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Inéquation : définition, règles et exemples corrigés

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, comme 3x − 5 < 7 + x. La résoudre, c'est trouver tous les nombres qui la rendent vraie : on les donne sous forme d'intervalle. La règle à retenir : multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.

Sommaire
  1. Qu'est-ce qu'une inéquation ?
  2. Les règles de calcul sur les inégalités
  3. Écrire les solutions avec des intervalles
  4. Résoudre une inéquation du premier degré
  5. Inéquation du second degré : le signe du trinôme
  6. Inéquations produit et quotient : le tableau de signes
  7. Encadrements et systèmes d'inéquations
  8. Résolution graphique
  9. Un problème concret
  10. Les erreurs fréquentes
  11. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
−3−2−11234−8−6−4−2246810−23

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On part de l’inéquation
  2. Signe de x2 − x − 6
  3. On dresse le tableau de signes
  4. On lit dans le tableau où l’expression est strictement positive
  1. On part de l’inéquationx2 − x − 6 > 0
  2. Signe de x2 − x − 6Δ = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25 ; x1 = −2 ; x2 = 3Δ > 0 : le trinôme est du signe de a = 1 (positif) à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles
  3. On dresse le tableau de signes
    x−∞−23+∞
    x2 − x − 6+0−0+
  4. On lit dans le tableau où l’expression est strictement positiveS = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[

S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[

Tapez l'inéquation telle qu'elle est écrite dans l'énoncé, avec <, >, <= ou >= (ou directement ≤ et ≥), par exemple 3x - 5 <= 7 + x ou (x + 1)/(x - 2) >= 0. Le solveur traite le premier degré, le second degré, les produits et les quotients : il dresse le tableau de signes quand il le faut et donne l'ensemble des solutions en intervalles.

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation compare deux expressions avec l'un des quatre symboles d'inégalité. Le membre de gauche et le membre de droite contiennent une inconnue, souvent notée x. Une solution est un nombre qui, mis à la place de x, rend l'inégalité vraie.

SymboleSe litTypeExemple vrai
<strictement inférieur àstricte2 < 5
>strictement supérieur àstricte−1 > −4
≤inférieur ou égal àlarge3 ≤ 3
≥supérieur ou égal àlarge0 ≥ −2

Testez des valeurs sur 3x − 5 < 7 + x. Pour x = 2, on obtient 1 < 9 : vrai, 2 est solution. Pour x = 6, on obtient 13 < 13 : faux, car l'inégalité est stricte. Pour x = 10, 25 < 17 est faux. Tester ne suffit pas : il y a une infinité de nombres. Il faut une méthode qui transforme l'inéquation sans changer ses solutions.

Équation et inéquation : ce qui change

Une équation pose « quand les deux membres sont-ils égaux ? » ; une inéquation pose « quand l'un est-il plus petit que l'autre ? ». L'équation 3x − 5 = 7 + x a une seule solution, 6. L'inéquation 3x − 5 < 7 + x en a une infinité : tous les réels strictement inférieurs à 6. Les méthodes pour résoudre une équation restent valables, à une règle près, détaillée ci-dessous.

Les règles de calcul sur les inégalités

On transforme une inéquation en une inéquation équivalente (mêmes solutions) avec trois règles :

  1. Ajouter ou soustraire. Ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) aux deux membres ne change pas le sens : a < b ⇔ a + c < b + c.
  2. Multiplier ou diviser par un positif. Si k > 0, le sens est conservé : a < b ⇔ ka < kb.
  3. Multiplier ou diviser par un négatif. Si k < 0, le sens change : a < b ⇔ ka > kb.

si k < 0 :  a < b ⇔ ka > kb

Pourquoi ce changement de sens ? Multiplier par −1 remplace chaque nombre par son opposé, ce qui retourne la droite graduée. On a 2 < 5, mais −2 > −5 : −2 est plus proche de zéro, donc plus grand. Il en va de même pour tout nombre strictement négatif.

Deux autres transformations demandent de la prudence. Passer à l'inverse renverse l'ordre entre deux nombres de même signe : si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b. Élever au carré conserve l'ordre seulement entre deux nombres positifs : −3 < 2 mais 9 > 4.

Écrire les solutions avec des intervalles

En France, l'ensemble des solutions s'écrit avec des crochets. Le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est solution (inégalité large), vers l'extérieur quand elle ne l'est pas (inégalité stricte). Du côté de −∞ ou de +∞, le crochet est toujours ouvert.

