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Système d'équations : méthodes, exemples et solveur

Un système d'équations à deux inconnues réunit deux équations que x et y doivent vérifier en même temps. Le résoudre, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui conviennent, par substitution ou par combinaison. Le plus souvent, il y en a un seul ; il peut aussi n'y en avoir aucun, ou une infinité.

Sommaire
  1. Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
  2. Méthode par substitution
  3. Méthode par combinaison linéaire
  4. Interprétation graphique : deux droites
  5. Système sans solution ou avec une infinité de solutions
  6. Système de trois équations à trois inconnues : le pivot de Gauss
  7. Mettre un problème en équations
  8. Et si une équation n'est pas linéaire ?
  9. Les erreurs fréquentes
  10. Questions fréquentes
Exemples
Représentation graphique
−4−22468−5−4−3−2−1123I

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On écrit le système sous la forme ax + by = c
  2. On calcule le déterminant du système
  3. Méthode : substitution
  4. On exprime x en fonction de y à l’aide de L2
  5. On remplace x dans L1, on développe et on réduit
  6. On en déduit y
  7. On remplace y par −1 dans l’expression de x
  8. Vérification : on remplace dans chaque équation
  1. On écrit le système sous la forme ax + by = cL1 : 2x + 3y = 1
    L2 : x − y = 3
  2. On calcule le déterminant du systèmeab′ − a′b = 2 × (−1) − 1 × 3 = −5déterminant non nul : le système a un unique couple solution (droites sécantes)
  3. Méthode : substitutionle coefficient de x dans L2 permet de l’isoler facilement
  4. On exprime x en fonction de y à l’aide de L2x = y + 3
  5. On remplace x dans L1, on développe et on réduit2(y + 3) + 3y = 1 ⇔ 2y + 6 + 3y = 1 ⇔ 5y = −5
  6. On en déduit yy = −55 = −1
  7. On remplace y par −1 dans l’expression de xx = (−1) + 3 = 2
  8. Vérification : on remplace dans chaque équationL1 : 2 × 2 + 3 × (−1) = 1 ✓
    L2 : 2 − (−1) = 3 ✓

S = {(2 ; −1)}

Écrivez les équations à la suite, séparées par un point-virgule, avec les inconnues x et y (et z pour trois équations) : 2x + 3y = 1 ; x - y = 3. Le solveur choisit la méthode la plus adaptée, détaille chaque calcul, vérifie le couple trouvé et trace les deux droites.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Une équation comme 2x + y = 7 est une équation à deux inconnues. Elle a une infinité de solutions : (0 ; 7), (1 ; 5), (2 ; 3), (3,5 ; 0)… Pour fixer une seule valeur de x et de y, il faut une deuxième condition. On écrit alors les deux équations l'une sous l'autre, reliées par une accolade, et l'on nomme les lignes L1 et L2 :

L1 : 2x + 3y = 1
L2 : x − y = 3

Une solution du système est un couple qui vérifie les deux équations. Le couple (2 ; −1) convient : 2 × 2 + 3 × (−1) = 1 et 2 − (−1) = 3. Le couple (5 ; −3) vérifie L1 (10 − 9 = 1) mais pas L2 (5 + 3 = 8) : il n'est pas solution. On écrit l'ensemble des solutions avec des couples : S = {(2 ; −1)}.

Ce cours porte surtout sur les systèmes linéaires, où chaque équation est du premier degré en x et en y. Chacune d'elles se traite avec les outils de l'équation du premier degré : on ajoute, on soustrait, on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.

Méthode par substitution

La substitution consiste à remplacer une inconnue par son expression en fonction de l'autre. Elle est idéale quand une inconnue a pour coefficient 1 ou −1.

  1. Isoler une inconnue. Dans L2, x − y = 3 donne x = y + 3.
  2. Substituer. On remplace x par y + 3 dans L1 : on obtient une équation à une seule inconnue.
  3. Résoudre. On trouve y, puis on revient à l'expression de x.
  4. Vérifier et conclure. On remplace le couple dans les deux équations de départ.

