Écart type : formule, calcul pas à pas et interprétation

Sommaire

1. Définition de l'écart type
2. La formule de l'écart type et de la variance
3. Calculer un écart type pas à pas
4. Écart type avec des effectifs
5. Variance et écart type : quelle différence ?
6. Interpréter un écart type
7. Population ou échantillon : diviser par n ou par n − 1 ?
8. Écart type et moyenne
9. Écart type d'une variable aléatoire
10. Les erreurs fréquentes
11. Questions fréquentes

Saisissez la série en séparant les valeurs par « ; » (2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9), ou choisissez « Valeurs et effectifs » pour un tableau. Le calculateur affiche la moyenne, le tableau des écarts et de leurs carrés, la variance, l'écart type σ avec sa valeur exacte, puis l'écart type s d'échantillon (division par N − 1).

Définition de l'écart type

La moyenne indique où se situent les valeurs, mais pas comment elles se répartissent. Les séries 10 ; 10 ; 10 ; 10 et 0 ; 10 ; 10 ; 20 ont la même moyenne, 10, et pourtant la seconde est beaucoup plus irrégulière. L'écart type, noté σ (sigma), traduit cette différence en un seul nombre : 0 pour la première série, environ 7,07 pour la seconde.

L'idée est de mesurer l'écart de chaque valeur à la moyenne. On ne peut pas simplement faire la moyenne de ces écarts : les écarts positifs et négatifs se compensent et leur somme vaut toujours 0. On les élève donc au carré, on fait la moyenne de ces carrés (la variance), puis on prend la racine carrée pour revenir à l'unité des données.

La formule de l'écart type et de la variance

Pour une série de N valeurs x₁, …, x_N de moyenne x̄ :

V = (x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (x_N − x̄)²N

σ = √V

Si les valeurs x_i sont données avec leurs effectifs n_i, chaque carré est compté n_i fois : V = (1/N) Σ n_i(x_i − x̄)², où N est l'effectif total. En développant le carré, on obtient la formule de König-Huygens, souvent plus rapide quand la moyenne n'est pas entière :

V = Σ n_ix_i²N − x̄²

En mots : la variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

Calculer un écart type pas à pas

1. Calculer la moyenne x̄ de la série.
2. Calculer les écarts x_i − x̄ de chaque valeur à la moyenne ; leur somme doit valoir 0, ce qui sert de contrôle.
3. Élever chaque écart au carré ; tous les carrés sont positifs ou nuls.
4. Faire la moyenne des carrés : on obtient la variance V.
5. Prendre la racine carrée de V : c'est l'écart type σ.

Un tableau à trois lignes (valeurs, écarts, carrés des écarts) évite les oublis. Le premier exemple, classique, donne un écart type entier.

Contrôle par König-Huygens : la somme des carrés des valeurs vaut 4 + 3 × 16 + 2 × 25 + 49 + 81 = 232, d'où V = 232/8 − 5² = 29 − 25 = 4 et σ = 2. Les deux méthodes concordent.

Le plus souvent, l'écart type n'est pas un nombre entier. On garde alors la valeur exacte sous forme de racine, puis on donne une valeur approchée.

Écart type avec des effectifs

Avec un tableau d'effectifs, on calcule la moyenne pondérée, puis on multiplie chaque carré d'écart par l'effectif de sa valeur avant d'additionner. On divise enfin par l'effectif total, et non par le nombre de valeurs distinctes.

Vérification : Σ n_ix_i² = 2 × 1 + 5 × 4 + 3 × 9 = 49, donc V = 49/10 − 2,1² = 4,9 − 4,41 = 0,49 et σ = 0,7. Pour des données regroupées en classes, on remplace chaque classe par son centre : l'écart type obtenu est alors une estimation.

Variance et écart type : quelle différence ?

Les deux mesurent la même chose, la dispersion, mais pas dans la même unité. Si les données sont des notes en points, la variance s'exprime en points au carré, une unité qui n'a pas de sens concret ; l'écart type, lui, s'exprime en points. C'est pour cela qu'on interprète l'écart type.

La variance reste pourtant plus pratique pour calculer : elle s'obtient sans racine carrée et ses propriétés sont plus simples. Les calculs se font donc sur la variance, et l'on prend la racine carrée à la fin. Attention à ne pas s'arrêter à la variance quand l'énoncé demande l'écart type.

Interpréter un écart type

L'écart type donne l'ordre de grandeur de l'écart entre une valeur prise au hasard et la moyenne. Deux classes ont 12 de moyenne : dans la première, σ = 1,5 ; dans la seconde, σ = 4. Les notes de la première sont regroupées autour de 12, celles de la seconde vont de résultats faibles à très bons. Un écart type seul ne veut rien dire : il se compare à la moyenne ou à celui d'une autre série de même nature.

Pour une distribution en forme de cloche (loi normale), environ 68 % des valeurs se trouvent entre x̄ − σ et x̄ + σ, et environ 95 % entre x̄ − 2σ et x̄ + 2σ. Ces proportions ne valent que pour ce type de distribution : elles ne s'appliquent pas à une série quelconque.

Pour comparer la dispersion de séries de moyennes ou d'unités différentes, on utilise le coefficient de variation σ/x̄, souvent exprimé en pourcentage. Un écart type de 5 € sur des prix moyens de 20 € (25 %) traduit une dispersion bien plus forte que 5 € sur des prix moyens de 500 € (1 %).

