Équation du premier degré : résoudre ax + b = 0 pas à pas

Sommaire

1. Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
2. Les deux règles pour transformer une équation
3. La méthode en quatre étapes
4. Équations avec des parenthèses
5. Équations avec des fractions ou des décimaux
6. Cas particuliers : quand les x disparaissent
7. Mettre un problème en équation
8. Lecture graphique et tableau de signes
9. Équation du premier degré à deux inconnues
10. Les erreurs fréquentes
11. Questions fréquentes

Tapez l'équation telle quelle, avec ses parenthèses et ses fractions : 2(x - 4) = 3x + 1 ou x/4 + 2 = 5. La virgule décimale est acceptée (0,5x - 1,2 = 3). Le solveur affiche chaque transformation et donne la solution sous forme de fraction irréductible.

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Dans une équation du premier degré, l'inconnue n'apparaît qu'avec l'exposant 1 : pas de x², pas de x au dénominateur, pas de x sous une racine. Les équations 3x + 7 = 22, 5x − 3 = 2x + 9 ou x/4 + 2 = 5 sont du premier degré. En revanche, x² + 1 = 0 est du second degré, et 1/x = 2 est une équation quotient, qui exige x ≠ 0.

Le degré se juge après réduction. (x + 1)² = x² + 3 semble du second degré, mais en développant on obtient x² + 2x + 1 = x² + 3 : les x² s'éliminent, il reste 2x = 2, donc x = 1.

ax + b = 0  ⇔  x = −ba   (a ≠ 0)

Les deux règles pour transformer une équation

Résoudre, c'est remplacer l'équation par des équations équivalentes, c'est-à-dire qui ont les mêmes solutions, de plus en plus simples. Deux règles suffisent au premier degré :

Pourquoi « non nul » ? Multiplier par 0 transforme n'importe quelle équation en 0 = 0, toujours vraie : on perd toute l'information. Et diviser par 0 n'a pas de sens.

La formule « on passe de l'autre côté en changeant de signe » est un raccourci de la première règle : faire passer +7 à droite revient à soustraire 7 aux deux membres. Elle ne s'applique pas aux facteurs : dans 4x = 18, le 4 ne « passe » pas en −4, on divise par 4.

La méthode en quatre étapes

1. Développer. Supprimez les parenthèses avec la distributivité, et les fractions en multipliant par un dénominateur commun.
2. Regrouper. Mettez les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre, en ajoutant ou en soustrayant aux deux membres.
3. Réduire puis diviser. Réduisez chaque membre pour obtenir ax = c, puis divisez par a. Simplifiez la fraction si possible.
4. Vérifier et conclure. Remplacez x par la valeur trouvée dans l'équation de départ, puis écrivez S = {…}.

Le solveur procède un peu autrement : il passe tous les termes à gauche pour obtenir ax + b = 0, puis isole x. Les deux rédactions sont justes ; choisissez celle de votre professeur.

Quand l'inconnue figure dans les deux membres, on commence par la regrouper d'un seul côté. Choisir le côté où le coefficient de x reste positif évite une division par un nombre négatif.

Équations avec des parenthèses

On développe d'abord chaque membre avec la distributivité : k(a + b) = ka + kb. Attention au signe moins devant une parenthèse, qui change le signe de chaque terme : −(x − 4) = −x + 4. Les règles sont détaillées dans le cours pour développer et réduire une expression.

Vérification : pour x = −9, le membre de gauche vaut 2 × (−9 − 4) = 2 × (−13) = −26 et celui de droite 3 × (−9) + 1 = −26. Les deux membres sont égaux.

Équations avec des fractions ou des décimaux

Pour supprimer les fractions, on multiplie les deux membres par un dénominateur commun, de préférence le plus petit, c'est-à-dire le PPCM des dénominateurs. Chaque terme est multiplié, y compris ceux qui n'ont pas de dénominateur.

Avec deux fractions : x/3 + x/2 = 5. Le PPCM de 3 et 2 est 6 ; en multipliant tout par 6, on obtient 2x + 3x = 30, donc 5x = 30 et x = 6. Contrôle : 6/3 + 6/2 = 2 + 3 = 5.

Quand un numérateur contient plusieurs termes, il faut le mettre entre parenthèses. Pour x − 14 = 2x + 16, on multiplie par 12 : 3(x − 1) = 2(2x + 1), soit 3x − 3 = 4x + 2, puis −x = 5 et x = −5. Les deux membres valent alors −3/2.

Les décimaux se traitent de la même façon. Dans 0,5x − 1,2 = 3, on multiplie par 10 : 5x − 12 = 30, donc 5x = 42 et x = 42/5 = 8,4. Pour revoir le calcul avec les fractions, consultez le cours sur les fractions.