InégalitéIntervalleSur la droite graduée
x < 6]−∞ ; 6[partie à gauche de 6, crochet ouvert en 6
x ≤ 6]−∞ ; 6]partie à gauche de 6, crochet fermé en 6
x > −2]−2 ; +∞[partie à droite de −2, crochet ouvert
x ≥ −2[−2 ; +∞[partie à droite de −2, crochet fermé
−2 < x ≤ 6]−2 ; 6]segment entre −2 (exclu) et 6 (inclus)
x < −2 ou x > 6]−∞ ; −2[ ∪ ]6 ; +∞[deux demi-droites séparées

Pour représenter les solutions, tracez la droite graduée, placez les bornes, puis coloriez (ou hachurez) la partie qui convient en dessinant le crochet de chaque borne dans le bon sens. Le symbole ∪ (« union ») réunit deux morceaux ; ℝ désigne tous les réels et ∅ l'ensemble vide. Un nombre isolé s'écrit entre accolades : S = {3}.

Résoudre une inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré se ramène à ax < b (ou >, ≤, ≥). La méthode suit celle de l'équation du premier degré :

  1. Développer et réduire. Supprimez les parenthèses et réduisez chaque membre.
  2. Regrouper. Mettez les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre, en ajoutant ou en soustrayant aux deux membres.
  3. Diviser par le coefficient de x. Regardez d'abord son signe : s'il est négatif, changez le sens de l'inégalité.
  4. Conclure. Écrivez l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, en choisissant chaque crochet.

Exemple 1 : inéquation du 1er degré, −2x + 4 ≥ 0

La méthode en bref

  1. On part de l’inéquation
  2. On regroupe les termes en x dans le membre de gauche et les nombres dans le membre de droite
  3. On divise les deux membres par −2, qui est négatif : on change le sens de l’inégalité (≥ devient ≤)
  4. On écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle
  1. On part de l’inéquation−2x + 4 ≥ 0
  2. On regroupe les termes en x dans le membre de gauche et les nombres dans le membre de droite−2x ≥ −4
  3. On divise les deux membres par −2, qui est négatif : on change le sens de l’inégalité (≥ devient ≤)−2x−2 ≤ −4−2 ⇔ x ≤ 2diviser (ou multiplier) par un nombre négatif inverse l’ordre
  4. On écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalleS = ]−∞ ; 2]crochet fermé en 2 : 2 est solution

S = ]−∞ ; 2]

Avec des fractions, multipliez d'abord par le dénominateur commun, qui est positif. Pour x/2 − 1 ≥ (2x + 1)/3, on multiplie par 6 : 3x − 6 ≥ 4x + 2, puis −x ≥ 8. On multiplie par −1 en changeant le sens : x ≤ −8, donc S = ]−∞ ; −8]. Contrôle : pour x = −8, les deux membres valent −5, ce qui est cohérent avec le crochet fermé.

Quand x disparaît : S = ℝ ou S = ∅

Si les termes en x s'annulent, il reste une inégalité entre deux nombres. Elle est toujours vraie ou toujours fausse. Ainsi, 2(x + 1) > 2x − 5 donne 2 > −5, vrai pour tout x : S = ℝ. À l'inverse, 3x + 1 ≤ 3(x − 1) donne 1 ≤ −3, toujours faux : S = ∅.

Inéquation du second degré : le signe du trinôme

Pour une inéquation comme x2 − x − 6 > 0, on ne peut pas isoler x. On étudie le signe du trinôme ax2 + bx + c grâce à ses racines, obtenues avec le discriminant Δ = b2 − 4ac :

CasSigne du trinôme
Δ > 0, racines x1 < x2signe de a à l'extérieur de [x1 ; x2], signe contraire entre les racines
Δ = 0, racine double x0signe de a partout, nul en x0
Δ < 0signe de a pour tout réel x, jamais nul

Ce résultat se voit sur la parabole : si a > 0, elle est tournée vers le haut, au-dessus de l'axe des abscisses à l'extérieur des racines et en dessous entre elles. Le calcul des racines est détaillé dans le cours sur l'équation du second degré.