Population ou échantillon : diviser par n ou par n − 1 ?

Au lycée, on étudie une série complète et l'on divise par N : c'est l'écart type σ. En statistique inférentielle, la série n'est souvent qu'un échantillon, et l'on veut estimer l'écart type de toute la population. On divise alors par N − 1 :

s = √Σ (x_i − x̄)²N − 1

La raison : les écarts sont mesurés par rapport à la moyenne de l'échantillon, qui est par construction plus proche des valeurs observées que la vraie moyenne de la population. Diviser par N sous-estime donc la dispersion, et diviser par N − 1 corrige ce biais pour la variance. Sur la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9, on trouve σ = 2 mais s = √32/7 ≈ 2,14. L'écart se réduit quand N augmente.

Les calculatrices affichent souvent les deux valeurs, sous des noms comme σx (division par N) et sx (division par N − 1). Dans Excel, ECARTYPE.PEARSON divise par N et ECARTYPE.STANDARD par N − 1. Vérifiez toujours laquelle votre exercice attend.

Écart type et moyenne

La moyenne et l'écart type se présentent ensemble, sous la forme « x̄ = 12 ; σ = 2,5 », et l'intervalle [x̄ − σ ; x̄ + σ] donne une idée de la zone où se trouvent la plupart des valeurs. Le détail du calcul de la moyenne, simple ou pondérée, est dans le cours de calcul de moyenne.

• Ajouter un même nombre à toutes les valeurs décale la moyenne mais ne change pas l'écart type.
• Multiplier toutes les valeurs par a multiplie l'écart type par |a| et la variance par a² : des notes sur 10 ramenées sur 20 ont un écart type doublé.
• L'écart type de la moyenne d'un échantillon de n valeurs indépendantes, appelé erreur type, vaut σ/√n : une moyenne calculée sur beaucoup de mesures fluctue moins qu'une mesure isolée.

Quand une série comporte des valeurs extrêmes, la moyenne et l'écart type en sont tous deux affectés. On leur préfère alors le couple formé par la médiane et l'écart interquartile.

Écart type d'une variable aléatoire

La même notion existe en probabilités. Pour une variable aléatoire X d'espérance E(X), la variance est V(X) = E((X − E(X))²) et l'écart type σ(X) = √V(X). Les probabilités jouent le rôle des fréquences. Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a σ(X) = √np(1 − p).

Les erreurs fréquentes

• Oublier la racine carrée et donner la variance comme écart type.
• Oublier les effectifs : chaque carré d'écart doit être multiplié par l'effectif de sa valeur.
• Diviser par le nombre de valeurs distinctes au lieu de l'effectif total.
• Arrondir la moyenne trop tôt : avec x̄ arrondi, tous les écarts sont faux. Gardez la fraction ou utilisez König-Huygens.
• Mal utiliser König-Huygens : c'est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne, et non l'inverse, qui donnerait l'opposé de la variance, un nombre négatif ou nul.
• Choisir le mauvais écart type sur la calculatrice (s au lieu de σ).

Pour vérifier un calcul d'écart type, saisissez la série dans le solveur mathématique : le tableau des écarts et la variance exacte permettent de retrouver la ligne où votre calcul diverge.

L'écart type n'est qu'un des indicateurs d'une série ; la fiche complète, avec médiane, quartiles et diagramme en boîte, se trouve dans le dossier statistiques et probabilités.

Questions fréquentes

Comment calculer un écart type ?

Calculez la moyenne de la série, puis l'écart de chaque valeur à cette moyenne. Élevez ces écarts au carré, faites la moyenne de ces carrés (c'est la variance), et prenez enfin la racine carrée. Pour 10 ; 12 ; 14 ; 16 : moyenne 13, carrés des écarts 9, 1, 1, 9, variance 20/4 = 5, écart type √5 ≈ 2,24.

Quelle est la formule de l'écart type ?

σ = √V, avec V = (1/N) Σ (x_i − x̄)². Avec des effectifs, chaque carré est multiplié par l'effectif n_i de sa valeur. Une forme équivalente, souvent plus rapide, est V = (1/N) Σ n_ix_i² − x̄².

Quelle est la différence entre la variance et l'écart type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l'écart type est sa racine carrée. L'écart type s'exprime dans la même unité que les données (des points, des euros, des centimètres), alors que la variance s'exprime dans l'unité au carré. C'est pourquoi on interprète l'écart type et l'on calcule avec la variance.

Comment interpréter un écart type ?

L'écart type mesure la distance typique entre les valeurs et leur moyenne. Un écart type faible signifie des valeurs regroupées autour de la moyenne ; un écart type élevé, des valeurs dispersées. Il s'interprète toujours en le comparant à la moyenne ou à l'écart type d'une autre série de même nature.

Faut-il diviser par n ou par n − 1 ?

On divise par n pour décrire une série complète : c'est la convention du lycée, notée σ. On divise par n − 1 quand la série est un échantillon et que l'on veut estimer l'écart type de toute la population ; on obtient alors s, un peu plus grand. Les calculatrices affichent souvent les deux.

Un écart type peut-il être négatif ?

Non. C'est la racine carrée d'une moyenne de carrés, donc un nombre positif ou nul. Il vaut 0 seulement si toutes les valeurs sont égales. Un écart type négatif sur une copie signale une erreur, le plus souvent une variance mal calculée.

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Mis à jour le 6 octobre 2026