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Racine carrée : définition, calcul et propriétés

La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : √144 = 12, car 122 = 144. Entrez un nombre, une racine ou un produit de racines : l'outil donne la valeur exacte simplifiée, une valeur approchée et toutes les étapes.

Sommaire
  1. Définition de la racine carrée
  2. Les carrés parfaits de 1 à 20
  3. Les propriétés de la racine carrée
  4. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines
  5. Simplifier une racine carrée : la forme a√b
  6. Racine carrée d'un décimal ou d'une fraction
  7. Calculer une valeur approchée
  8. Et la racine carrée d'un nombre négatif ?
  9. La fonction racine carrée
  10. Les erreurs fréquentes
  11. Questions fréquentes
Exemples

Étapes de résolution

La méthode en bref

  1. On veut calculer
  2. On écrit 72 comme le produit du plus grand carré parfait possible par un entier
  3. Valeur approchée
  1. On veut calculer√72
  2. On écrit 72 comme le produit du plus grand carré parfait possible par un entier√72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6√272 = 23 × 32 ; pour a, b ≥ 0 : √(a × b) = √a × √b
  3. Valeur approchée6√2 ≈ 8,4853encadrement : 82 = 64 < 72 < 81 = 92, donc 8 < √72 < 9

√72 = 6√2 ≈ 8,4853

Tapez par exemple √72, √12 × √3, un décimal comme 0,49 ou une fraction comme 9/8 : l'outil en calcule la racine carrée. Le symbole √ se trouve sur le clavier mathématique sous le champ.

Définition de la racine carrée

Pour tout nombre a positif ou nul, √a est l'unique nombre positif ou nul dont le carré est égal à a. Le symbole √ s'appelle le radical, et le nombre placé dessous le radicande.

(√a)2 = a   et   √a ≥ 0   (a ≥ 0)

Deux conséquences sont à retenir. D'abord, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ, puisqu'un carré n'est jamais négatif. Ensuite, la racine carrée est toujours positive : √25 = 5, jamais −5. C'est l'équation x2 = 25 qui a deux solutions, 5 et −5 ; plus généralement, pour a > 0, x2 = a a pour solutions √a et −√a, comme on le voit en résolvant une équation du second degré.

Géométriquement, √a est le côté d'un carré d'aire a. Un carré de 49 m2 a des côtés de 7 m.

Exemple : racine carrée d’un carré parfait, √144

  1. On veut calculer√144
  2. 144 est un carré parfait√144 = 12car 122 = 144 et 12 ≥ 0

√144 = 12

Les carrés parfaits de 1 à 20

Un carré parfait est le carré d'un entier. Sa racine carrée est un entier, qu'on lit directement dans ce tableau. Le connaître par cœur jusqu'à 15 fait gagner beaucoup de temps.

nn2nn2nn2nn2
116361112116256
247491214417289
398641316918324
4169811419619361
525101001522520400

Ainsi √289 = 17 et √400 = 20. Un carré parfait se termine toujours par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 : un entier qui finit par 2, 3, 7 ou 8 n'en est jamais un. Si un entier positif n'est pas un carré parfait, sa racine carrée est un nombre irrationnel, qui ne s'écrit pas comme une fraction : c'est le cas de √2.

Les propriétés de la racine carrée

Les racines carrées se multiplient et se divisent facilement, à condition que les nombres soient positifs :

PropriétéConditionExemple
√a × b = √a × √ba ≥ 0, b ≥ 0√36 × 2 = 6√2
√a/b = √a/√ba ≥ 0, b > 0√4/9 = 2/3
(√a)2 = aa ≥ 0(√7)2 = 7
√a2 = |a|tout réel a√(−3)2 = 3

La dernière ligne fait intervenir la valeur absolue : comme la racine est positive, √a2 vaut a si a est positif, et −a sinon. Au lycée, on note aussi √a = a1/2, ce qui prolonge les règles des puissances.

