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PPCM : définition, méthodes de calcul et exemples

Le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers est le plus petit nombre strictement positif qui est multiple de l'un et de l'autre : PPCM(12 ; 18) = 36. Le calculateur ci-dessous trouve le PPCM de deux ou trois nombres, ou le dénominateur commun de deux fractions, en rédigeant la méthode des multiples et celle de la décomposition.

Sommaire
  1. Définition du PPCM
  2. Méthode 1 : la liste des multiples
  3. Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers
  4. Méthode 3 : la relation avec le PGCD
  5. Cas particuliers à connaître
  6. Le PPCM de trois nombres
  7. Le PPCM pour additionner des fractions
  8. Problèmes de rencontre et de cycles
  9. Les erreurs fréquentes
  10. Questions fréquentes

Calcul du PPCM

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 18 jusqu’au premier qui est aussi multiple de 12
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant
  4. Vérification avec la relation PGCD × PPCM = a × b
  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 18 jusqu’au premier qui est aussi multiple de 1218 ; 36
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers12 = 22 × 3 ; 18 = 2 × 32
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposantPPCM(12 ; 18) = 22 × 32 = 36
  4. Vérification avec la relation PGCD × PPCM = a × bPGCD(12 ; 18) = 6, donc PPCM = 12 × 186 = 36

PPCM(12 ; 18) = 36

Saisissez des entiers strictement positifs dans les champs, ou deux fractions comme 5/12 et 7/18 en mode « Dénominateur commun ». Pour deux nombres, la rédaction se termine par une vérification avec le PGCD.

Définition du PPCM

Un multiple commun de deux entiers a et b est un entier qui est à la fois multiple de a et de b. Le PPCM de deux entiers non nuls, noté PPCM(a ; b) ou p.p.c.m., est le plus petit multiple commun strictement positif. En anglais, on parle de lcm (least common multiple).

  • multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72… ;
  • multiples de 18 : 18, 36, 54, 72…

Les multiples communs sont 36, 72, 108… : ce sont exactement les multiples de 36, et PPCM(12 ; 18) = 36. Il n'existe pas de « plus grand multiple commun », puisque la liste des multiples communs est infinie.

Le PPCM vérifie toujours max(a ; b) ≤ PPCM(a ; b) ≤ a × b. Si votre résultat sort de cet encadrement, il est faux. Le PPCM appartient à l'arithmétique des entiers, au même titre que le PGCD et les nombres premiers.

Méthode 1 : la liste des multiples

On écrit les multiples du plus grand des deux nombres, dans l'ordre, et l'on s'arrête au premier qui est divisible par l'autre. Partir du plus grand nombre réduit le nombre d'essais. Pour 6 et 8 : 8, 16, 24 ; 24 est divisible par 6, donc PPCM(6 ; 8) = 24.

Cette méthode convient aux petits nombres et aux calculs de tête. Elle devient longue quand les nombres sont premiers entre eux : pour 8 et 9, il faut aller jusqu'au huitième multiple de 9, 72.

Exemple : PPCM(12 ; 18)

La méthode en bref

  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 18 jusqu’au premier qui est aussi multiple de 12
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant
  4. Vérification avec la relation PGCD × PPCM = a × b
  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 18 jusqu’au premier qui est aussi multiple de 1218 ; 36
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers12 = 22 × 3 ; 18 = 2 × 32
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposantPPCM(12 ; 18) = 22 × 32 = 36
  4. Vérification avec la relation PGCD × PPCM = a × bPGCD(12 ; 18) = 6, donc PPCM = 12 × 186 = 36

PPCM(12 ; 18) = 36

Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers

On écrit la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre, puis on multiplie tous les facteurs premiers qui apparaissent dans l'une ou l'autre, chacun avec son plus grand exposant.

Exemple : quel est le PPCM de 24 et 36 ? On a 24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32. Le plus grand exposant de 2 est 3, celui de 3 est 2. Donc :

PPCM(24 ; 36) = 23 × 32 = 72

Pourquoi le plus grand exposant ? Un multiple de 24 doit contenir au moins 23, un multiple de 36 au moins 32 ; le plus petit nombre qui contient les deux est 23 × 32. C'est la règle inverse de celle du PGCD, qui garde les plus petits exposants des facteurs communs.

