayons du soleil passent par le sommet du bâton et celui de l'arbre ; le bâton et l'arbre, tous deux verticaux, sont parallèles. On est en configuration triangle, de sommet A le bout des ombres :

212 = 1,5h  donc  h = 12 × 1,52 = 9 m

La réciproque : démontrer que deux droites sont parallèles

Réciproque. Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Deux détails font la différence sur une copie :

• On compare uniquement AM/AB et AN/AC. Le rapport MN/BC ne sert pas : l'égalité AM/AB = MN/BC ne suffit pas à prouver le parallélisme.
• L'ordre des points compte. Si M est entre A et B, N doit être entre A et C ; si A est entre M et B, il doit être entre N et C. Sans cette condition, les rapports peuvent être égaux avec des droites non parallèles.

Calculez les deux rapports séparément. Pour éviter les arrondis, comparez plutôt les produits en croix AM × AC et AN × AB : ils sont égaux exactement quand les rapports le sont.

La contraposée : prouver que des droites ne sont pas parallèles

Si AM/AB ≠ AN/AC, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. C'est la contraposée du théorème. Ne concluez jamais à partir de valeurs arrondies : 0,571 et 0,6 sont différents, mais deux arrondis égaux ne prouvent pas une égalité.

Rédiger sur une copie (type brevet)

1. Citer les hypothèses. « Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. »
2. Citer le théorème et écrire les rapports. « D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC. »
3. Remplacer. « 4/6 = AN/9 = MN/7,5. »
4. Calculer par produit en croix. « AN = 4 × 9 ÷ 6 = 6. »
5. Conclure avec l'unité. « AN mesure 6 cm. »

Pour la réciproque : « D'une part AM/AB = …, d'autre part AN/AC = … Les rapports sont égaux et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. »

Thalès, Pythagore et les autres outils

Choisir le bon théorème dépend de l'hypothèse disponible : des droites parallèles appellent Thalès, un angle droit appelle le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. Les sujets de brevet les enchaînent souvent : Pythagore donne une longueur dans un triangle rectangle, puis Thalès la reporte dans un triangle agrandi.

La proportionnalité de Thalès a aussi des conséquences sur les autres grandeurs. Si un triangle est réduit d'un coefficient k, ses longueurs sont multipliées par k mais son aire est multipliée par k² : avec k = 2/3, l'aire du petit triangle vaut 4/9 de celle du grand. Les formules d'aires des figures permettent de le vérifier.

Au lycée, le théorème se reformule avec les vecteurs : (MN) parallèle à (BC) avec M et N sur les côtés se traduit par AM = k AB et AN = k AC, d'où MN = k BC.

Les erreurs fréquentes

• Mélanger les triangles dans un rapport : en haut les côtés du triangle AMN, en bas ceux de ABC, sans jamais intervertir.
• Utiliser MB ou NC dans un rapport : les longueurs des deux premiers rapports partent toujours de A.
• Appliquer le théorème sans parallèles : sans (MN) // (BC) donné ou démontré, les rapports ne sont pas égaux.
• Utiliser la réciproque avec MN/BC : seuls AM/AB et AN/AC permettent de conclure.
• Oublier l'ordre des points dans la réciproque, en particulier en configuration papillon.
• Comparer des arrondis : utilisez les fractions ou les produits en croix.

Pour vérifier un exercice, saisissez vos longueurs dans le solveur de maths gratuit : il rédige le calcul complet. Ce cours fait partie du dossier géométrie et trigonométrie, avec les théorèmes du triangle et les formulaires.

Questions fréquentes

Quelle est la formule du théorème de Thalès ?

Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés, et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC.

À quoi sert le théorème de Thalès ?

Le théorème sert à calculer une longueur inconnue quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. Sa réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles, et sa contraposée qu'elles ne le sont pas. Dans la vie courante, il permet de mesurer une hauteur inaccessible avec des ombres ou de réaliser un agrandissement à l'échelle.

Quelle est la différence entre la configuration triangle et la configuration papillon ?

Dans la configuration triangle, M et N sont du même côté de A que B et C : le petit triangle AMN est dans le grand triangle ABC, ou le prolonge. Dans la configuration papillon, A est entre M et B et entre N et C : les deux triangles sont opposés par le sommet A. Les rapports s'écrivent de la même façon dans les deux cas.

Comment savoir si deux droites sont parallèles avec Thalès ?

Calculez séparément AM/AB et AN/AC, de préférence avec les produits en croix AM × AC et AN × AB. Si les rapports sont égaux et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, les droites (MN) et (BC) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, elles ne le sont pas.

En quelle classe voit-on le théorème de Thalès ?

Le théorème de Thalès et sa réciproque sont au programme du collège, en 4^e et en 3^e, et reviennent très souvent au brevet. On les réutilise au lycée, notamment avec les vecteurs et les homothéties.

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Mis à jour le 6 octobre 2026