Exemple : produit de racines, √12 × √3

La méthode en bref

  1. On veut calculer
  2. Produit de racines : pour a, b ≥ 0, √a × √b = √(a × b)
  3. 36 est un carré parfait
  1. On veut calculer√12 × √3
  2. Produit de racines : pour a, b ≥ 0, √a × √b = √(a × b)√12 × √3 = √36
  3. 36 est un carré parfait√36 = 6car 62 = 36 et 6 ≥ 0

√12 × √3 = 6

La racine d'une somme n'est pas la somme des racines

Il n'existe aucune règle pour l'addition. En général, √a + b ≠ √a + √b. Le contre-exemple est rapide :

√16 + 9 = √25 = 5   mais   √16 + √9 = 4 + 3 = 7

L'égalité n'est vraie que si a ou b est nul. C'est l'erreur la plus fréquente sur les racines, en particulier avec le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle de côtés 3 et 4, l'hypoténuse vaut √9 + 16 = 5, et non 3 + 4.

Simplifier une racine carrée : la forme a√b

Pour simplifier √n, on écrit n comme le produit du plus grand carré parfait possible par un autre entier, puis on sort la racine du carré. La forme finale a√b a le plus petit entier b possible.

Exemple : simplifier √72

La méthode en bref

  1. On veut calculer
  2. On écrit 72 comme le produit du plus grand carré parfait possible par un entier
  3. Valeur approchée
  1. On veut calculer√72
  2. On écrit 72 comme le produit du plus grand carré parfait possible par un entier√72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6√272 = 23 × 32 ; pour a, b ≥ 0 : √(a × b) = √a × √b
  3. Valeur approchée6√2 ≈ 8,4853encadrement : 82 = 64 < 72 < 81 = 92, donc 8 < √72 < 9

√72 = 6√2 ≈ 8,4853

Cette forme permet d'additionner des racines qui semblaient différentes : √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2. On additionne les coefficients de racines identiques, comme on réduit 5x + 2x. En revanche, √2 + √3 ne se simplifie pas.

Racine carrée d'un décimal ou d'une fraction

On transforme le décimal en fraction, puis on applique la règle du quotient. Si le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits, le résultat est exact et simple :

Exemple : racine carrée d’un décimal, √0,49

La méthode en bref

  1. On veut calculer
  2. On écrit le nombre décimal sous forme de fraction
  3. La racine d’un quotient est le quotient des racines : √(a/b) = √a / √b
  4. 49 est un carré parfait
  5. 100 est un carré parfait
  6. On remplace chaque racine par sa forme simplifiée
  1. On veut calculer√0,49
  2. On écrit le nombre décimal sous forme de fraction0,49 = 49100
  3. La racine d’un quotient est le quotient des racines : √(a/b) = √a / √b√49100 = √49√100
  4. 49 est un carré parfait√49 = 7car 72 = 49 et 7 ≥ 0
  5. 100 est un carré parfait√100 = 10car 102 = 100 et 10 ≥ 0
  6. On remplace chaque racine par sa forme simplifiée√49√100 = 710

√0,49 = 0,7

Sinon, on garde une racine dans le résultat. Par exemple, 0,24 = 24/100 = 6/25, donc √0,24 = √6/5 ≈ 0,4899. Pour la fraction elle-même, pensez d'abord à simplifier la fraction : les nombres sous la racine seront plus petits.

Un résultat ne doit pas garder de racine au dénominateur. On multiplie alors le numérateur et le dénominateur par cette racine : 1/√2 = √2/2 et 3/√3 = √3. Avec une somme au dénominateur, on utilise l'expression conjuguée : 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2, car (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2.

Calculer une valeur approchée

On commence par encadrer le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs : 64 < 72 < 81, donc 8 < √72 < 9. Pour aller plus loin sans calculatrice, la méthode de Héron est très efficace : on part d'une valeur x, puis on la remplace par la moyenne de x et de a/x.

Pour √2, en partant de 1 : (1 + 2/1)/2 = 1,5, puis (1,5 + 2/1,5)/2 ≈ 1,416 7, puis environ 1,414 216. La vraie valeur est 1,414 213 6… : trois tours donnent déjà cinq décimales justes. À retenir : √2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732, √5 ≈ 2,236.