Exemple 2 : inéquation du 2nd degré, x² − x − 6 > 0

La méthode en bref

  1. On part de l’inéquation
  2. Signe de x2 − x − 6
  3. On dresse le tableau de signes
  4. On lit dans le tableau où l’expression est strictement positive
  1. On part de l’inéquationx2 − x − 6 > 0
  2. Signe de x2 − x − 6Δ = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25 ; x1 = −2 ; x2 = 3Δ > 0 : le trinôme est du signe de a = 1 (positif) à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles
  3. On dresse le tableau de signes
    x−∞−23+∞
    x2 − x − 6+0−0+
  4. On lit dans le tableau où l’expression est strictement positiveS = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[

S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[

Les cas Δ ≤ 0 se règlent sans tableau compliqué. Pour x2 + x + 1, Δ = −3 et a = 1 > 0 : le trinôme est toujours strictement positif. Donc x2 + x + 1 > 0 a pour solutions S = ℝ, et x2 + x + 1 < 0 n'a aucune solution. De même, (x − 3)2 ≤ 0 n'est vraie que pour x = 3, d'où S = {3}.

Deux pièges classiques. D'abord, x2 < 9 ne donne pas « x < 3 » : on étudie x2 − 9 = (x − 3)(x + 3), négatif entre −3 et 3, donc S = ]−3 ; 3[. Ensuite, dans x2 ≥ 5x, ne divisez pas par x, dont le signe est inconnu : écrivez x(x − 5) ≥ 0, ce qui donne S = ]−∞ ; 0] ∪ [5 ; +∞[.

Inéquations produit et quotient : le tableau de signes

Quand l'inéquation se ramène à un produit ou à un quotient comparé à 0, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes. La présentation la plus claire est le tableau de signes, avec une ligne par facteur et une dernière ligne pour le résultat. Il faut parfois factoriser l'expression au préalable.

Pour (x − 1)(2x + 3) ≤ 0, les facteurs s'annulent en 1 et en −3/2. Le produit est négatif entre ces deux valeurs et nul en chacune d'elles : S = [−3/2 ; 1]. Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite : elle est toujours exclue, même si l'inégalité est large.

Exemple 3 : quotient, (x + 1)/(x − 2) ≥ 0

La méthode en bref

  1. On part de l’inéquation
  2. On note Q(x) l’expression du membre de gauche et on étudie son signe
  3. Signe de x + 1
  4. Signe de x − 2 (au dénominateur : valeur interdite)
  5. On dresse le tableau de signes (la double barre marque une valeur interdite)
  6. On lit dans le tableau où l’expression est positive ou nulle
  1. On part de l’inéquationx + 1x − 2 ≥ 0
  2. On note Q(x) l’expression du membre de gauche et on étudie son signe
  3. Signe de x + 1x + 1 = 0 ⇔ x = −1coefficient de x : 1 > 0, donc x + 1 est négatif puis positif
  4. Signe de x − 2 (au dénominateur : valeur interdite)x − 2 = 0 ⇔ x = 2coefficient de x : 1 > 0, donc x − 2 est négatif puis positif
  5. On dresse le tableau de signes (la double barre marque une valeur interdite)
    x−∞−12+∞
    x + 1−0++
    x − 2−−0+
    Q(x)+0−||+
  6. On lit dans le tableau où l’expression est positive ou nulleS = ]−∞ ; −1] ∪ ]2 ; +∞[crochet ouvert en 2 : valeur interdite, le dénominateur s’y annule (elle n’est jamais solution, même avec ≥)

S = ]−∞ ; −1] ∪ ]2 ; +∞[

N'éliminez jamais un dénominateur en multipliant les deux membres par lui : son signe dépend de x. Prenez 1/x < 2. Multiplier par x donnerait x > 1/2 et ferait perdre tous les nombres négatifs, qui sont pourtant solutions (pour x = −1, on a bien −1 < 2). La bonne méthode : 1/x − 2 < 0, soit (1 − 2x)/x < 0, puis le tableau de signes, qui donne S = ]−∞ ; 0[ ∪ ]1/2 ; +∞[.

Encadrements et systèmes d'inéquations

Une double inégalité se résout en appliquant la même opération aux trois membres. Pour −3 < 2x + 1 ≤ 5 : on soustrait 1, −4 < 2x ≤ 4, puis on divise par 2, −2 < x ≤ 2. Donc S = ]−2 ; 2].