Exemple 1 : méthode par substitution

La méthode en bref

  1. On écrit le système sous la forme ax + by = c
  2. On calcule le déterminant du système
  3. Méthode : substitution
  4. On exprime x en fonction de y à l’aide de L2
  5. On remplace x dans L1, on développe et on réduit
  6. On en déduit y
  7. On remplace y par −1 dans l’expression de x
  8. Vérification : on remplace dans chaque équation
  1. On écrit le système sous la forme ax + by = cL1 : 2x + 3y = 1
    L2 : x − y = 3
  2. On calcule le déterminant du systèmeab′ − a′b = 2 × (−1) − 1 × 3 = −5déterminant non nul : le système a un unique couple solution (droites sécantes)
  3. Méthode : substitutionle coefficient de x dans L2 permet de l’isoler facilement
  4. On exprime x en fonction de y à l’aide de L2x = y + 3
  5. On remplace x dans L1, on développe et on réduit2(y + 3) + 3y = 1 ⇔ 2y + 6 + 3y = 1 ⇔ 5y = −5
  6. On en déduit yy = −55 = −1
  7. On remplace y par −1 dans l’expression de xx = (−1) + 3 = 2
  8. Vérification : on remplace dans chaque équationL1 : 2 × 2 + 3 × (−1) = 1 ✓
    L2 : 2 − (−1) = 3 ✓

S = {(2 ; −1)}

Méthode par combinaison linéaire

La combinaison (on dit aussi méthode par addition ou par élimination) fait disparaître une inconnue en ajoutant ou en soustrayant les deux équations, après les avoir multipliées par des nombres bien choisis. Elle évite les fractions quand aucun coefficient ne vaut 1.

  1. Choisir l'inconnue à éliminer. Pour éliminer x entre 3x + 2y = 7 et 5x − 4y = 8, on vise le coefficient 15, multiple commun de 3 et 5.
  2. Multiplier chaque équation entière. L1 par 5 et L2 par 3, sans oublier le second membre.
  3. Soustraire membre à membre. Les termes en x disparaissent ; on obtient y.
  4. Remplacer. On reporte y dans une équation de départ pour trouver x, puis on vérifie.

Exemple 2 : méthode par combinaison linéaire

La méthode en bref

  1. On écrit le système sous la forme ax + by = c
  2. On calcule le déterminant du système
  3. Méthode : combinaison linéaire
  4. On élimine x : L1 ← 5L1 − 3L2 (coefficients de x égaux, on soustrait)
  5. On en déduit y
  6. On remplace y par 12 dans l’équation de départ L1
  7. Vérification : on remplace dans chaque équation
  1. On écrit le système sous la forme ax + by = cL1 : 3x + 2y = 7
    L2 : 5x − 4y = 8
  2. On calcule le déterminant du systèmeab′ − a′b = 3 × (−4) − 5 × 2 = −22déterminant non nul : le système a un unique couple solution (droites sécantes)
  3. Méthode : combinaison linéaireaucun coefficient égal à 1 : on élimine x par combinaison des lignes
  4. On élimine x : L1 ← 5L1 − 3L2 (coefficients de x égaux, on soustrait)5L1 : 15x + 10y = 35
    3L2 : 15x − 12y = 24
    5L1 − 3L2 : (15x + 10y) − (15x − 12y) = 35 − 24 ⇔ 22y = 11
  5. On en déduit yy = 1122 = 12
  6. On remplace y par 12 dans l’équation de départ L13x + 2 × 12 = 7 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2
  7. Vérification : on remplace dans chaque équationL1 : 3 × 2 + 2 × 12 = 7 ✓
    L2 : 5 × 2 − 4 × 12 = 8 ✓

S = {(2 ; 12)}

Ici, on pouvait aussi éliminer y en une seule multiplication : 2L1 donne 6x + 4y = 14, et en ajoutant L2, 11x = 22, soit x = 2. Cherchez toujours l'élimination qui demande le moins de calculs.

La formule du déterminant

Pour le système ax + by = c et a′x + b′y = c′, le nombre ab′ − a′b s'appelle le déterminant du système. S'il est non nul, l'unique solution est donnée par les formules de Cramer :

x = cb′ − c′bab′ − a′b   et   y = ac′ − a′cab′ − a′b

Avec le premier exemple : le déterminant vaut 2 × (−1) − 1 × 3 = −5, puis x = (1 × (−1) − 3 × 3)/(−5) = 2 et y = (2 × 3 − 1 × 1)/(−5) = −1. Ces formules servent surtout à vérifier ; sur une copie, on attend en général la substitution ou la combinaison rédigée. Le même nombre apparaît dans le cours sur le déterminant d'une matrice.