Et la racine carrée d'un nombre négatif ?

Dans ℝ, elle n'existe pas : √−4 n'a pas de sens, et l'outil le signale. Dans l'ensemble des nombres complexes, on introduit un nombre i tel que i2 = −1 ; l'équation z2 = −4 a alors deux solutions, 2i et −2i. On évite d'écrire √−4, car la règle √ab = √a√b deviendrait fausse.

La fonction racine carrée

La fonction x ↦ √x est définie sur [0 ; +∞[ et strictement croissante : si 0 ≤ a < b, alors √a < √b. Sa courbe est une demi-parabole couchée, symétrique de la courbe de x ↦ x2 sur [0 ; +∞[ par rapport à la droite y = x. Pour 0 < x < 1, on a √x > x : √0,25 = 0,5.

Les erreurs fréquentes

  • Additionner sous la racine : √16 + 9 = 5, pas 7.
  • Donner une racine négative : √25 = 5 ; c'est l'équation x2 = 25 qui a deux solutions.
  • Oublier la valeur absolue : √x2 = |x|.
  • Simplifier à moitié : √72 = 2√18 est juste mais pas simplifié ; il faut aller jusqu'à 6√2.
  • Confondre racine et moitié : √16 = 4, pas 8.

Pour vérifier une racine, élevez votre résultat au carré : (6√2)2 = 36 × 2 = 72. Le solveur de maths fait ce contrôle et rédige chaque étape.

La racine carrée fait partie du dossier sur les fractions et les nombres. Pour vous entraîner, générez une fiche « Simplifier des racines carrées » avec son corrigé.

Questions fréquentes

Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?

Si le nombre est un carré parfait, reconnaissez-le dans la table des carrés : √196 = 14. Sinon, encadrez-le entre deux carrés parfaits pour trouver la partie entière (√50 est entre 7 et 8, car 49 < 50 < 64), puis affinez avec la méthode de Héron : partez d'une valeur x, remplacez-la par la moyenne de x et de a/x, et recommencez. Deux ou trois tours suffisent pour plusieurs décimales exactes.

Quelle est la racine carrée de 144 ?

La racine carrée de 144 est 12, car 12² = 144 et 12 est positif. Le nombre −12 a aussi pour carré 144, mais ce n'est pas la racine carrée : par définition, √144 désigne le nombre positif. En revanche, l'équation x² = 144 a bien deux solutions, 12 et −12.

Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Pas dans les nombres réels : aucun réel n'a un carré négatif, donc √(−4) n'existe pas dans ℝ. Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation z² = −4 a deux solutions, 2i et −2i, où i est un nombre tel que i² = −1. On évite toutefois d'écrire √(−4), car les règles de calcul des racines ne s'appliquent plus.

Comment simplifier une racine carrée ?

Écrivez le nombre sous la racine comme le produit du plus grand carré parfait possible par un autre entier, puis utilisez √(a × b) = √a × √b. Par exemple, √72 = √(36 × 2) = 6√2. La forme a√b est simplifiée quand b n'a plus de facteur carré autre que 1.

Comment écrire le symbole racine carrée au clavier ?

Sous Windows, maintenez la touche Alt et tapez 251 sur le pavé numérique. Sur Mac avec un clavier américain (QWERTY), la combinaison Option + V donne √. Dans un tableur, la racine carrée se calcule avec la fonction RACINE. Sur le solveur, vous pouvez taper √ avec le clavier mathématique affiché sous le champ de saisie.

Pourquoi √(a²) n'est-il pas toujours égal à a ?

Parce qu'une racine carrée est toujours positive. Si a = −3, alors a² = 9 et √9 = 3, qui n'est pas égal à −3. La règle exacte est √(a²) = |a|, la valeur absolue de a. Elle se réduit à √(a²) = a seulement quand a est positif ou nul.

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Mis à jour le 6 octobre 2026