Calcul des matrices : somme, produit, transposée et puissance

Choisissez l'opération (produit, somme, différence, produit par un réel, transposée ou puissance), puis tapez chaque matrice ligne par ligne : les coefficients séparés par des espaces, les lignes par « ; ». Par exemple 1 −2 ; 0 1/3. Le calculateur accepte les fractions et les décimaux, travaille en valeurs exactes jusqu'à la taille 4 × 4 et détaille le calcul de chaque coefficient.

Quelles opérations sont possibles ?

Avant tout calcul, vérifiez les tailles. C'est la première question que pose un correcteur, et la source de la plupart des erreurs. Ci-dessous, A est de taille n × p.

Un moyen mnémotechnique pour le produit : écrivez les tailles côte à côte, (n × p)(p × q). Les deux nombres du milieu doivent être égaux ; ceux de l'extérieur donnent la taille du résultat.

Somme et différence de deux matrices

On additionne ou soustrait les coefficients qui occupent la même place : (A + B)_ij = a_ij + b_ij. L'addition est commutative (A + B = B + A) et associative, et la matrice nulle en est l'élément neutre.

Pour une différence, attention aux coefficients négatifs : 4103 − 12−15 = 3−11−2, car 0 − (−1) = 1.

Multiplier une matrice par un réel

Chaque coefficient est multiplié par le réel : 3 × 1−201/3 = 3−601. On l'utilise souvent à l'envers, pour mettre un facteur commun en évidence : 0,6−0,7−0,20,4 = 1106−7−24, une écriture plus lisible.

La multiplication de matrices (produit matriciel)

Le coefficient de la ligne i et de la colonne j du produit AB s'obtient en « croisant » la ligne i de A et la colonne j de B : on multiplie leurs termes deux à deux, puis on additionne.

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj

1. Vérifier les tailles : colonnes de A = lignes de B.
2. Prévoir la taille de AB : lignes de A × colonnes de B.
3. Calculer chaque coefficient : ligne i de A fois colonne j de B.
4. Contrôler un coefficient au hasard en refaisant son calcul.

Pour ne pas se perdre, beaucoup d'élèves utilisent une disposition pratique : on écrit B en haut à droite et A en bas à gauche ; chaque coefficient du produit se place alors à l'intersection de la ligne de A et de la colonne de B qui servent à le calculer.

Le produit fonctionne aussi avec des matrices rectangulaires, du moment que les tailles sont compatibles.

Un cas très fréquent est le produit d'une matrice par une matrice colonne, qui donne une matrice colonne : 12341−1 = −1−1, car 1 − 2 = −1 et 3 − 4 = −1. C'est ainsi qu'un système d'équations s'écrit sous la forme AX = B.

AB et BA : le produit n'est pas commutatif

Dans l'exemple 2, A est de taille 2 × 3 et B de taille 3 × 2 : AB est une matrice 2 × 2, mais BA existe aussi et c'est une matrice 3 × 3,

BA = 120140 × 20113−1 = 46−113−1804.

Même entre matrices carrées, l'ordre compte : avec les matrices de l'exemple 1, BA = 23343146, différent de AB. Le produit reste associatif et distributif, et l'on a AI = IA = A ainsi que ^t(AB) = ^tB ^tA (l'ordre s'inverse).

La transposée d'une matrice

La transposée ^tA échange lignes et colonnes : (^tA)_ij = a_ji. Ainsi ^t123456 = 142536. Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique ; elle est forcément carrée.

La puissance d'une matrice carrée

Pour un entier k ≥ 1, A^k est le produit de k facteurs égaux à A, et A⁰ = I. On calcule les puissances de proche en proche : A² = A × A, puis A³ = A² × A, et ainsi de suite. Pour A = 1234 :

A² = 1 × 1 + 2 × 31 × 2 + 2 × 43 × 1 + 4 × 33 × 2 + 4 × 4 = 7101522

Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever chaque coefficient diagonal à la puissance k. Pour les autres, on conjecture souvent une formule de Aⁿ à partir des premières puissances, puis on la démontre par récurrence. Les applications (suites couplées, graphes probabilistes) sont présentées dans le cours général sur les matrices.

Les erreurs fréquentes

• Multiplier coefficient par coefficient au lieu de faire ligne par colonne.
• Oublier de vérifier les tailles : un produit 2 × 3 par 2 × 3 n'existe pas.
• Écrire AB = BA dans un calcul : par exemple, (AB)² = ABAB, et non A²B².
• Calculer A² en élevant chaque coefficient au carré, sauf pour une matrice diagonale.
• Se tromper de signe avec les coefficients négatifs : mettez-les entre parenthèses, 1 × (−1).

Après un calcul à la main, comparez votre résultat avec le solveur mathématique : chaque coefficient y est détaillé, ce qui permet de retrouver l'erreur sans tout refaire.

Pour aller plus loin, le calcul du déterminant indique si une matrice carrée est inversible, et le cours sur la matrice inverse montre comment résoudre AX = B.

Questions fréquentes

Comment multiplier deux matrices ?

Vérifiez d'abord que le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Pour chaque coefficient du résultat, prenez une ligne de la première matrice et une colonne de la seconde, multipliez leurs termes deux à deux et additionnez. Par exemple, la ligne (1 2) et la colonne (5 ; 7) donnent 1 × 5 + 2 × 7 = 19.

Peut-on multiplier deux matrices de taille 2 × 3 ?

Non : une matrice 2 × 3 a 3 colonnes, et une matrice 2 × 3 n'a que 2 lignes. Le produit n'est pas défini. On peut en revanche multiplier une matrice 2 × 3 par une matrice 3 × 2 (résultat 2 × 2), ou par la transposée d'une matrice 2 × 3.

Comment calculer le carré d'une matrice ?

A² = A × A : on fait le produit ligne par colonne de la matrice par elle-même. Ce n'est pas la matrice des carrés des coefficients. Pour A = (1 2 ; 3 4), A² = (7 10 ; 15 22). Seule une matrice carrée a un carré.

Comment additionner deux matrices ?

Les deux matrices doivent avoir exactement la même taille. On additionne alors les coefficients situés à la même place : le coefficient de la ligne i et de la colonne j de A + B est a_ij + b_ij. La soustraction se fait de la même façon.

Pourquoi AB est-il différent de BA ?

Parce que le produit associe les lignes du premier facteur aux colonnes du second : en échangeant les facteurs, on combine d'autres nombres. Avec A = (1 2 ; 3 4) et B = (5 6 ; 7 8), AB = (19 22 ; 43 50) et BA = (23 34 ; 31 46). Si A et B ne sont pas carrées, AB et BA n'ont même pas la même taille.

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