Un système d'inéquations impose plusieurs conditions en même temps. On résout chaque inéquation, puis on garde les nombres communs : c'est l'intersection des intervalles. Avec 2x − 1 > 3 et x + 4 ≤ 10, on obtient x > 2 et x ≤ 6, soit S = ]2 ; 6]. Si les intervalles n'ont aucun point commun, S = ∅. Avec deux inconnues, une inéquation comme y > 2x + 1 décrit un demi-plan, situé au-dessus de la droite d'équation y = 2x + 1 ; un système d'équations décrit au contraire des points d'intersection.

Les inéquations avec une valeur absolue se ramènent à des encadrements : |x − 3| < 2 équivaut à −2 < x − 3 < 2, soit 1 < x < 5.

Résolution graphique

Résoudre f(x) < g(x) graphiquement, c'est lire les abscisses des points où la courbe de f est strictement en dessous de celle de g. Pour f(x) > 0, on cherche où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. La lecture donne des valeurs approchées : elle sert à conjecturer ou à vérifier un calcul. Le solveur trace la courbe de l'expression étudiée sous chaque résolution, et la calculatrice graphique permet de superposer deux courbes.

Un problème concret

Énoncé. Un loueur de vélos propose deux tarifs : 15 € par jour, ou un abonnement de 40 € plus 7 € par jour. À partir de combien de jours l'abonnement est-il strictement moins cher ?

Mise en inéquation. Pour n jours, le tarif simple coûte 15n € et l'abonnement 40 + 7n €. On cherche 40 + 7n < 15n.

Résolution. 40 < 8n, donc n > 5. Comme n est un nombre entier de jours, l'abonnement est moins cher à partir de 6 jours.

Vérification. Pour 5 jours, les deux tarifs coûtent 75 € : l'abonnement n'est pas strictement moins cher. Pour 6 jours, il coûte 82 € contre 90 €.

Les erreurs fréquentes

  • Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : −2x ≥ −4 donne x ≤ 2, pas x ≥ 2.
  • Changer le sens sans raison parce qu'un nombre négatif apparaît : dans 2x < −6, on divise par 2, positif, et l'on obtient x < −3.
  • Multiplier par une expression en x (dénominateur, facteur commun) dont le signe est inconnu.
  • Se tromper de crochet : une borne d'inégalité stricte ou une valeur interdite est exclue (crochet ouvert) ; du côté de −∞ ou de +∞, le crochet est toujours ouvert.
  • Prendre la racine carrée sans précaution : x2 > 4 donne x < −2 ou x > 2.
  • Répondre par une valeur au lieu d'un ensemble : la réponse attendue est un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Pour vérifier une réponse, testez une valeur à l'intérieur de l'intervalle trouvé, une valeur à l'extérieur et chaque borne. Vous pouvez aussi comparer votre copie à la correction du solveur mathématique, qui rédige chaque étape.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité entre deux expressions qui contient une inconnue, avec l'un des symboles <, >, ≤ ou ≥. Par exemple, 3x − 5 < 7 + x. Ses solutions sont tous les nombres qui rendent l'inégalité vraie ; ici, tous les réels strictement inférieurs à 6, soit S = ]−∞ ; 6[.

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou soustraire un nombre, ou multiplier par un nombre strictement positif, conserve le sens. Ainsi, −3x < 12 devient x > −4 après division par −3.

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation est une égalité (=) dont les solutions sont en général quelques nombres isolés. Une inéquation est une inégalité (<, >, ≤, ≥) dont les solutions forment le plus souvent un intervalle ou une réunion d'intervalles. Les techniques sont proches, sauf la règle du changement de sens.

Comment résoudre une inéquation quotient ?

Passez tout dans un membre pour comparer à 0, réduisez au même dénominateur, puis étudiez le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes. Les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites : on les exclut toujours, avec un crochet ouvert. Ne multipliez jamais les deux membres par une expression dont le signe est inconnu.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Ramenez l'inéquation à la forme ax2 + bx + c > 0 (ou <, ≤, ≥), cherchez les racines du trinôme avec le discriminant, puis utilisez la règle : le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe contraire entre elles. Lisez enfin les intervalles qui conviennent.

Comment résoudre un système d'inéquations ?

Résolvez chaque inéquation séparément, puis gardez les nombres qui vérifient toutes les inéquations à la fois : l'ensemble des solutions est l'intersection des intervalles obtenus. Par exemple, x > 2 et x ≤ 6 donnent S = ]2 ; 6].

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Mis à jour le 6 octobre 2026