Interprétation graphique : deux droites

Chaque équation ax + by = c (avec a et b non tous deux nuls) est l'équation d'une droite. Quand b ≠ 0, on l'écrit sous la forme réduite y = mx + p, celle d'une fonction affine. Résoudre le système, c'est chercher les points communs aux deux droites.

Dans le premier exemple, L1 donne y = −23x + 13 et L2 donne y = x − 3. Les coefficients directeurs sont différents : les droites se coupent en un seul point, de coordonnées (2 ; −1). C'est le point que le solveur marque sur le graphique.

Position des droitesDéterminant ab′ − a′bSolutions
Sécantesnon nulun unique couple
Parallèles distinctesnulaucune : S = ∅
Confonduesnulune infinité : tous les points de la droite

Système sans solution ou avec une infinité de solutions

Aucune solution. Prenez x + y = 2 et 2x + 2y = 5. En multipliant L1 par 2, on obtient 2x + 2y = 4 : la même expression devrait valoir à la fois 4 et 5, ce qui est impossible. Les deux droites sont parallèles et distinctes, et S = ∅.

Une infinité de solutions. Avec x + y = 2 et 2x + 2y = 4, la seconde équation est la première multipliée par 2 : elles décrivent la même droite. Tous les couples de la forme (x ; 2 − x) conviennent :

S = {(x ; 2 − x), x ∈ ℝ}

Le solveur détecte ces deux cas dès le calcul du déterminant, puis précise s'il s'agit de droites parallèles ou confondues.

Système de trois équations à trois inconnues : le pivot de Gauss

Avec trois inconnues x, y et z, chaque équation linéaire représente un plan de l'espace, et il faut en général trois équations. La méthode du pivot de Gauss généralise la combinaison :

  1. Éliminer x. À l'aide de L1, on retire x de L2 et de L3 (par exemple L2 ← L2 − L1).
  2. Éliminer y. À l'aide de la nouvelle L2, on retire y de L3. Le système devient triangulaire.
  3. Remonter. L3 donne z, puis L2 donne y, puis L1 donne x.

Exemple 3 : système 3 × 3 par le pivot de Gauss

La méthode en bref

  1. On écrit le système sous la forme réduite (inconnues à gauche, nombres à droite)
  2. On élimine x des lignes suivantes : L2 ← L2 − L1 ; L3 ← L3 − 2L1
  3. On échange L2 et L3 pour avoir un pivot égal à ±1 devant y
  4. On élimine y des lignes suivantes : L3 ← L3 − 2L2
  5. On en déduit z grâce à L3
  6. On en déduit y grâce à L2
  7. On en déduit x grâce à L1
  8. Vérification : on remplace dans chaque équation
  1. On écrit le système sous la forme réduite (inconnues à gauche, nombres à droite)L1 : x + y + z = 6
    L2 : x − y + 2z = 5
    L3 : 2x + y − z = 1
  2. On élimine x des lignes suivantes : L2 ← L2 − L1 ; L3 ← L3 − 2L1L1 : x + y + z = 6
    L2 : −2y + z = −1
    L3 : −y − 3z = −11
  3. On échange L2 et L3 pour avoir un pivot égal à ±1 devant yL1 : x + y + z = 6
    L2 : −y − 3z = −11
    L3 : −2y + z = −1
  4. On élimine y des lignes suivantes : L3 ← L3 − 2L2L1 : x + y + z = 6
    L2 : −y − 3z = −11
    L3 : 7z = 21
  5. On en déduit z grâce à L37z = 21 ⇔ z = 3
  6. On en déduit y grâce à L2−y − 3 × 3 = −11 ⇔ y = 2
  7. On en déduit x grâce à L1x + 2 + 3 = 6 ⇔ x = 1
  8. Vérification : on remplace dans chaque équationL1 : 1 + 2 + 3 = 6 ✓
    L2 : 1 − 2 + 2 × 3 = 5 ✓
    L3 : 2 × 1 + 2 − 3 = 1 ✓

S = {(1 ; 2 ; 3)}

Les systèmes plus grands s'écrivent sous forme matricielle AX = B ; quand la matrice A est inversible, la solution est X = A−1B. Cette approche est développée dans le cours sur les matrices.