Méthode 3 : la relation avec le PGCD

Pour deux entiers naturels non nuls, le produit du PGCD et du PPCM est égal au produit des deux nombres :

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b

Si l'on connaît le PGCD, par exemple grâce à l'algorithme d'Euclide, on en déduit le PPCM par une division. Pour 24 et 36 : PGCD(24 ; 36) = 12, donc PPCM = 24 × 36 ÷ 12 = 864 ÷ 12 = 72.

La relation s'explique par les exposants : pour chaque facteur premier, le PGCD prend le plus petit des deux exposants et le PPCM le plus grand, et leur somme est la somme des deux exposants. Avec 12 = 22 × 3 et 18 = 2 × 32 : PGCD = 2 × 3 = 6, PPCM = 22 × 32 = 36, et 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Attention : cette relation ne vaut que pour deux nombres. Pour 4, 6 et 10, le PGCD vaut 2 et le PPCM 60, soit un produit de 120, alors que 4 × 6 × 10 = 240. Le calcul du PGCD est détaillé sur la page PGCD et algorithme d'Euclide.

Cas particuliers à connaître

SituationPPCMExemple
a divise bbPPCM(6 ; 18) = 18
a et b premiers entre euxa × bPPCM(8 ; 9) = 72
Deux nombres premiers distinctsLeur produitPPCM(7 ; 11) = 77
b = 1 ou b = aaPPCM(15 ; 1) = PPCM(15 ; 15) = 15

Le PPCM de trois nombres

Pour trois nombres ou plus, la décomposition reste la méthode la plus sûre : on prend chaque facteur premier qui apparaît, avec son plus grand exposant. On peut aussi procéder deux par deux : PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c). Avec 4, 6 et 10 : PPCM(4 ; 6) = 12, puis PPCM(12 ; 10) = 60.

Exemple : PPCM(4 ; 6 ; 10)

La méthode en bref

  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 10 jusqu’au premier qui est aussi multiple des autres nombres
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant
  1. Méthode des multiples : on écrit les multiples de 10 jusqu’au premier qui est aussi multiple des autres nombres10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60
  2. On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers4 = 22 ; 6 = 2 × 3 ; 10 = 2 × 5
  3. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposantPPCM(4 ; 6 ; 10) = 22 × 3 × 5 = 60

PPCM(4 ; 6 ; 10) = 60

Le PPCM pour additionner des fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun. Le produit des dénominateurs convient toujours, mais le PPCM donne le plus petit, ce qui évite de manipuler de grands nombres et de simplifier à la fin.

Exemple : le PPCM pour additionner 5/12 et 7/18

La méthode en bref

  1. Pour additionner, on cherche le plus petit dénominateur commun : le PPCM des dénominateurs
  2. On écrit chaque fraction avec le dénominateur 36
  3. On additionne les numérateurs
  1. Pour additionner, on cherche le plus petit dénominateur commun : le PPCM des dénominateurs12 = 22 × 3 ; 18 = 2 × 32PPCM(12 ; 18) = 22 × 32 = 36
  2. On écrit chaque fraction avec le dénominateur 36512 = 5 × 312 × 3 = 1536 ; 718 = 7 × 218 × 2 = 1436
  3. On additionne les numérateurs512 + 718 = 15 + 1436 = 2936

512 + 718 = 2936

Avec le produit 12 × 18 = 216 comme dénominateur, on aurait obtenu 90/216 + 84/216 = 174/216, qu'il aurait fallu simplifier par 6 pour retrouver 29/36. Pour enchaîner plusieurs opérations, la calculatrice de fractions choisit elle aussi le plus petit dénominateur commun.

Problèmes de rencontre et de cycles

Dès que deux phénomènes se répètent à intervalles réguliers, le PPCM donne le moment où ils coïncident de nouveau.