Cas particuliers : quand les x disparaissent

Il arrive que les termes en x s'annulent pendant la réduction. On obtient alors 0x = b, qui n'est plus vraiment une équation du premier degré :

• si b ≠ 0, aucune valeur ne convient : 3x + 1 = 3x − 4 mène à 0x = −5, impossible, donc S = ∅ ;
• si b = 0, toutes les valeurs conviennent : 2(x + 3) = 2x + 6 mène à 0x = 0, toujours vrai, donc S = ℝ.

Ne divisez jamais par 0 pour « finir » le calcul : concluez directement à partir de l'égalité obtenue.

Mettre un problème en équation

Un problème se résout en cinq temps : choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente, traduire l'énoncé par une équation, la résoudre, vérifier le résultat dans l'énoncé, puis répondre par une phrase.

Énoncé. Une salle de sport propose deux formules. Formule A : 12 € la séance. Formule B : un abonnement de 45 € puis 7 € la séance. Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?

Résolution. Notons x le nombre de séances. La formule A coûte 12x euros, la formule B 45 + 7x euros. On résout 12x = 45 + 7x : en soustrayant 7x aux deux membres, 5x = 45, donc x = 9.

Vérification et réponse. Pour 9 séances, la formule A coûte 12 × 9 = 108 € et la formule B 45 + 7 × 9 = 108 €. Les deux formules coûtent le même prix pour 9 séances ; au-delà, la formule B devient moins chère, ce que l'on démontre avec une inéquation.

Autre exemple. La somme de trois entiers consécutifs vaut 87. En notant n le plus petit, n + (n + 1) + (n + 2) = 87, soit 3n + 3 = 87, donc 3n = 84 et n = 28. Les entiers sont 28, 29 et 30, dont la somme fait bien 87.

Lecture graphique et tableau de signes

La solution de ax + b = 0 est l'abscisse du point où la droite d'équation y = ax + b coupe l'axe des abscisses. Cette droite représente une fonction affine, de coefficient directeur a.

Le signe de ax + b s'en déduit : il est du signe de a à droite de −b/a et du signe contraire à gauche. Ce résultat est la base du tableau de signes, qui sert à résoudre les inéquations produit ou quotient.

Équation du premier degré à deux inconnues

Une équation comme 2x + y = 7 est aussi du premier degré, mais elle a une infinité de couples solutions : (0 ; 7), (1 ; 5), (3 ; 1)… Ce sont les coordonnées des points d'une droite. Pour obtenir un couple unique, il faut une seconde équation : on résout alors un système de deux équations à deux inconnues.

Les erreurs fréquentes

Une vérification prend trente secondes : remplacez x par votre résultat dans l'équation de départ. Si les deux membres diffèrent, reprenez les étapes une par une, ou comparez avec la résolution du solveur d'équations.

Ce cours fait partie du dossier pour résoudre une équation, qui présente aussi les équations produit nul, quotient et du second degré avec discriminant. Pour vous entraîner, générez une fiche d'exercices corrigés sur les équations du premier degré.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré ?

Développez si nécessaire, regroupez les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre, réduisez pour obtenir ax = c, puis divisez les deux membres par a (qui doit être non nul). Simplifiez la fraction obtenue et vérifiez en remplaçant x dans l'équation de départ.

Qu'est-ce qu'une équation du 1er degré ?

C'est une équation dans laquelle l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1, sans x², sans x au dénominateur ni sous une racine. Après réduction, elle s'écrit ax + b = 0 avec a ≠ 0, et sa solution unique est x = −b/a.

Une équation du premier degré peut-elle n'avoir aucune solution ?

Une vraie équation du premier degré (a ≠ 0) a toujours exactement une solution. Mais si les x s'éliminent pendant la réduction, on obtient 0x = b : aucune solution si b ≠ 0 (S = ∅), tous les réels si b = 0 (S = ℝ).

Comment résoudre une équation du premier degré avec des fractions ?

Multipliez les deux membres par un dénominateur commun, de préférence le plus petit (le PPCM des dénominateurs), en multipliant chaque terme. Les fractions disparaissent et l'on résout l'équation à coefficients entiers obtenue. Par exemple, x/3 + x/2 = 5 devient 2x + 3x = 30, donc x = 6.

Comment résoudre une équation du premier degré à deux inconnues ?

Une seule équation comme 2x + y = 7 a une infinité de couples solutions : ce sont les coordonnées des points d'une droite. Pour obtenir un couple unique, il faut une seconde équation et résoudre le système d'équations par substitution ou par combinaison.

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Mis à jour le 6 octobre 2026