Mettre un problème en équations

Énoncé. Au cinéma, une famille paie 47 € pour 3 places adultes et 2 places enfants ; une autre paie 43 € pour 2 places adultes et 3 places enfants. Quel est le prix de chaque place ?

Choix des inconnues. Notons x le prix d'une place adulte et y celui d'une place enfant, en euros.

L1 : 3x + 2y = 47
L2 : 2x + 3y = 43

Résolution par combinaison. On calcule 3L1 : 9x + 6y = 141, et 2L2 : 4x + 6y = 86. En soustrayant, 5x = 55, donc x = 11. Dans L1 : 33 + 2y = 47, soit y = 7.

Vérification et réponse. 3 × 11 + 2 × 7 = 33 + 14 = 47 et 2 × 11 + 3 × 7 = 22 + 21 = 43. Une place adulte coûte 11 € et une place enfant 7 €.

Le même schéma résout l'énigme classique des têtes et des pattes. Une ferme compte 35 poules et lapins, pour 94 pattes au total. Avec x poules et y lapins : x + y = 35 et 2x + 4y = 94. La substitution x = 35 − y donne 70 + 2y = 94, soit 12 lapins et 23 poules ; on vérifie que 46 + 48 = 94.

Et si une équation n'est pas linéaire ?

Certains systèmes contiennent un produit ou un carré. Deux nombres de somme 7 et de produit 12 vérifient x + y = 7 et xy = 12. La substitution y = 7 − x conduit à x(7 − x) = 12, soit x2 − 7x + 12 = 0, une équation du second degré de solutions 3 et 4. Les couples solutions sont (3 ; 4) et (4 ; 3). Le solveur de cette page traite les systèmes linéaires ; pour ce type de système, faites la substitution puis résolvez l'équation obtenue.

Les erreurs fréquentes

  • Oublier le second membre en multipliant une équation : 5L1 multiplie aussi le nombre de droite.
  • Se tromper de signe en soustrayant : 10y − (−12y) = 22y. Écrivez la soustraction avec des parenthèses.
  • Donner une seule inconnue : la réponse est un couple, S = {(2 ; −1)}, pas « y = −1 ».
  • Confondre couple et ensemble : {2 ; −1} désigne deux nombres, {(2 ; −1)} un seul couple.
  • Ne pas vérifier : une erreur de calcul passe inaperçue tant qu'on ne remplace pas dans les deux équations de départ.

Pour contrôler votre résolution, remplacez le couple dans chaque équation, ou comparez votre copie à la correction rédigée par le solveur mathématique.

Ce cours fait partie du dossier pour résoudre une équation. Une inégalité à deux inconnues, comme y > 2x + 1, décrit quant à elle un demi-plan : voir le cours sur les inéquations.

Questions fréquentes

Comment résoudre un système d'équations à 2 inconnues ?

Utilisez la substitution ou la combinaison. Par substitution, on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde. Par combinaison, on multiplie les équations pour obtenir des coefficients opposés ou égaux devant une inconnue, puis on additionne ou soustrait pour l'éliminer. Dans les deux cas, on termine en vérifiant le couple dans les deux équations.

Quelle méthode choisir : substitution ou combinaison ?

Si une inconnue a pour coefficient 1 ou −1 dans l'une des équations, la substitution est la plus rapide. Sinon, la combinaison évite les fractions. Les deux méthodes donnent toujours le même résultat.

Comment savoir si un système a une solution ?

Pour le système ax + by = c et a′x + b′y = c′, calculez ab′ − a′b. S'il est non nul, le système a un unique couple solution. S'il est nul, les deux droites sont parallèles : aucune solution si elles sont distinctes, une infinité si elles sont confondues.

Qu'est-ce qu'une équation à deux inconnues ?

C'est une équation qui contient deux lettres, par exemple 2x + y = 7. Ses solutions sont des couples (x ; y), et il y en a une infinité : (0 ; 7), (1 ; 5), (2 ; 3)… Pour trouver un couple unique, il faut une deuxième équation : on forme alors un système.

Comment résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues ?

On utilise la méthode du pivot de Gauss : on élimine x de la deuxième et de la troisième équation à l'aide de la première, puis y de la troisième à l'aide de la deuxième. On obtient un système triangulaire, que l'on résout de bas en haut : z, puis y, puis x.

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Mis à jour le 6 octobre 2026