Deux bus au départ

Énoncé. Deux bus partent du même arrêt à 7 h. Le premier repasse toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. À quelle heure repartiront-ils ensemble pour la première fois ?

Raisonnement. Les départs du premier bus ont lieu après 12, 24, 36… minutes : des multiples de 12. Ceux du second, après des multiples de 18. Ils repartent ensemble après un multiple commun, et la première fois après le plus petit : PPCM(12 ; 18) = 36.

Conclusion. Les deux bus repartiront ensemble à 7 h 36. Ensuite, ils se retrouveront toutes les 36 minutes : 8 h 12, 8 h 48…

Engrenages et signaux

  • Deux roues dentées de 12 et 18 dents engrènent. Le même couple de dents se retrouve en contact après 36 dents passées, soit 3 tours de la petite roue (36 ÷ 12) et 2 tours de la grande (36 ÷ 18).
  • Deux phares s'allument ensemble, l'un toutes les 8 secondes, l'autre toutes les 12 secondes. Ils s'allumeront de nouveau en même temps 24 secondes plus tard : PPCM(8 ; 12) = 24.
  • Trois tâches reviennent tous les 4, 6 et 10 jours. Elles tombent le même jour tous les 60 jours.

Repérez le vocabulaire de l'énoncé : « de nouveau en même temps », « la prochaine fois », « simultanément » annoncent un PPCM ; « le plus grand nombre de paquets identiques » annonce un PGCD.

Les erreurs fréquentes

  • Donner le produit des deux nombres : c'est un multiple commun, pas toujours le plus petit (12 × 18 = 216, mais PPCM = 36).
  • Prendre les plus petits exposants : c'est la règle du PGCD. Pour le PPCM, tous les facteurs, avec le plus grand exposant.
  • Oublier un facteur non commun : dans PPCM(24 ; 35), aucun facteur n'est commun, et tous comptent : 23 × 3 × 5 × 7 = 840.
  • Appliquer PGCD × PPCM = produit à trois nombres : la relation n'est valable que pour deux.
  • Trouver un PPCM plus petit que l'un des nombres : impossible, il est au moins égal au plus grand.

Pour vérifier votre résultat, assurez-vous qu'il est divisible par chacun des nombres, puis que les quotients obtenus n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 : 36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 18 = 2, donc 36 est bien le plus petit. Le solveur mathématique permet ensuite de contrôler les calculs de fractions ou d'équations qui utilisent ce PPCM.

Questions fréquentes

Comment trouver le PPCM de deux nombres ?

Écrivez les multiples du plus grand nombre (1 fois, 2 fois, 3 fois…) jusqu'au premier qui est aussi multiple de l'autre. Pour des nombres plus grands, décomposez-les en facteurs premiers et multipliez tous les facteurs qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant. Vous pouvez aussi utiliser PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b).

Quel est le PPCM de 24 et 36 ?

PPCM(24 ; 36) = 72. Les multiples de 36 sont 36, 72… et 72 est le premier divisible par 24 (72 = 24 × 3). Par décomposition : 24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32, donc PPCM = 23 × 32 = 72.

Comment trouver le PPCM de 3 nombres ?

Décomposez les trois nombres en facteurs premiers et prenez chaque facteur premier qui apparaît avec son plus grand exposant. Pour 4, 6 et 10 : 22 × 3 × 5 = 60. On peut aussi calculer PPCM(PPCM(a ; b) ; c). La relation avec le PGCD ne s'applique pas à trois nombres.

Le PPCM est-il toujours le produit des deux nombres ?

Non. Le produit a × b est toujours un multiple commun, mais il n'est le plus petit que si a et b sont premiers entre eux, comme 8 et 9 (PPCM = 72). Pour 12 et 18, le produit vaut 216, alors que le PPCM vaut 36.

Qu'est-ce que le plus grand multiple commun ?

Il n'existe pas : si m est un multiple commun de a et b, alors 2m, 3m… en sont aussi. Les multiples communs sont infinis. L'expression est souvent une confusion entre le PPCM (plus petit commun multiple) et le PGCD (plus grand commun diviseur).

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Mis à jour le 6 octobre 2026